基于Excel的层次分析法模型设计

基于Excel的层次分析法模型设计

潘丽娟

（东北财经大学职业技术学院，辽宁 大连 116023）

[摘 要] 层次分析法是美国学者T.L.Satty于20世纪70年代提出了以定性与定量相结合，系统化、层次化分析解决问题的方法，简称AHP。用手工计算的层次分析法算法具有构造判断矩阵繁杂、计算繁多重复且容易出错、一致性调整比较麻烦等缺点。本文利用微软Excel电子表格强大的函数运算功能，建立了简明易懂的层次分析法模型，使判断矩阵的构造、层次单排序和层次总排序的计算以及一致性检验和检验之后对判断矩阵的调整变得十分简单。

[关键词] Excel；层次分析法；模型

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2014 . 17. 071

[中图分类号] TP391 [文献标识码] A [文章编号] 1673 - 0194（2014）17- 0115- 03

1 层次分析法的基本原理

层次分析法是美国的运筹学家匹兹堡大学教授T.L.Satty（萨蒂）于20世纪70年代初为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价法，提出的一种层次权重决策分析方法（Analytic Hierarchy Process，AHP）。 该方法于1982年引入中国。

层次分析法是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标或多准则的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序和总排序，是多指标、多方案优化决策的系统方法。它主要是将人们的思维过程层次化，逐层比较其间的相关因素并逐层检验比较结果是否合理，从而为分析决策提供较具说服力的定量依据。层次分析法不仅可用于确定评价指标的权重，而且还可用于直接评价决策问题，对研究对象排序，实施评价排序的评价内容。其优点是既采用具有适应环境灵活性的“相对标度”，同时又充分利用了专家的经验和判断，并能对误差作出估计，能较好地解决公共决策系统中的问题。其缺点就是对目标准则难以保证互斥性和完备性。

用AHP分析问题大体要经过以下5个步骤：

1.1 明确问题

在分析社会、经济以及科学管理等领域的问题时，首先要对问题有明确的认识，弄清问题的范围，了解问题所包含的因素，确定出因素之间的关联关系和隶属关系。

1.2 建立层次结构模型

根据对问题的分析和了解，将问题所包含的因素，按照是否共有某些特征进行归纳成组，并将其共同特性看成是系统中新的层次中的一些因素，而这些因素本身也按照另外的特征再进行分组，并将其共同特性看成是更高层次的因素，直到最终成为单一的最高层次因素。

同一层各因素从属于上一层因素，或对上一层因素有影响，同时又支配下一层因素或受到下层因素的影响，而层内各因素基本上相对独立。

最上层为目标层（一般只有一个因素），最下层为方案层或对象层/决策层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则层或指标层 。即目标层O—准则层C—方案层P。

当准则层因素过多（例如多于9个） 时，应进一步分出子准则层。

注意：建立一个好的层次结构对于解决问题极为重要。层次结构模型如图1所示。

1.3 构造判断矩阵进行一致性检验

（1）构造判断矩阵。

设某层有n个元素：X={x1，x2，x3，…，xn}，要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重（即把n个因素对上层某一目标的影响程度排序）。上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1～9尺度（见表1）。

用aij表示第i个因素相对于第j个因素的比较结果，则

A=（aij）n×n=a11 a12 … a1na21 a22 … a2n an1 an2 … ann

A则称为成对比较矩阵。

如果数值为2，4，6，8，表示第i个因素相对于第j个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。

倒数：若j因素和i因素比较，得到的判断值为aji = ■。

（2）用和积法或方根法等求得特征向量 W（向量 W 的分量 Wi 即为层次单排序）并计算最大特征根λmax。

（3）计算一致性指标 CI、RI、CR 并判断是否具有满意的一致性。

其中CI=■

平均随机一致性指标 RI 的数值见表2。

CR=CI/RI，一般当一致性比率CR<0.1时，认为A的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对A加以调整。

（4）一致性检验：

①对每个成对比较阵，计算其最大特征根λmax和特征向量（和法、根法、幂法等）■=W1Wn。

②利用一致性指标CI（Consistency Index）、随机一致性指标RI和一致性比率CR=■做一致性检验。

③若通过检验，即CR<0.1，则将上层计算出的特征向量■=W1Wn归一化后作为Bj到Aj的权向量，即单排序权向量。

④若CR<0.1不成立，则需重新调整成对比较阵，直至符合一致性检验。

1.4 层次单排序及一致性检验

计算出本层次所有各因素相对于上一层次中某一因素的相对重要性，这种排序计算称为层次单排序。其本质就是计算判断矩阵的最大特征向量，最常用的方法是和法和方根法。

1.5 层次总排序（见表3）

上面我们得到的是一组元素对其上层中某元素的权重向量。我们最终要得到各元素，特别是最低层中各方案对于目标的排序权重——层次总排序，从而进行方案选择。

总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。具体方法如下：

设上一层（A层）包含A1，A2，…，Am共m个因素，它们的层次总排序权重分别为a1，a2，…，am。又设其后的下一层（B层）包含n个元素B1，B2，…，Bn，其关于Aj的层次单排序权重分别为b1j，b2j，…，bnj（当Bi与Aj无关联时，bij=0）。现求B层中各因素关于总目标的权重，即求B层各因素的层次总排序的权重b1，b2，…，bn，计算按表3所示方式进行，即bi=■bijaj，i=1，…，n。

对层次总排序也需作一致性检验。检验仍像层次总排序那样由高层到低层逐层进行。这是因为虽然各层均已通过层次单排序的一致性检验，各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性，但当综合考查时，各层次的非一致性仍有可能积累起来，引起最终分析结果较为严重的非一致性。具体方法如下：

设B层中与Aj相关的因素的成对比较判断阵在单排序中经一致性检验，求得单排序一致性指标为CI（j），（j=1，2，…，n）相应的平均随机一致性指标为RI（j）（CI（j），RI（j）已在层次单排序时求得），则B层总排序一致性比率为

CR=■

当CR<0.1时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。

2 层次分析法 Excel 模型设计过程

案例：某人欲到苏州、杭州、桂林三地旅游，选择要考虑的因素包括4个方面：景色、费用、居住和饮食，用层次分析法选一个适合自己情况的旅游点。

2.1 建立层次结构模型

根据题意可以建立层次结构模型（如图1所示）。

2.2 Excel实现过程

（1）将准则层的各因素对目标层的影响两两比较结果输入Excel表格中，进行单排序及一致性检验，如图2所示。

（3）层次总排序，由于苏州数值最高，故选择的旅游地为苏州，如图4所示。

其中，C44=K14，G44=■C■43*C44，H48={SUM（■C■43：■F■43*C48：F48）}，注意：这是一个数组函数需按Ctrl+Shift+Enter三键确定。

3 基于Excel的层次分析法模型设计的优势

（1）用 Excel 进行层次分析，它以广泛使用的办公软件 Excel 作为运算平台，无需掌握编程方法和代码，具有很好的推广应用价值。

（2）用 Excel 进行层次分析，其计算步骤设计环环相扣，步骤设计完毕后，可以按需要填充或变更，其余数据和结果均可以在填充或变更判断矩阵之后立即得出，使得整个运算过程简捷、轻松。另外，相似的矩阵区和计算区可以通过复制完成，只需改动少量单元格即可。

（3）用 Excel 进行层次分析，将一致性检验也同时计算出来，决策者和判断者可以即时知道自己的判断是否具有满意的一致性，可以随时简单地进行调整直到符合一致性要求。

（4）如果一致性指标不能令人满意，用本方法可以比较容易地实现对判断矩阵的调整，可以实现对判断的“微调”，而不必进行繁复的运算。