基本不等式（第一课时）

赵琳

一、教材背景分析

本节内容是在系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。本节课通过从生活与几何背景中得到基本不等式、证明不等式与回归生活解决实际问题的思路，体现新课标“数学有用”的理念。

二、教学目标

1.知识与能力：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题。

2.过程与方法：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现。培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法。

3.情感、态度与价值观：通过问题情境设置，使学生认识到数学是从实际中来，通过数学思维认知世界。

三、教学重难点

教学重点：用数形结合的思想探索基本不等式的证明过程；用基本不等式解决简单的最值问题。

教学难点：在几何背景下抽象出基本不等式的过程；应用基本不等式解决实际问题。

四、教学方法

本节课采用观察—感知—抽象—归纳—探究；启发诱导、讲练结合的教学方法。

五、教学过程

前面我们学习了不等式的基本性质，今天我们在几何背景问题下探讨重要的不等关系。

1.几何引入，抽象归纳

创设情景：如图1是在北京召开的第24界国际数学家大会的

会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

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正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形两条直角边长為x，y.

探究一：这张“弦图”中能找出相等关系和不等关系吗？由图可知S2>S1，即x2+y2>2xy

探究二：上面不等式可取等号吗？当直角三角形变为等腰直角三角形，即x=y时，这时有x2+y2=2xy。

得到初步结论：x2+y2≥2xy，x，y∈R+

探究三：能给出这个不等式的代数证明吗？证明：x2+y2-2xy=（x-y）2 当x≠y时，（x-y）2>0；当x=y时，（x-y）2=0；所以，（x-y）2≥0，即x2+y2≥2xy.

探究四：x，y一定满足x，y∈R+吗？由探究三的证明过程可知x，y∈R。

结论：若x，y∈R，则x2+y2≥2xy。（当且仅当x=y时，等号成立）

探究五：如果a>0，b>0，我们用■、■分别代替x、y，可得：得到：a+b≥2■（a>0，b>0）。

通常我们把上式写作：■≤■（a>0，b>0）。

探究六：能给出这个不等式的证明吗？

证明：由于a，b∈R+，于是要证明■≥■，只要证明 a+b≥2■，即证（■）2+（■）2-2■≥0，即（■-■）2≥0，该式显然成立，所以■≥■，当a=b时取等号。

2.得出结论，深化认识

基本不等式：若a，b∈R，则■≤■。（当且仅当a=b时，等号成立）

深化认识：（1）称■为a，b的几何平均数；称■为a，b的算术平均数又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。

（2）对■和■进一步的几何解释：

如图2，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦CD，连接AD，BD。

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根据射影定理可得：CD=■=■，于是有■<■，当且仅当点C与圆心O重合时，即a=b时等号成立。

再次证明：当a>0，b>0时，■≤■（当且仅当a=b时，等号成立）

3.应用举例，巩固提高

例1.证明：■≥■（a，b∈R+）。引导学生证明。

例2.（1）篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

利用基本不等式求最值时，一定要注意三个限制条件（一正二定三相等）缺一不可。

对于x，y∈R+，（1）若xy=p（定值），则当且仅当a=b时，x+y有最小值2■；

（2）若x+y=s（定值），则当且仅当a=b时，xy有最大值■。

例3.求下列函数的最值。（1）若x>2，求y=x+■的最小值。（2）若0

4.反思总结，整合新知

一个不等式：若a>0，b>0则有■≤■。

两种思想：数形结合、归纳类比思想。三个注意：求函数的最大（小）值时注意：“一正二定三相等”。

5.布置作业，课后延拓

（1）基本作业：课本P100习题A组1、2题。（2）拓展作业：高考欣赏（2009天津理6）设a>0，b>0，若■是3a与3b的比例中项，则■+■的最小值是（ B ）

A.8 B.4 C.1 D.■

（作者单位 陕西省西安中学）