罗尔中值定理及其应用

张笛

【摘要】微分中值定理是高等数学微分学的核心内容，本文在罗尔中值定理的基础上，给出了罗尔中值定理在有限区间上的推广形式，并给予了证明.此外，通过例题分析阐述了罗尔中值定理的具体应用.

【关键词】罗尔中值定理；区间推广；应用

引 言 微分中值定理是微分学的理论基础，也是微分学的基本定理之一，更是研究函数性态的重要工具；罗尔中值定理是拉格朗日中值定理和柯西中值定理的特例，也是对二者证明和理论分析的基础.本文给出了罗尔中值定理在有限区间上的推广及其在解题中的应用.

一、罗尔中值定理

若函数f（x）满足以下条件：

（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；

（2）f（x）在开区间（a，b）内可导；

（3）f（a）=f（b），

则在（a，b）内至少存在一点ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0.

二、罗尔中值定理的几何意义

在每一点都可导且端点高度相等的连续曲线y=f（x）上存在这样的点Mξ，f（ξ），使得过M点的切线y=f′（ξ）x-ξ+f（ξ）平行于x轴（或平行于端点的连线lAB），如图所示.

三、罗尔中值定理在有限区间（a，b）上的推广

若函数f（x）在开区间（a，b）内可导，且在区间端点处单侧极限存在，即limx→a+f（x）=limx→b-f（x）=A，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=0.

证明 方法一（反正法） 假设不存在点ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0，即函数f′（x）在区间（a，b）内无零点，故由导函数零点定理的推论知，f′（x）在区间（a，b）上函数值恒正或恒负，即f′（x）>0或f′（x）<0，x∈（a，b），所以，f（x）在区间（a，b）上严格单调.显然，这与已知条件limx→a+f（x）=limx→b-f（x）=A相矛盾，所以，假设不成立，即上述命题得证.

方法二 构造函数F（x）=f（x）x∈（a，b）

Ax=a，x=b，此时函数F（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且F（a）=F（b）=A，所以，由罗尔中值定理知在（a，b）内至少存在一点ξ，使得F′（x）=f′（ξ）=0.

方法三 若f（x）是区间（a，b）上的常值函数，即f（x）=A，x∈（a，b），结论显然成立.若f（x）不是区间（a，b）上的常值函数，则必存在一点x0∈（a，b）使得f（x0）≠A.①当f（x0）0，使得a+δf（x0），于是f（x）在区间a+δ，b-δ上有最小值，设最小值点为（ξ，f（ξ）），ξ∈a+δ，b-δ，因f（x）在开区间（a，b）内可导，所以，ξ必为函数的极小值点，故由费马定理知f′（ξ）=0.②当f（x0）>A时，据函数极限不等式性质知，存在δ>0，使得a+δ

四、罗尔中值定理在解题中的应用

（一）证明至少存在一点ξ∈（a，b），使得f′（ξ）关于ξ的函数

分析 采用原函数法构造函数F（x），使得F′（x）=c（c为实常数），且F′（x）是与f（x）相关的函数.

例1 设f（x）在闭区间0，π2内可导，且fπ2=0，证明：存在一点ξ ∈0，π2，使得f（ξ）+f′（ξ）tanξ=0.

分析 把ξ换成x，即需证明f（x）+f′（x）tanx=0，由微分方程知这是一阶线性可变量分离型微分方程，经恒等变形得dydx=-ycotx，易得方程的通解f（x）sinx=c，故构造函数F（x）=f（x）sinx即可.

证明 由分析知构造函数令F（x）=f（x）sinx，显然，F（x）在区间0，π2内可导，又F（0）=Fπ2=0，所以，F（x）满足罗尔中值定理条件，故由罗尔中值定理知存在一点ξ ∈0，π2，使得F′（ξ）=0，即上述结论成立.

例2 设f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f（0）=f（1）=0，f12=1.证明：（1）存在一点η∈12，1，使得f（η）=η.（2）对任意常数λ∈-∞，+∞，存在一点ξ∈（0，η），使得f′（ξ）-λ[f（ξ）-ξ]=1.

分析 把ξ换成x，即需证明f′（x）=λf（x）-λx+1，由微分方程知这是一阶线性非齐次型微分方程，经恒等变形得dydx=λy-λx+1，由常数变易法求得其通解（f（x）-x）e-λx=c，故构造函数F（x）=（f（x）-x）e-λx即可.

证明 （1）令g（x）=f（x）-x，又g12=f12-12=12>0，g（1）=f（1）-1=-1<0，故由连续函数零点定理知，存在η∈12，1，使得g（η）=0，即f（η）=η.

（2）由分析知构造函数令F（x）=（f（x）-x）e-λx，由题意知F（0）=F（η）=（f（η）-η）e-λη=0，所以，F（x）满足罗尔中值定理条件，故由罗尔中值定理知，存在点ξ∈（0，η），使得F′（ξ）=0.即上述结论成立.

（二）证明在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（n）（ξ）=0，（n>1且n∈N）

分析 寻找点x1，x2使得[x1，x2][a，b]，对函数f（n-1）（x）在区间[x1，x2]上运用罗尔中值定理即可.

例3 设g（x）在区间[a，b]内存在二阶导函数，且g（a）=g（b）=g（c），对任意c∈（a，b），证明：至少存在一点ξ∈（a，b），使得g″（ξ）=0.

证明 由题意知g（x）在区间[a，c]和[c，b]上都满足罗尔中值定理，对g（x）在这两个区间上分别运用罗尔中值定理，即存在点x1∈（a，c），x2∈c，b，使得g′（x1）=g′（x2）=0，由题意知g′（x）在区间[x1，x2]上也满足罗尔中值定理，故由罗尔中值定理知，至少存在一点ξ ∈（x1，x2）（a，b），使得g″（ξ）=0.故上述命题得证.

（三）方程根的讨论

例4 讨论三次函数f（x）=（x-1）（x-3）（x-5）的导函数f′（x）在（-∞，+∞）上零点个数，并指出零点所在区间.

解 显然由f（x）=（x-1）（x-3）（x-5）知其导函数f′（x）是（-∞，+∞）上连续可导的二次函数，由题意知f（1）=f（3）=f（5）=0，故对f（x）分别在区间[1，3]，[3，5]上运用罗尔中值定理，即存在点ξ∈（1，3），η∈（3，5）使得f′（ξ）=f′（η）=0，所以，函数f′（x）在区间（-∞，+∞）上至少有两个零点，又因f′（x）是一元二次函数，故其有且仅有两个零点，分别为ξ，η，其中ξ∈（1，3），η∈（3，5）.

例5 证明：方程2ln（x+1）=x在区间（0，+∞）上有唯一实根.

证明 ①先证存在性.令f（x）=x-2ln（x+1），x∈（0，+∞），由题意知limx→0+f（x）=0，f（1）=lne4<0，limx→+∞f（x）=+∞，故由连续函数零点定理知存在一点ξ，ξ∈（1，+∞）使得f（ξ）=0，即函数f（x）=x-2ln（x+1）在区间（1，+∞）上有一实根ξ.②下证唯一性（反证法）.假设函数f（x）在区间（1，+∞）内存在两互异实根 x1，x2，不妨设x1

结束语 本文阐述了罗尔中值定理及其在有限区间上的推广，并结合例题详细分析了原函数法即通过建立和求解微分方程来构造函数，化抽象为直观，加深了对罗尔中值定理的理解，有力地提高了罗尔中值定理在解题中的应用能力.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]华东师范大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]曹显兵，刘喜波.高等数学（微积分）辅导讲义[M].北京：海豚出版社，2011.