课堂，别脱离学生的思维轨迹

范艳华

摘要：数学学习本质上是一种思维活动。数学教学过程的本质是教师指导下的学生的认识实践过程，是学生的思维经过同化、顺应，构建新的数学认知结构的过程。教学中教师应该读懂学生的思维过程，把准学生的思维之脉，顺应学生的思维现实，这将有利于学生构建良好的数学认知结构，提升数学思维能力。

关键词：小学数学；数学课堂；思维；顺应；过程

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2014）04-0069-04

数学教学过程的本质是教师指导下的学生的认识实践过程。学生头脑里原有的数学认知结构与将要学习的新数学知识结构之间不断相互作用，学生的思维经过同化、顺应、构建新的数学认知结构。

而在实际的课堂教学中，依然存在着教师只顾循着自己的“设计思路”牵引学生的思维，忽略学生思维的真实过程的现象。

因此，教师如何在深入了解学生的思维真相的基础上展开学生真正需要的教学，是我们必须关注和面对的问题。这意味着教学中教师要顺应学生的原始思维、多向思维以及超前思维等思维现实，始终把准学生的思维之脉。

一、顺应学生的原始思维

教师在备课时，往往是站在教材的角度，思考知识重点是什么，要求学生掌握什么，而常常忽略学生的原始思维是什么，在教学中将学生生硬地牵入教师预设的“新轨道”，导致学生的原始思维过程得不到澄清，使学生始终停留在思维困惑中。

再完善的数学知识结构和思维过程， 教师也无法代替，教师要顺着学生的原始思维渐进引导，让学生在不知不觉中从原始思维走进新的思维。只有当学生的思维真正被启动起来，才能转化成他们头脑里的新的数学认知结构。

案例1：苏教版数学五年级上册《小数乘小数》教学片段

学生尝试计算3.6×2.8，然后交流。

生：3.6×2.8=100.8 理由：因为小数点要对齐。

师：为什么要小数点对齐呢？

生：因为在小数的计算时都要把小数点对齐。

师（一时无语）：哦，请坐下。还有别的想法吗？……

1.要读懂学生的原始思维

学生在第四单元已经学过《小数的加减法》，在计算小数加减法时特别强调把小数点对齐也就是把数位对齐；第七单元《小数的乘法和除法（一）》中已经学过小数乘整数，小数乘整数时虽然也观察积的小数位数与因数小数位数的关系，但是从形式上看，小数乘整数时，积的小数点和因数的小数点正好也是对齐的。所以当遇到小数乘小数时，有一部分学生就直接进行“经验”迁移：列竖式时将因数的小数点对齐，然后先按整数乘法的计算方法算出积，最后再把积的小数点和竖式中因数的小数点对齐。于是就有了上面案例中的情况。

2.要把学生的原始思维作为最好的教学起点

学生出现这样的结果，其实有经验的教师是应该可以预设到的，但往往是教师即使预设到了也不敢或者不愿正面去应对，常常采取避而不答的态度。

殊不知，学生的原始思维，正是教学中学生学习的最佳的生长点。上面的案例中学生的原始思维虽然是错误的经验迁移，但是其中蕴含着它的合理因素，那就是“小数乘小数首先是按整数乘法的计算方法算出积”，这一步显然至关重要。此时，教师要先肯定这位学生的正确之处，然后再这样追问：“原来是两个小数相乘，现在把它们当作整数相乘，那么乘得的积和原来的积比较发生了怎样的变化？如果将积的小数点和因数的小数点对齐，是不是就回到了原来积的大小呢？”在这样的追问下，学生自然就会在思维上深入一层，从积的变化情况去求索积的小数点的位置这个关键的问题。在基于学生原始思维基础上的教学过程中，学生有一种始终被教师尊重和关注的感觉。在这样的“感觉”驱动下，学生的思维会在不知不觉中随着教师的引导主动深入到更高层次的数学问题情境，进而得到真正的发展。

二、顺应学生的多向思维

在教学中，面对一个数学问题，由于学生的先有经验、思维特点、思维水平的不同，往往会有不同的思维方向，进而产生不同的思维结果。面对学生的多向思维，教师往往只取合乎预设教学思路的，而去除一些与预设教学思路不符合的或者有点“旁门左道”的结果。这样，表面看来似乎教学推进顺利，而实际上，在这样的教学过程中，一些学生活跃的思维被嘎然“关住”了。随着教学的继续，这些学生不明白：自己明明想的是对的，为什么老师却对自己的想法不置可否或者不予理睬呢？试想，在这样的教学过程中，多少闪亮的思维被教师的“不予理睬”给扼杀了。教学目标的达成难道仅仅是教材知识技能的落实？

案例2：苏教版数学五年级上册《一个数除以小数》教学片段

师：7.98÷4.2，这是今天我们要研究的除数是小数的除法，显然目前我们还不会算。你们会将它转化成我们已经会算的算式来计算吗？

生1：我想把它变成798÷42，然后把算出来的商再除以……（学生在思考、在犹豫）除以1000。

其他学生有不同声音：不对，是除以100。

师：意见不太统一，看来这种方法有点问题。还有不同的想法吗？

生（在下面轻声说）：只要把商除以10就可以了。

生2：只要把它变成798÷420，这样商是不变的。

师（面露欣喜）：你的想法很有道理，你想到了用商不变的规律来解决这个问题。老师有个小建议，你看用商不变的规律能不能把它转化成简单一点的除法？比如我们前面刚学过的小数除以整数？

生3（受了教师的暗示恍然大悟）：老师，只要变成79.8÷42就可以了。

师：你真聪明！来说说看，你是怎么想的呢？

生3：只要把被除数和除数都乘10，这样就是小数除以整数啦，而且商是不变的。

师：掌声在哪里？

（学生们鼓掌。）

师：你们看，这么一变，我们就把未知的问题转化成了已知的问题。来，用这样的方法我们来试着算一算。

（学生尝试计算。）

1.要打开学生的多向思维

上面案例中，学生出现了三种不同的思维结果：想法一将除数是小数的除法变成整数除法，发现商会发生变化，于是想办法将商进行还原；想法二将除数是小数的除法根据商不变规律直接转化成整数除法，这样虽与教材的方法不一致，但接近了；于是在教师的“引导”下，就出现了和教材完全一致的方法三，将除数是小数的除法转化成除数是整数的除法。透过学生的多向思维的三种结果我们可以看到，尽管学生的思维是多向的，方法也各有不同，然而在这些不同中总有着本质的相互联系，也有着本质的共同点：即学生都在设法将未知的“不能”转化成已知的“能”，把小数变成整数。不同的是，想法一想到的先“变”再“还原”，也就是先把除数和被除数都变成整数，观察分析被除数和除数发生的变化引起商发生的变化，再把商“变回来”，但由于变化有点复杂，一时没有厘清还原的思路。而想法二是直接利用商不变的规律达成了形式变了而实质没变，想法三其实与方法二基本相同，只是着眼变化的点不同，方法二是将被除数和除数都变成整数，而方法二只要将除数变成整数。教师要善于在学生的思维充分被激活的状态下，引领学生一起走进新知的探索之旅。

2.要把多向思维作为最好教学深入点

“一切教都是为了不教”，在遇到一个新的数学问题时，当教师充分激活学生的思维，让学生将自己的想法“倾囊而出”时，学生的思维之阀就会一下子打开。此时，学生之间还会进行思维的碰撞与启发，在交流碰撞的过程中逐步优化解决问题策略，提升思维的深度和广度。

上面案例中，当学生出现想法一又说不清时，教师可以将之记录下来，然后再倾听别的想法，于是很自然会出现想法二和想法三。这时，教师就组织学生以学习小组为单位选择其中一种或几种方法进行研究，相信学生定能将之阐释清楚。最后，教师再组织学生比较，这三种方法哪种更优。学生有可能会觉得三种方法都不错。这时，教师可以设计这样一组题：37.5÷7.5 0.476÷2.8 4.7÷2.35让学生继续练习。第一题让学生体会：在小数位数相同的情况下，三种方法优势相差无几。第二题让学生体会如果要将被除数和除数都变成整数，显然比较麻烦，只需转化成除数是整数就可以了。第三题让学生体会：本质是看除数，目的只需将除数变为整数。通过这三小题的练习比较，学生在计算中自主选择合理的策略解决实际的数学问题，明白了解决问题时首先要明确所选思路的方向，然后顺着这个方向再选择合适的策略，同时还要学会策略之间的相互比较，在某个解决策略行不通或者遇上麻烦时，可以对解决问题的思路进行修整，或者改道而行。这样的过程中，学生习得的不仅是一种新计算的方法，更宝贵的是习得了一种学习数学的方法。

三、顺应学生的超前思维

如果问教师这样一个问题：“你在备课和上课的过程中，最关注的是哪一层次的学生？”相信很多教师会回答：“我最关注的是那一批学得比较慢的学生，我得保证这些学生能掌握新知。”可以看出，这样的教师责任心很强，班级授课，当然要兼顾到全体，尤其是那一批“学得慢”的学生。在设定教学目标时我们得保证每个孩子对于“双基”的落实，即掌握本节课的基础知识，形成基本技能。但是，在教学的实际过程中，我们往往会遇到有的学生的思维走在了教师预设之前，或者远远超过了预设的思维范围。这样的时候，教师往往不敢往前跨越，因为怕这样的超前思维干扰了基本思维的走向，怕这些超前学生“影响”学得较慢的那批学生，使得他们无法落实“双基”。事实证明其实不然，一部分学生的超前思维，能带动全体学生的思维走得更远。

案例3：苏教版数学三年级上册《整百数乘一位数的口算》教学片段1

①2×3 6×8 4×7

200×3 600×8 400×7

学生口算后，教师提问：算完这些题你想说什么？

生1：200×3=600中的6和上面的6相同。

生2：6×8=48 6×800只要把上面的48拉下来再添2个0。

师：下面老师先出一题，你们先算再来猜它的上一题或者下一题。我出300×8

生：300×8=2400，下面一题3×8=24.

师：我出5×9=45，猜猜它下面一题可能是什么？

生1：500×9=4500

生2：900×5=4500

生3：500×9=4500

生4：500×900=……四万五百（第一次超前）

师：（没有将之板书出来），可以的，但是你们还不会算，算出的这个数可能你们还不会读。

片段2：

②分一分 想一想

6×8 30×7 4×90 3×7 400×9 4×9 300×7 4×9

四人小组，把这些算式分一分类，并说说为什么这么分？

师：3×7和4×9都有好朋友，6×8特孤单，你们也来给它找几个朋友呢。

生1：6×800=4800

生2：6×80=480

生3：600×8=4800

生4：800×6=4800

生5：600×800（第二次“超前”，仍然是刚才的那个男孩）

师：你坚持还要出这个题，你知道等于多少？试试看。

生5：等于四万八百。

师：这个数你不会读，但你知道大概等于多少。

生5：（自我纠正）四万八千。

师：（微笑着）下面我们再来练习。

1.要接住学生的超前思维

义务教育数学课程标准（2011年版）指出：数学知识的教学，要注意知识的“生长点”和“延伸点”，要把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识之间关系，引导学生感受数学的整体性。

对于数学的整体性，我们可以从两个层面理解：一是知识体系的整体性，二是学生思维的整体性。知识体系的整体性不难理解，但是思维的整体性，这是一个隐性的、基于学生的实际情况而论的体系，具有一定的动态性和随机性。

上述案例中，教师预设的知识技能目标是让学生在已经会口算整十数乘一位数的基础上让学生掌握整百数乘一位数的口算方法，并且特别注重沟通整十数乘一位数、整百数乘一位数与相对应的一位数乘一位数的表内乘法的联系，借助表内乘法来算出整百数乘一位数。

让学生分一分类，给其中一个算式“找朋友”等练习，给了学生充分的思维空间。应该说教师已经有了将数学知识置于整体的数学知识体系中的思想。但是在放手的同时，教师的心中始终有一个“界限”：本堂课主要教学整百数乘一位数，所得的积是三位数或者四位数，如果是整百数乘整十数或者整百数乘整百数，那么已经超过了学生对本节课的认知范围，所得的积可能学生不会读，而且算理也超过了本节课的范围。因此，当学生思维第一次超前时，教师采取了“这个知识你还不会”加以回避，而当学生思维第二次超前时让学生试一试，然后暂时搁置。显然，教师还是不敢越出既定的目标。

学生的思维是具有整体性的，经过一系列的沟通练习，思维已经由口算一位数乘一位数的方法延伸至将其中一个乘数末尾分别添写一个0、两个0、三个0……，或者将两个乘数的末尾都添加一个0、两个0、三个0……这样的整体体系中。如果此时教师还是将学生拉回界限以内，这位“超前”的学生将因为教师无视他的思维结果而不再“平静”，他将始终纠结在这个他认为非常正确的问题上。同时，对于其他学生而言，被激起的“共鸣”也将因为教师的无视而自生自灭。显然，这是违背学生学习心理和思维发展规律的。因此，这个时候，教师要接住学生超前的思维，顺势将学生的思维引进更宽广的领域。

2.要把学生的超前思维作为教学的延伸点

学生思维“出界”之处，往往就是教学中思维的延伸处。接住并顺应着学生超前的思维，对于整个教学过程来讲，无疑是一个打开和延伸学生思维的良好契机。

在上述案例中，教师可以果断接过学生的思维，巧妙带领学生“超越”过去。当学生说出“500×900=……四万五百”时，教师可以先将学生举的这一算式记录在黑板上，结果先不写出，让学生来辨析一下：这位同学给“5×9=45”找的“500×900”算式朋友和上面的几个算式有什么不同？（两个乘数的末尾都有0）又有什么相同之处呢？（引导学生得出这些算式都和5×9是“好朋友”，也就是乘数、积之间都有密切的联系）。在辨析清楚算式层面的特征以后，可以组织学生讨论得出，这个算式的积是多少，并试着让学生说出自己的思考过程。学生定能找到其中蕴含的规律，并进一步举一反三。

这时，尽管没法完全讲清算理，但是，顺着学生的思路，当教师接过学生的这一超前思维，在课堂的这一站停留片刻，其他学生的思维也一下子被打开了，最为可贵的是学生习得了在举一反三中让思维向深处发展的能力。从某种意义上说，这应该比让学生熟练掌握本节课的口算技能更为重要。

综上所述，顺应学生的思维现实的数学课堂，学生的思维必然是开放的，是在教师的引导下真正自然生长的，是不受任何现有的“标准答案”桎梏的。这样的课堂，能让学生通过具体数学知识内容的学习和各种具体的数学活动，正确、深入地理解和牢固掌握数学基础知识和基本技能，构建良好的数学认知结构，提升数学思维能力。这样的课堂，学生才能真正感受到数学学习的乐趣，开阔数学学习的视野。

责任编辑：石萍