例谈裂项相消法在数列不等式证明中的常见应用

胡宗兴

笔者在教学中发现数列不等式证明在历年的高考中时有出现，而裂项相消法则在其中扮演重要角色，所以笔者从近年的高考试题和一些典型的例子来剖析裂项相消法在数列证明中的常见应用.

1.利用等差数列裂项相消

例1 （2013广东）.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，2Snn=an+1-13n2-n-23，n∈N*.

（1）、（2）略

（3）证明：对一切正整数n，有1a1+1a2+1a3+…+1an<74.

解 （3）由（2）可知an=n2（n∈N*），

∴1an=1n2<1n2-1=1（n-1）（n+1）=121n-1-1n+1.

即1a1+…+1an=1+…+1n2<1+121-13+1212-14+…+121n-1-1n+1=1+121+12-1n-1n+1=74-121n+1n+1<74.

2.利用对数性质裂项相消

例2 （2013全国大纲）已知函数f（x）=ln（1+x）-x（1+λx）1+x.

（Ⅰ）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；

（Ⅱ）设数列{an}的通项an=1+12+13+…+1n，证明：a2n-an+14n>ln2.

剖析 若k>0时，则lnk+1k=ln（k+1）-lnk，利用它来达到裂项相消的目的.

解 （Ⅰ）略 （Ⅱ）令λ=12，由（Ⅰ）知，当x>0时，f（x）<0，即x（2+x）2+2x>ln（1+x）.取x=1k，则2k+12k（k+1）>lnk+1k.于是a2n-an+14n=∑2n-1k=n12k+12（k+1）=∑2n-1k=n2k+12k（k+1）>∑2n-1k=nlnk+1k=ln2n-lnn=lnn.所以a2n-an+14n>ln2.

3.利用根式裂项

例3 求证：1+222+332+…+nn2<3.

证明 因为nn2=1nn=2nn+nn

<2（n-1）n+nn-1=2n（n-1）（n+n-1）=2（n-n-1）n（n-1）=21n-1-1n（n≥2），

故不等式右边<1+211-12+…+21n-1-1n=1+21-1n=3-2n<3，即原不等式成立.

评注 将不等式中各项放缩后进行裂项求和，最后在进行放缩，使之成立.

4.利用排列组合裂项

例4 对于n∈N，求证：（1+1n）n<3.

剖析 因为不等式左边有n次方，故想用二项式定理来展开，再放缩通项，裂项相消.

证明 当n=1时，2<3，结论显然成立，

当n≥2时，有

Ckn（1n）k=n（n-1）（n-2）…（n-k+1）nkk！<1k！<1k（k-1）=1k-1-1k（k≥2）.

∴1+1nn=1+C1n1n+…+Ckn1nk+…+Cnn1nn<2+1-12+…+1k-1-1k+…+1n-1-1n=3-1n<3.

5.利用三角函数裂项

例5 （2011·安徽卷） 在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令an=lgTn，n≥1.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=tanan·tanan-1，求数列{bn}的前n项和Sn.

解答 （1）略.

（2）由题意和（1）中知bn=tan（n+2）·tan（n+3），n≥1，

另一方面，利用

tan1=tan[（k+1）-k]=tan（k+1）-tank1+tan（k+1）·tank，

得tan（k+1）·tank=tan（k+1）-tanktan1-1.

所以Sn=∑nk=1bk=∑n+2k=3tan（k+1）·tank

=∑n+2k=3tan（k+1=tank）tan1-1

=tan（n+3）-tan3tan1-n.

以上是笔者在教学中的一点体会，从中我们可以发现裂项相消在数列不等式证明中应用的频率很高，它可以和很多知识和内容结合，对学生应变能力有较高的要求，可培养学生创新思维，故在今后的教学中应加以重视.

【参考文献】

[1] 夏正勇.不等式证明中对“放缩”的几点思考[J].中学数学（高中版），2012，11.

[2]胡文，秦伟伟.感受“裂项相消”的数学美[J].数学教学研究，2009，5.