借助操作活动物化“同一平面”

毛云枫

【研究背景】

《义务教育数学课程标准》指出：应注重学生探索现实世界的空间关系，注重使学生通过操作、观察的手段逐步发展空间观念；在教学中，应注重所学知识与日常生活的联系，从学生已有的生活经验和知识的基础上进行教学。在《垂直与平行》这一内容的学习中，学生对“垂直”理解比较容易，而对“平行”的理解有一定的困难。其中，学生对“不相交”容易理解，而对“同一平面”的理解学生有相当大的难度，而教材对此又没有详加描述，因而把对“同一平面”的理解作为本节课的教学难点。教学中应该通过操作、观察、想象、举例等学习活动，让学生体验并建构“同一平面”，从而发展学生的空间观念。

【案例描述】

片段一：师生游戏，体验同一平面

1.教师手持两根小棒，介绍游戏规则。

师：同学们，我们来做个游戏，老师请一个同学和我合作，看看这个滚筒能平稳地沿着两根小棒滚到终点吗？

2.尝试游戏，教师手持的小棒在滚筒滚动的过程中，突然抬起小棒使滚筒跌落下来。

3.讨论游戏失败的原因。

生：老师，刚才你故意抬了一下小棒，两根小棒有高低就不平了，这样不会成功的。

师：两根小棒不平了，那么你想什么方法让两根小棒相平呢？

生：把低的一根抬高就可以了。

师：是这样吗？现在平了吗？（教师逐渐调整小棒的位置，边抬高边问学生）

生：高点，高点，高了，太高了，好好，现在平了。（学生开始无意识地像木工师傅一样瞄一瞄两根小棒是否在同一平面。）

师：你们是怎样判断它们相平了的？

生：我用眼睛瞄了瞄，当两根小棒重合在一起，只看见一根，它们就平了。

师：说得很好，请同学们也瞄一瞄，两根小棒在同一平面上了吗？用手比划一下。（学生争先恐后，移动身体观察。）

4.游戏成功：引导观察，发现两根小棒在同一个平面上。

生：小棒高低一样，它们就平了，滚筒沿着两根小棒平稳地滚到了终点。

师：我们可以通过这张硬纸板发现这两根小棒在同一个平面上。（教师用硬纸板在两根小棒下面比划同一个平面。）

片段二：师生互动，构建同一平面

1.教师手执小棒介绍操作方法。

师：老师手中的小棒表示一条直线，你们手中拿一支铅笔表示另一条直线，现在要使你的直线和老师的直线在同一个平面上，你会摆吗？

（1）一个学生和老师摆。

师：你是怎样确定和老师的小棒在同一平面上的？

生：我用眼睛瞄了瞄，发现我的铅笔和你的小棒只看见了一根，它们就在一个平平的面上了。

师：这个平平的面就是同一平面，现在你能用手势把这个平面表示出来吗？（学生用手掌移动比划）

（2）全体学生和教师共同摆小棒，构建同一平面。

每位学生用一支铅笔作小棒，随着教师手中小棒位置的变化也跟着慢慢变换位置，使手中的铅笔与老师手中的小棒始终在同一平面上。每一次合作让学生用眼瞄一瞄，用手比划摸一摸，体验抽象的同一平面。

（水平方向→竖直方向→45度斜放）

（3）寻找身边的“同一平面”

师：刚才同学们和老师合作使两条直线在同一平面上，现在你能找出我们周围在同一平面上的两条直线吗？（学生开始观察了教室中的物体）

生：老师，我发现黑板的两条边在同一平面上。

师：你的意思是我们把黑板的上边看作一条直线，黑板的下边看作另一条直线，它们在同一平面内，这个平面在哪里？

生：黑板的表面就是同一个平面。

师：我们一起用手势比划一下这个平面。（引导全体学生用手掌比划）

师：现在大家找一找教室中还有和黑板的这条边（教师手指黑板）在同一平面上的直线吗？（学生开始转动身体寻找）

生：有。教室后面的黑板上边也和它在同一平面内。

师：那它们的同一个平面在哪里？你能用手比划一下吗？

生：在这里。（学生边说边用手水平状态比划）

师：同学们一起用手比划一下这个平面。（引导学生用摸一摸的方式体验空间的平面）

生：老师，我发现后面黑板的下边和前面黑板的上边也在同一个平面。

师：同学们同意他的观点吗？那这两条直线的同一平面在哪里？

生：它们的同一平面在这里，是斜的。（学生边说边用手演示）

生：老师，我发现我们教室后面墙壁和地面交错的直线也和黑板的上边在同一个平面上。同一个平面是这样的。（用手比划）

生：老師我发现上面竖的一条直线和后面竖的一条直线也在同一个平面内。

…

片段三：直观展示，物化同一平面

1.出示教具。

师：这两根细小棒表示两条直线，它们在同一平面上吗？这个同一平面在哪里？用手摸一摸.

师：这两条直线是平行线吗？

生：不是，直线延长后会相交。所以它们不是平行线。

师：怎样移动使它们平行呢？

2.学生用多种策略移动某一根使两根小棒平行。（教师演示动态的移动过程，使学生体验互相平行。）

3.教师高举演示板，沿虚线旋转。让学生观察到演示板上的两条直线，从在同一平面转到不在同一平面的过程。

师：请大家仔细观察，现在两根小棒所在的两条直线延长后相交吗？

生：不会相交。

师：这两条直线不会相交与刚才的不会相交有什么不同？

生：刚才两条直线在同一个平面上，现在两条直线不在同一个平面上。

师：你说的不在同一个平面指的是什么？

生：我发现上面的一条直线在这样的一个平面，另一条直线在另一个不同的平面上。

（引导学生用手掌描绘两个不同的平面，从而体验两条直线不在同一个平面上。）

师：那么这两条直线还可以叫做平行线吗？

生：不是平行线。

师：同学们，现在你觉得两条直线的位置是平行的话，必须具备哪些条件呢？

生：第一是两条直线必须在同一平面内，第二两条直线不相交。

师：对，也就是同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。

【实践反思】

“空间观念是创新精神所需的基本要素，没有空间观念，几乎谈不上任何发明创造。”课程标准明确指出了在几何教学中培养学生空间观念的重要性。

本课教学把“同一平面”的理解作为教学的难点，是基于学生对“同一平面”的理解比较抽象。让学生在已有的知识基础上，结合生活经验，通过操作、观察、描述等活动，在学生的大脑中建立起“同一平面”的表象，发展了学生的空间观念。通过这堂课的教学，我对培养与发展学生的空间观念有了些许感悟。

1.学生的经验是发展空间观念的基础

学生的空间观念来自丰富的现实原型和生活经验。游戏激发了学生探究的欲望，初步体验到两根小棒只有在同一个平面上时，滚筒才会平稳滚到终点。虽然此时的学生对两根小棒的位置还不能用“同一平面”来描述，但两根小棒要高度一致，要相平，实际上是学生通过“瞄一瞄”来感知两条直线在“同一平面”上的直觉（视觉）。这样的环节设计，不但潜移默化地渗透“同一平面”的感性认识，还提供了确定两条直线在“同一平面”的方法（用眼睛瞄一瞄，用手势比划）。在此过程中，通过观察物体、想象、描述等活动，发展学生的空间观念。

2.操作是发展空间观念的重要途径

空间观念是从学生的现实生活中积累的几何知识体验出发，从经验活动的过程中逐步建立起来，发展学生的空间观念的重要途径是操作活动。片段1中的游戏，用瞄一瞄来确定同一平面的方法，使学生建立了“同一平面”的表象；片段2中师生动手合作构建同一个平面；片段3中找一找周围同一平面上的两条直线。正是通过这些操作活动，内化了“同一平面”的空间观念。当两根小棒放置于空间时，学生大脑中就产生了认知冲突，没有了实物平面为依托，那此时同一个平面又在哪里呢？学生通过用眼睛瞄平面，用手掌比划感触同一平面，用语言描述同一平面，使虚拟的平面在学生脑海中物化，这样的经历才让学生真正体验到“同一平面”，使学生大脑中空间观念有了质的飞跃。

3.空间观念应在发展过程中逐步形成

《义务教育数学课程标准》指出几何教学中要调动视觉、听觉、触觉等多种感觉器官来协同参与操作活动，使学生有较多的机会通过内容丰富的图形符号感知及实物操作的探究活动，不断丰富归纳和类比的经验，使空间观念得以逐步形成和巩固。

本课时的教学过程中，学生对“同一平面”的空间观念的建立是结合活动过程逐步形成的。学生先通过游戏直观地感悟两根小棒要相平，初次体验“同一平面”并建立表象。师生的合作，则让学生探究怎样摆可使两根小棒处于同一平面，用眼瞄一瞄，用手摸一摸，使学生对同一平面的认识在大脑中逐步建立模型；让学生找一找教室中同一平面上的两条直线，使学生对“同一平面”的認识更加内化；利用直观教具，旋转木板，让学生清楚地观察到两条直线从在同一平面上转到不在同一平面。初步体验二维与三维空间相互转换的关系，逐步发展空间观念，为完整地理解平行线的概念打下扎实基础。转板可以展示不同角度的平面，突破学生的思维定势，即水平状态，把不同角度的平面进行了“物化”。这样的教学环节，使得学生的空间观念在学生的操作活动中、在思维的发展过程中逐步形成。

只有在学生的认知基础上借助直观的教学，结合操作让学生经历观察、思考、交流等数学活动，才能使学生更好地认识、理解生活的空间。逐步发展学生的空间观念和创新意识，在思维能力、情感态度与价值观等方面都得到和谐的发展。

（作者单位 浙江省余姚市牟山镇青港小学）

编辑 刘青梅