浅析导数在函数三个性质中的应用

仇正权 李素英

【摘要】 导数与函数间有着紧密的联系，本文主要从导数与函数的单调性、零点以及极值、最值这三个方面出发，对导数在函数中的应用作一个基本的探讨，从而促进对导数和函数这两个知识点的进一步认识.

【关键词】 单调性；零点；极值；最值

导数作为微积分的初步知识，是近代数学的重要基础，它体现了近代数学中的重要思想——极限思想，同时也是联系初等数学与高等数学的桥梁.它的引入为解答数学问题开辟了新的视野，是探究函数、不等式、三角函数、解析几何和数列问题的有力工具.另外，导数作为一个特殊的函数，其与函数之间有着千丝万缕般的联系，理清它们之间的关系，从而对导数和函数的进一步学习和理解，能起到较强的促进作用.笔者主要从三个方面，对导数在函数中的应用作一个初步的分析.

一、导数在函数单调性中的应用

运用导数解决函数的单调性是一种较为便捷的手段，但我们在判断单调性时一定要清楚以下两个关系，方能正确地判断函数的单调性，下面就以增函数为例子，做一简单的剖析，默认条件都是函数y=f（x）在对应区间内可导.

（1）f′（x）>0与f（x）为增函数的关系.

如果f′（x）>0，那么f（x）定为增函数，反之则不一定，例如函数f（x）=2x3在（-∞，+∞）上是单调递增的，可是f′（x）≥0，所以f′（x）>0是f（x）为增函数的充分不必要条件.

（2）f′（x）≥0与f（x）为增函数的关系.

如果f（x）为增函数，那么f′（x）≥0，反之则不一定，因为f′（x）≥0，即为f′（x）>0或f′（x）=0，若函数在某区间内有f′（x）=0恒成立，则f（x）为一常数，函数没有单调性，所以f′（x）≥0是f（x）为增函数的必要不充分条件.

例1 已知函数f（x）=x3+ax2+2x-1在 R 上是增函数，求实数a的取值范围.

解 f′（x）=3x2+2ax+2，∵y=f（x）在 R 上是增函数，∴f′（x）≥0在 R 上恒成立，即Δ=4a2-24≤0，解得：- 6 ≤a≤ 6 .

评析 如果函数在某区间上已经确定了单调性，求参数的取值范围时，要注意f′（x）=0的情况，此题很多时候会得出错误的答案：- 60.另外，也要注意特别的情况，如：f（x）=（m-2）x+n在 R 上单调递增，则m的取值范围是m>2，此时m就不能等于2.对此，可以这样去理解：f′（x）=0可以成立，但不是恒成立，在具体情况中，要能根据题目的不同而进行灵活的处理.