利用导数解决一些函数问题

邓格

摘 要：随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时不可缺少的工具。有关导数在高中数学中的应用主要类型有：求极限、求函数的切线、判断函数的单调性、求函数的极值和最值、利用函数的单调性证明不等式、求参数范围、解决实际问题等，这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一。下面通过例题谈谈怎样利用导数解决一些函数问题。

关键词：导数；函数问题；应用类型

类型一：利用導数求函数的切线

例1.求曲线y=x3-2x2+1过点p（2，1）的切线方程.

解：（1）切点为p点时，由x=2时y′=4可得切线方程为4x-y+7=0

（2）切点不是点p时，设为p0（x0，y0），则有y-1=（3x20-4x0）（x-2）

又因为切点是曲线上的点，所以有y0=x30-2x20+1.

可以求出x0=0，2，其中x0=2是切点为p的情况，所以x0=0.

求得切线方程为y=1.

这是一类易错题型，很容易忽略切点不是p点的情况，解题时需要注意，“求在点p处的切线”和“求过点的切线”二者的不同。

类型二：利用导数判断函数的单调性

例2.求函数y=2x3-4x2+2x的单调区间。

解：y′=6x2-8x+2，由y′>0得6x2-8x+2>0，解得x<■或x>1.