关于高三数学复习例题教学的几点认识

杜振义

【摘要】 高三数学复习主要是通过例题的教学来加强学生对数学知识的掌握和能力的提高，那么选择怎样的例题才能更有效地带领学生达到事半功倍的复习巩固效果，本文从几个方面谈谈个人的认识.

【关键词】 高三数学；例题；教学

高中数学知识的学习是一个不断深化、扩展的过程，一个数学对象在学生的不同学习阶段有着不同的学习要求.复习课上的例题的分析、探索、讲解都给学生提供某些示范，如解题的规范性、思想方法的运用等，极大影响着学生的学习方式.例题教学是数学复习的主要手段，直接影响着复习效果，选择好的例题，并充分利用好例题，让学生在探究学习中得到极大的提高是我们每一位教师的追求.

一、例题教学要加强数学思想渗透

思想是数学的核心，没有了思想，数学可能就是一些公式、公理等的简单集合，对于学生收获的只是一些机械的记忆和解题上的技巧，而没有能力的提高.表现在解题中，学生只是就题论题，看了很多例题但不会解题，更不能触类旁通、举一反三，就是举三也不能反一这种现象.相反，例题教学若有了思想性，引导学生从思想方法的高度来把握题目，对问题的理解才会深入于心，持续的例题教学贯穿整个高三数学教学的始终，例题的思想性就会反复影响着学生，逐步地形成良好的思维品格，对于一个个问题学生才会思如泉涌、驾轻就熟.例如 “已知x>0，y>0， 1 x + 4 y =1，求x+4y的最小值”这个问题大多出现在基本不等式教学课堂上，常要求学生利用基本不等式进行套用，加强了学生对公式运用的能力，强调了解题的技巧；如果在这一题讲解中能注入函数思想，把二元函数化成一元函数，学生就会在学习中体会数学的思想性，从而牢牢掌握这类习题的通用解题方法.

数学的思想会在例题教学中得以体现，我们需在每一道精心编拟的数学例题中注入思想性，不断渗透，适时讲解，从思想上找到共性通法，淡化特殊技巧，避免在高三复习即将结束时去讲一两个思想专题就了事的做法.

二、灵活运用好“一题多解、多变”“多题一解”多种形式，激活学生思维

高三数学复习是要求通过少而精的习题教学，让学生在知识、能力上得到训练与提高；复习中如果对一个问题能从多角度进行分析、解决，学生就会在对同一数学问题的多角度的审视中产生不同思维活动，也会给他们的学习注入新的兴趣点，让他们在不同的解法中有所想、有所感，他们会比较哪种解法更好，好在哪里？哪种解法更具有一般性？哪种解法带有一定的技巧性？在注重通法、淡化技巧的学习中更应要掌握哪种解法？这些解法的理论基础是什么？是如何想到的？从而巩固学生的多项知识，加深对数学的理解.

适当的时候进行一题多变，改变其中部分条件或数字，可能会形成一个全新的数学问题，由于思维的习惯学生对这类形似的问题很难很快适应过来，他们对待问题要么生硬地照搬，要么无所适从，这时对学生加以引导，让他们发现各种类似问题的联系和差异，掌握和消化多个数学问题，掌握解题一般规律与方法，触类旁通，提高学生的应变能力，同时也能给课堂注入新的活力.

进行“一题多解或多变”，要充分地照顾到学生能力水平，在能力范围进行，否则由于太过发散、灵活，重点不够突出，学生可能会感到无所适从，加重学生学习负担，又淡化了某种思想应有的作用.如cosα+2sinα=- 5 ，求tanα.（2008年浙江省高考理第8题） 有教师在一节课里一口气给出了7种解法：可与cos2α+sin2α=1组成方程组解；有平方后右边改为5（cos2α+sin2α=1）再改tanα；有构造函数f（x）=cosx+2sinx讨论最值的；有构造点P（cosα，sinα），Q - 1 5 ，- 2 5 后求得PQ=0，所以PQ重合；观察 - 1 5 2+ - 2 5 2=1， cos2α+sin2α=1进行类比求解等，这些多种解法包括了丰富的数学思想方法，对于基础不是太好的学生，思维能力可能跟不上，有时学生别说能想到，就是看了也会眼花，此时如果解法上又不能突出重点，他们的能力培养就更难以落实了.

把看似不同的例题解法进行归纳，寻求统一的解法，说是我们常说的“多题一解”，进行多题一解就是要去除问题的不同表象，寻求其中所蕴含的数学思想，在思想上进行统一才有方法上的统一，帮助学生积累数学思想与数学方法，针对高考题的特点，科学、适当地加以训练，就一定能有效地避免学生投入到无穷的题海中.如下列几个问题：

①判断函数f（x）=2ax2-x-1的零点个数.

②方程2ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一解，求a的取值范围.

③在（0，1）存在x，使得不等式2ax2-x-1<0，求a的取值范围.

可以进行解法上的统一，都转化为函数f（x）=2ax2-x-1，利用函数的图像与性质来解决，学生会在这种不同形式同一思想中找到解决问题的思路，认识到这些数学思想才是解决问题的关键.

三、加强思维的逻辑性，实现数学能力全面提高

数学能力的培养是教育教学的一个目标，受到了广大教师的重视.对于运算能力作为数学的基本能力，它不仅包括数的运算，还包括代数式和一些超越式（指数式、对数式等）的恒等变形，以及大量的几何量的计算等，重要性我们都能认识到，以至于出现有教师在高三数学课堂上愿意花费几分钟或更长时间和学生一起解二元二次方程组现象；在对数列求和时，也会设计多组练习，加强错位相减法、裂项法、倒序求和法等多种变形方法的训练.也能注意高考对空间想象等基本的数学能力等考查，复习中加强学生画图读图训练，让学生从图形中基本元素及其相互关系构建思维的框架等.但逻辑思维 能力由于有更高的抽象度和难操作性等特点，很多时候被我们所忽视或做淡化处理，没能认识它的重要性.而在高考数学中，要求学生会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，会用演绎、归纳和类比进行推断，能准确、清晰、有条理地进行表述.这些是对逻辑思维能力提出了三个层次的要求，也体现了逻辑思维能力是数学能力的核心.我们要重视这种能力的培养，要在例题教学中对每一个数学问题的解决，都要求考生进行必要的观察、思考，正确领会题意，明确解题的目标和方向，采用适当的步骤，合乎逻辑地进行推理和演算，实现解题目标.有时有必要精选逻辑性强的例题加强学生的认识，如：

（1）已知数列{an}的前n项和an=n2（n为正整数），说明{an}不是等差数列.

（2）试证明 f（x）=x3-ax-1图像不可能总在y=a上方.

对于这些问题学生容易产生推理上的错误，或题意不能领会而难以着手.如果在例题教学中让学生认识到（1）“当n≥2时，an-an-1=1，则{an}是等差数列”这是一个任意性命题，其否定是“存在n∈ N *，an-an-1不是同一常数，则{an}不是等差数列”，然后用2a2≠a1+a3就很容易说明数列不是等差数列.对于（2）让学生理解只要说明有函数值小于a就可以说明，然后寻求一个特定值如f（-1）=a-2就能解决问题.

四、把数学知识点教学渗透到例题教学中

高三数学复习开始为了数学知识网络完整性，常进行对基础知识的全面复习；为了节省时间有的教师复习课上习惯把知识点（如定义、公式、结论或定理等）进行系统的罗列，有时为了强调某个知识点的重要性，常让学生单独去用时记忆，去默写.这样几次重复学生对这个知识点都能很好地记住，知识点是记住了，会用吗？对于单调性定义有下列例子：

（1）定义在（-1，1）上的函数f（x）=-5x+sinx，如果f（1-a）+f（1-a2）>0，求a的取值范围.

（2）函数f（x）= x[]1+|x| （x∈ R ），命题若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）对吗？

学生能把这两个问题与单调性联系起来吗？这种能力上的考查是靠记忆学生是无法完成的.这种简单地对知识点的再现，思维量不足，学生参与积极性也不高，复习效果难以保证.同时这种方式使用多了，有些学生也习惯了这种学习方法，把自己的自主学习变成了简单地记忆了.

每个数学对象都有一个发生、发展和形成的过程，这些过程中常蕴含着一定数学思想和方法，复习时间紧，不可能把这些过程一一再现，但我们可以把知识点的数学思想和方法进行提炼，渗透到具体例题教学中，要让学生明白复习的知识在问题中如何表现的，又是如何用来解决问题的，在解决问题过程中不断地进行巩固和加强.

【参考文献】

[1]敬仕龙.新课标下高中数学习题教学的思考[J].教育教学论坛，2011（30）.

[2]张勇.新课程理念下高中数学习题教学的思考[J].中学数学杂志，2006（5）.