让学生的思想在“数”与“形”的世界里自由穿梭

曾勤

【摘要】 数形结合不仅是解题的工具，更应上升为一种数学意识和科学意识.深层探索数学新课教学中数形结合的教学方法，把数形结合作为数学思想的有机整体进行阐释.“形”中觅“数”，在变化中实现概念的发展；“数”中思“形”，在探究中实现知识的发展；数形结合，在拓展中实现方法的发展；提炼升华，在反思中实现思想的发展.课堂教学中充分体现数形结合思想使用的有序性、层次性和过程性，让学生在数形结合的思想帮助下正确理解函数极值的概念，学会用导数判别函数极值的方法.

【关键词】 数形结合；函数的极值；导数

众所周知，数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的一门学科.而数与形是同一事物的两个属性，数无形不直观，形无数难入微，由数思形，由形想数，相互推进，层层深入，易于揭露本质与规律.数形结合的思想便是数学学习的重要思想之一.数形结合思想方法的教学价值和解题功用也早已得到广大数学教学工作者的认可，其理论研究和实践探索也日趋深入.而笔者在教学实际中常常遇到这样的现状：一些能用“数形结合”巧解的题目，在学生自己做题时却想不到用“数形结合”的方法，等老师提示后才恍然大悟，但下次再碰到其他类似情景却还是不能主动用数形结合的思想解决问题.究其原因是在平时的课堂中教师更多的只是把它视为解题的手段，只在使用时一带而过，数形结合的教学过程不深入，课堂教学中数形结合思想使用不完善，未能更好地培养学生数形结合的数学意识.

作为一种重要的数学思想，数形结合不仅是解题的工具，可以上升为一种数学意识，甚至是一种科学意识.如何使学生在学习的过程中掌握和运用这种思想？这就需要教师在新课的教学中有意识、有目的地结合数学知识，把融合在知识、技能之中的数形结合思想方法提炼出来，再通过训练逐步渗透，在“渗透—积累—重复—内化”的过程中转化为学生的数学思想素养，提高学生的数学能力.笔者在区级公开课中开设了本节内容的新课教学，得到了专家的指导，在教学实践后对这个问题有了一些肤浅的看法，现形成以下观点就教于方家.

1.“形”中觅“数”，在变化中实现概念的发展

人教版普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-2》第1.3.2节“函数的极值与导数”给出了如下三个函数图像：

观察1：图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h（t）=-4.9t2+6.5t+10的图像.

图138

观察2和观察3：图1.39和图1.310，函数y=f（x）在a，b，c，d，e，f，g，h等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？函数y=f（x）在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f（x）的导数的符号有什么规律？

图139 图1310

如何运用教材中的上述情境才能达到较好的教学效果呢？下面请看课堂实录片段.

教师：通过上节课的学习，导数和函数单调性有什么关系？

学生1：函数单调递增，导数大于零；函数单调递减，导数小于零.

教师：大家观察图1.3.8，回答这样一些问题.

（教师展示问题）（1）在点t=a附近的图像有什么特点？（2）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？（3）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h（t）在t=a处的导数是多少呢？

学生2：在t=a左边的图像单调递增，导数大于零，右边的图像单调递减，导数小于零，在t=a处导数等于零.

教师：你是如何判断在t=a处导数等于零呢？

学生2回答预习过.其他有同学补充导数有大于零的有小于零的，中间肯定是等于零.

教师：很好.那对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？那我们再来观察分析函数f（x）=2x3-6x2+7在x=0，x=2附近的函数值分别与f（0），f（2）的关系.在这两个点附近的导数符号有什么规律？

学生3：f（0）比周围的函数值大，f（2）比周围的函数值小.当x<0时导数大于零，x>0时导数小于零，x<2时导数小于零，x>2时导数大于零，在x=0和x=2时导数等于零.

教师：很好.（同时利用几何画板动态演示图形，并用具体的数字对学生回答证明）

教师：大家再观察1.3.9图所表示的y=f（x）的图像，想一想函数y=f（x）在a，b点的函数值与这些点附近的函数 值有什么关系？函数y=f（x）在a，b点的导数值是多少？在a，b点附近，y=f（x）的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢？

学生归纳：函数f（t）在a点处h′（a）=0，在t=a附近，当t0；当t>a时，函数单调递减，f′（x）<0，即当t在a的附近从小到大经过a时，f′（x）先正后负，且f′（x）连续变化，于是f′（x）=0.

教师：那对于有这样性质的点我们给它们一个总的名称吧——引出概念.（学生一起学习概念）

教师：那大家再思考一下函数的极值点唯一吗？极大值一定大于极小值吗？

教师展示图1.3.10，通过图像学生能得到统一的答案.

分析：数学中每一个概念都有其原始的直观的模型，都有其来龙去脉，教科书给出了大量的函数图像，让学生观察图像，直观感受函数在某些点（极值点）的函数值与附近点函数值大小之间的关系，并直观感受函数在这些点的导数值以及在这些点附近函数的增减情况.从图像上看非常直观，学生有“眼见为实”的感受，为学生自我探索函数的极值与导数的关系搭好了桥梁.同时以图1.3.10为例进行了具体说明.在此基础上，给出了函数的极大值和极小值概念，学生对函数极值的概念能有清晰图像的记忆和理解.

2.“数”中思“形”，在探究中实现知识的发展

作为导数在研究函数中的应用的第二节课，本节课的重点应放在求三次函数的单调区间以及极值.那么如何自然地建构出其解决的步骤呢？下面请看教学片段.

教师：那我们现在一起总结函数极值的特点.

（教师再次通过图形和表格图像对函数极值的特点进行了回顾，表格图像得到了学生的认同，也为后面求三次函数极值打下了伏笔，引导学生可以用表格图像来确定函数的极大值和极小值）

练习：已知函数f（x）=ax3+bx2+cx，其导函数的图像经过点（1，0）和（2，0），如图所示，则下列说法不正确的是（）.

A.当x=1时取得极大值B.当x=2时取得极小值

C.当x=1.5时取得极大值D.函数有两个极值点

解析 略.

提炼：通过导函数的图像求极值点时，根据极值的定义先看导函数与x轴的交点，再由此点左右导数的正负来判断极大值点还是极小值点.

例1 求函数f（x）= 1[]3 x3-4x+4的极值.

解析 略.

师生一起完成例1的解答，在解决问题的过程中体会作出表格更清楚地判断极大值点或极小值点的便利.同时学生根据计算作出三次函数的草图.

分析：例题教学除了有强化概念理解、完善认知结构的功能外，更为重要的是能从中提炼出解决问题的一般方法.为了突破求函数极值的难点，在例1学习前先表格图像再次总结了函数极值的概念，表格直观清楚，容易看出具体的变化情况，并且判断极大值还是极小值，合理过渡，同时又设置了一个用导数图像求函数的极值的练习，利用数形结合思想的优势使得学生的思维实际化、具体化，有意识地运用和揭示了数形结合的思想，化解了难点，帮助学生更加准确、快速地解决问题.

3.数形结合，在拓展中实现方法的发展

知识的应用和适度引申更是数学课堂的一个重要环节，能更好地帮助学生理解知识的内涵及外延.本节课设置了例2来强化概念的理解，在数形结合思想的使用中更深地感受到其方法之巧妙，问题的某些数量特征往往能给人们有关构建图形的提示，反过来，利用图形的结构特征又能够帮助人们找到解决问题的思路.

例2 若关于x的方程x3+4x2+5x+2=k有三个不相等的实数根，求实数k 的取值范围.

学生思考了2分钟后，基本上都比较迷茫，不知解决出路在哪里.

教师：大家觉得有点无从下手是吗？

众生：是.

教师：那以往我们都是用什么办法来解决根的个数问题的？

学生：用判别式，但是这里是三次函数没有判别式.

教师：哦.那我们只能把判别式的方法先暂时搁置一旁.对于三次函数我们能做什么呢？

学生：刚刚学会求三次函数极值和作出草图.

教师：那草图能帮我们解决这个问题吗？

学生：求函数图像交点的个数.

教师：很好.

分析：用函数的图像讨论方程的解的个数是一种重要的思想方法，可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.加深数形结合的思想的理解和运用.而对于不熟悉的函数的图形可以通过求函数的极值勾勒函数图像，以数解形，感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性.教学中紧紧抓住数形转化的策略，沟通知识联系，激发学生学习兴趣，提高学生的思维能力.只有这样，数形结合才能不断深化提高.

4.提炼升华，在反思中实现思想的发展

在课堂小结中，学生一起提炼本节课的主要思想，不足之处教师补充，实现思想的突破与发展.

教师：回顾本节课的主要内容及研究思想，我们首先通过观察大量的图像发现了一些点有着共同的特殊性质，实现了概念的生成；同时求函数极值可以画函数的大致图形来研究函数的更多性质，这些都是数形结合的思想.最后一道含参数问题，本来很棘手的问题在用了数形结合的方法后迎刃而解.以后同学们见到数量就要考虑它的几何意义，见到图形就要考虑它的代数关系，找出问题的关键.在思考和解决问题的过程中，数和形两个方面往往不能截然分开.尤其是一些较为复杂的问题，需要两个方面的互相转化，相互利用.

分析：加强数学思想方法的教学可以让学生从简单盲目的学习转化到有意义的学习状态，缩短学生在学习中盲目探索的过程.数形结合则是具体与抽象、感知与思维的结合，是发展形象思维与抽象思维并使之相互转化的有力“杠杆” 教师应在数学教学中尽量发掘“数”与“形”的本质联系，借助数形结合的“慧眼”，探索分析问题和解决问题的方法，变学生学会为会学，提高学生的数学素养，在数学教学中真正实现素质教育.

5.数学教学中渗透“数形结合”思维的思考

数形结合的思想堪称数学界的经典思维，但是仅凭复习时数形结合方法的专题学习还太片面，数学教学是数学思维的教学.思维始于问题，设计适宜的问题、好的问题、能引起学生积极思维的问题，是有效地培养学生数学思维的 前提.如在新课的知识发现过程的呈现中，教师的一些启发性思考问题是适宜的，如“大家观察图1.3.8，选择什么工具可以量化图形的变化？”“能否通过图像在点A附近导数符号的变化来探究点A处导数值？”“这是偶然还是可以推广的结论？”等等.问题的设置一定是符合学生的思维发展特点，有一定的引导性和思维量，同时也有适当的启发性，启发性可以“由远及近”“由弱及强”逐步给出.

课堂教学注重学生的“数形结合”思维培养当然要关注学生的思维过程，关注学生对问题是怎么样思考的，设身处地地了解学生的思维障碍在哪里.首先要给学生表达的机会，不但让他们表达自己的思维结果，还要表达思维过程，可以用书面表达，也可以直接口头表达.其次，教师对学生的表达可进行追问，以进一步挖掘学生的思维过程，或者将问题通过图形呈现让学生来量化，或将问题以代数呈现让学生通过图像来形象化，变换的形式来深入学生的思维活动，推向高潮，从而更好地提高思维层次，发展思维，让“数形结合”的思想在学生的头脑中逐渐生根发芽，自由地将此思想运用到平时的学习或生活中.

【参考文献】

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[4]涂荣豹.谈提高对数学教学的认识[J].中学数学教学参考，2006（1-2）.