2012年桂林市一道中考压轴题的赏析

胡锦凤 高晓兵

数学中考压轴题是数形结合的精髓，是整张试卷的重中之重，主要考查学生的综合、应用、探究型题的求解能力.而此类题往往是出卷教师多年的教研经验与心血凝结而成的成果， 题型新颖，具有独到的方式与思路，别有不一样的精彩.以下是2012年广西桂林数学中考的一道压轴题，让我们通过其“多元”的解答，品尝其精彩.

一、试题呈现

（2012年广西·桂林）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点.

（1）若E，F分别是AB，AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD；

（2）当点F，E分别从C，A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA，AB运动，到点A，B时停止.设△FED的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，点F，E分别沿CA，AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式.

二、解法探讨

本题的第（1）问较为容易，学生结合图形利用三角形全等得解，方法也较为统一.本题难点主要在第（2）、（3）问，而第（3）问的切入点第（2）问，只要掌握了第（2）问的解法，第（3）问也就迎刃而解，本文主要介绍第（2）问的五种解法，供大家交流，欢迎指正.

解法一（割补法）

解 依题意有：FC=AE=x，AF=6-x.

∵△AED≌△CFD，

∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF

=S△ADC=9.

∴S△EDF=S四边形AEDF-S△AEF=9-12（6-x）x=12x2-3x+9.

∴y=12x2-3x+9.

解法二（割补法）

解 依题意有：FC=AE=x，AF=6-x.

∵△AED≌△CFD，

又∵S△BDE+S△DEF+S△AEF+S△DFC=S△ABC，

∴S△DEF=S△ABC-S△BDE-S△DFC-S△AEF

=S△ABC-S△BDE+S△ADE-S△AEF

=S△ABC-S△ABD-S△AEF

=18-9-x6-x2.

∴y=12x2-3x+9.

点评 解法一和二均系求图形面积常用的割补法，根据第（1）问中的三角形全等，利用全等的三角形面积相等来转换面积得解.当然方法一与方法二相比较，法一更简便快速.

解法三（直角三角形的特有面积法）

解 依题意有：FC=AE=x，AF=6-x.

∵△AED≌△CFD，

∴∠ADE=∠CDF，ED=DF.

∴∠EDF=90°.

可知△EDF是等腰直角三角形.

∵AE2+AF2=EF2，

ED2+DF2=EF2，

∴AE2+AF2=ED2+DF2.

∴AE2+AF2=2ED2.

即 x2+（6-x）2=2 ED2.

∴S△DEF=ED·DF2=DF22=x2+（6-x）42.

∴y=12x2-3x+9.

解法四（直角三角形的特有面积法）

解 ∵△AED≌△CFD，

∴∠ADE=∠CDF，ED=DF.

∴∠EDF=90°.

可知△EDF是等腰直角三角形.

过点F作FH垂直CD于点H.

设 FC=x，则有

FH=HC=22x，

DH=DC-HC=32-22x.

勾股定理得 DF2=DH2+HF2

=32-22x2+22x2

=x2-6x+18.

∴S△EDF=ED·DF2=DF22=x2-6x+182.

∴y=12x2-3x+9.

点评 上述的方法三和四主要是利用三角形的面积公式来计算解答，而且是直角三角形特有面积公式.方法三是通过等式的转换得出两直角边的积，而方法四是更是迎难而上，巧填辅助线，利用勾股定理求出三角形DEF的直角边，再求面积.这两种方法，各有妙处，均不失为一种妙想.

解法五（取特殊值法）

解 依题意可知：在E，F运动的过程中，F点必经过三个特殊的点，开始在C点，再到AC的中点，终点是A，所构成的等腰直角三角形EDF的面积也存在三个特殊值.

设FC=x ，S△DEF=y.

当x=0时，y=9.

当x=3时，y=92.

当x=6时，y=9.

设函数为y=ax-32+92 过点（0，9），

解得a=12.

∴y=12x2-3x+9.

点评 此法实属最险的一种，在初中数学的学习中，取特殊值法是选择题的常用多种方法中其中的一种，但是在压轴题中甚为少见.由于此题是有关于二次函数的问题，利用图形运动过程中产生的特殊的点得到x与y特殊的对值，再根据待定系数法求解函数解析式，思路新颖，解法简单，效果甚佳，充分体现了数学中的“特殊与一般”的辩证唯物主义思想.

三、试题及解法赏析

（1）本题看似平实，但构思巧妙，是在三角形全等、直角三角形的应用、函数、几何图形等知识的交汇处设计的，考查了数形结合、运动、建模等重要的数学思想和求图形面积的基本方法，同时考查学生捕捉图形信息的能力及综合运用所学知识解决问题的能力.本题难度适中，具有层次感.

（2）解法多样，既考查基本方法，也考查思维能力.解法一、二运用面积的割或补的方法来求出三角形DEF的面积，进而得到二次函数的关系式.解法三、四则是通过勾股定理，由已知边的量转换成未知边的量求出直角三角形的面积，得到函数关系式.解法五是利用点F运动的路程中必经过的特殊值来求出特殊点（x，y），然后利用待定系数法求出△DEF的面积进而得到x与y的函数关系.解法三、四是解决直角三角形的基本方法，但是运算量较大，需要学生有清晰的思路和扎实的基本功.解法五则是以时间t为切入点，运算量相对较小.将题目所给的运动与图形有机结合，考查了学生的解题灵活性，简洁、流畅. 同时解法一利用图形的代换直接求出面积，显得很自然，与其他解法比较，更胜一筹.

四、解后反思

其一，解题的关键是会分析题目读取图形信息，且结合起来找到数学的规律解决问题，挖掘思路，寻求求解的方法.

其二，本题的第一问是三角形全等的问题，第二问和第三问是有关于运动求面积的问题，起点低，但问题设计有鲜明的层次感， 它以三角形为背景，线段之间的数量关系为载体，将直角三角形的知识与方程函数思想、建模思想等巧妙结合在一起，让不同层次的学生都能得到一定的思考和发挥.试题看似平凡，可竟有多种解答，既能启迪思维，又能很好地考查学生的数学基本功，考查数形结合的思想.充分体现了数学的精彩和魅力.