对偶空间的一些新性质

徐莉 黄体仁

【摘要】本文主要研究了对偶空间的一些新性质，以及用它们来简化对偶空间的运算.

【关键词】对偶空间；对偶基

1.引 言

求线性空间的基所对应的对偶基，有时很麻烦，特别是子空间所对应的对偶空间以及子空间之间的运算.例如，求V*1∩V*2的基，首先要求V1，V2的基，然后求出V*1，V*2，最后取交集，这样比较繁琐，但求（V1∩V2）*的基，则相对要方便一些.下面我们看对偶空间的一些新性质，以及用它们来简化对偶空间的运算.

2.对偶空间的一些新性质

对偶空间的一些新性质：

（1） 设V是F上一个n维线性空间，若V1V，则V*1V*.

（2） 若V1∩V2=，则V*1∩V*2=.

（3） 若V1V，V2V，则（V1∩V2）*=V*1∩V*2.

（4） 若V1V，V2V，则（V1+V2）*=V*1+V*2.

证明 （1） 设V1的基为α1，α2，…，αk，将其扩充为V的一组基，设为α1，α2，…，αk，αk+1，αk+2，…，αn.所对应的对偶基为f1，f2，…，fk，fk+1，fk+2，…，fn.易知f1，f2，…，fk是α1，α2，…，αk的对偶基.又因为{f1，f2，…，fk}{f1，f2，…，fn}，即V*1V*.

（2） 如果V1或V2有一个是空集，则结论显然成立.如果V1，V2都非空， 设dimV1=n1， dimV2=n2，则取V1的基α1，α2，…，αn1，取V2的基β1，β2，…，βn2因为V1∩V2=，则V1∪V2的基为α1，α2，…，αn1，β1，β2，…，βn2，将其也扩充为V的基的一组基

α1，α2，…，αn1，β1，β2，…，βn2，γ1，γ2，…，γn-n1-n2.

由定理知，存在唯一的对偶基

f1，f2，…，fn1，g1，g2，…，gn2，h1，h2，…，hn-n1-n2.

由对偶基的定义知，f1，f2，…，fn1是V*1的基，g1，g2，…，gn2是V*2的基，显然可以看出

V*1∩V*2=.

（3） 设dimV1=n1，dimV2=n2，dim（V1∩V2）=m.因为V1∩V2V1，V1∩V2V2，由（1）知（V1∩V2）*V*1，（V1∩V2）*V*2.所以（V1∩V2）*V*1∩V*2.

设V1∩V2的基为α1，α2，…，αm，于是将其扩充V1的基α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn1-m，将其也扩充为V2的基α1，α2，…，αm，γ1，γ2，…，γn2-m，也将其扩充为V的基α1，α2，…，αm，δ1，δ2，…，δn-m.

由定理知，存在唯一的一组对偶基f1，f2，…，fm，fm+1，…，fn.

不妨设V1的对偶基为f1，f2，…，fm，f`m+1，…，f`n1，V2的对偶基为f1，f2，…，fm，gm+1，…，gn2.

因为（V1-V1∩V2）∩（V2-V1∩V2）=，即

{β1，β2，…，βn1-m}∩{γ1，γ2，…，γn2-m}=.

由（2）知{f`m+1，…，f`n1}∩{gm+1，…，gn2}=.于是

（V*1∩V*2）={f1，f2，…，fm}.

所以dim（V*1∩V*2）=m，

又 dim（V1∩V2）*=dim（V1∩V2）=m.于是

dim（V*1∩V*2）=dim（V1∩V2）*=m.

所以（V1∩V2）*=V*1∩V*2.

（4）因为（V1+V2）V1.（V1+V2）V2，由1）知，则有（V1+V2）*V*1，（V1+V2）*V*2，于是有（V1+V2）*V*1+V*2.下面来证明dim（V1+V2）*=dim（V*1+V*2）.

设dim（V1∩V2）=m，dimV1=n1，dimV2=n2.

因为dim（V1+V2）+dim（V1∩V2）=dimV1+dimV2，

于是dim（V1+V2）=dimV1+dimV2-dim（V1∩V2）=n1+n2-m.

所以dim（V1+V2）*=dim（V1+V2）=n1+n2-m.

又由（3）证明知

dim（V*1∩V*2）=dim（V1∩V2）*=m，

又由维数公式知

dim（V*1+V*2）+dim（V*1∩V*2）=dimV*1+dimV*2.

结合上面两个式子得

dim（V*1+V*2）=dimV*1+dimV*2-dim（V*1∩V*2）

=dimV*1+dimV*2-dim（V1∩V2）*

=n1+n2-m.

于是dim（V*1+V*2）=dim（V1+V2）*.

所以（V*1+V*2）=（V1+V2）*.

由上面的几条新性质，我们可以得出下面两个推论.

（1） 如果Vi∈V （i=1，2，…，n），

则有（∩ni=1Vi）*=∩ni=1V*i；

（2） 如果Vi∈V （i=1，2，…，n），

则有（∑ni=1Vi）*=∑ni=1V*i.

证明 （1） 用数学归纳法来证明.当n=2时，由上面的性质知道，结论成立.

假设n=k时成立.当n=k+1时， 令∩ki=1Vi=V′，

则有（∩k+1i=1Vi）*=（∩ki=1Vi∩Vk+1）*=（V′∩Vk+1）*.

由假设（∩ni=1Vi）*=∩ni=1V*i和（V1∩V2）*=V*1∩V*2知道：

（∩k+1i=1Vi）*=（∩ki=1Vi∩Vk+1）*=（V′∩Vk+1）*=（V′）*∩V*k+1=∩ki=1V*i∩V*k+1=∩k+1i=1V*i.

（2） 也用数学归纳法来证明.当n=2时，由上面性质知道，结论显然是成立的.

假设n=k结论成立，当n=k+1时，令（∑ki=1Vi）*=V′′，则有（∑k+1i=1Vi）*=（V″+Vk+1）*.

由假设（∑ki=1Vi）*=∑ki=1V*i和（V1+V2）*=（V*1+V*2）知道：

（∑k+1i=1Vi）*=（∑ki=1Vi+Vk+1）*=（V″+Vk+1）*=（V″）*+V*k+1=∑ki=1V*i+V*k+1=∑k+1i=1V*i.

【参考文献】

[1]徐振民.对偶空间的性质[J].太原师范学院学报（自然科学版），2010（1）.

[2]何锦荣.对偶空间的一些性质及其应用[J].广西师院学报（自然科学版），1994（2）.

[3]李容录.赋范线性空间的第二对偶空间[J].数学研究与评论，1981（2）.

[4]周光实.（op）型空间的对偶空间[J].河北大学学报（自然科学版），1984（2）.

[5]吴博儿.非绝对型Cesaro序列空间的对偶空间[J].华南师范大学学报（自然科学版），1985（2）.