比例和不等于“1”的问题研究

赵彦军

传说在很久以前，有一位老人有三个儿子和17匹马，在他临终前他对三个儿子说：“我已经写好了遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按我的要求去分. ”老人去世后，三兄弟看到了遗嘱. 遗嘱上写着：“我把17匹马全都留给我的三个儿子，大儿子得二分之一，二儿子得三分之一，三儿子得九分之一. 不许杀马，不许流血，你们必须遵从父亲的遗嘱. ”按照父亲的遗嘱，每个人得到的马都不是整数. 大儿子得八又二分之一匹，二儿子得五又三分之二匹，三儿子得一又九分之八匹，难道要把马杀死吗？这可难为老人的三个儿子了.

正当三兄弟一筹莫展时，有一位智者正好骑着马路过这里，他听说了这件事，就把自己的马借给兄弟三人，让他们分完马再将马还给他，兄弟三人借了智者的马再分，大儿子分得一半，即18 × = 9（匹），二儿子分得三分之一，即18 × = 6（匹），三儿子分得九分之一，即18 × = 2（匹），18 - 9 - 6 - 2 = 1（匹），剩下的这匹马正好还给智者.

分马的故事，据说已经在全世界流传上千年了. 而智者也似乎从形式上解决了此问题，但真正如何从数学的角度来解决此问题，分马故事的背后又隐藏着什么样的数学知识，这是一个值得思考的问题. 下面我们从两个不同的角度来剖析此问题.

一、运用分配比例的方法分析分马问题

几千年来，人们都走入了一个相同的误区，即认为遗嘱所说的二分之一、三分之一和九分之一，都是相对于17匹马来说的，只要撇开这个认识的限制，从全面整体的观点来分析这个问题，就会找出符合要求的分配方案. 先看一个例子：“有12只羊分给三个儿子，大儿子得二分之一，二儿子得三分之一，三儿子得六分之一，则三个儿子各分到几只羊？”，易知，大儿子分到6只羊，二儿子分到4只羊，三儿子得2只羊，具体算法为，大儿子：12 × = 6（只），二儿子：12 × = 4（只），三儿子：12 × = 2（只）.

这实质是一个简略写法，补全是：

大儿子：12 × = 6，二儿子：12 × = 4，三儿子：12 × = 2，这里分母的1 = + + .我们之所以写成12 × ，12 × ，12 × 的形式，是把“1”省略了. 其实质上是应该有“1”存在的，这里的比例 ， ， 也是相对于总体“1”来说的，它们是分别占总体“1”的 ， ， ，而不是相对于12只羊来说的. 相对于分马问题，每给大儿子二分之一，就要给二儿子三分之一、给三儿子九分之一，所以实际上是要按照 ： ： 这样的比例进行分配，而不是把17匹马的 ， ， 分给三个儿子，比例和 + + = < 1，我们就不能用各个分比除以“1”了，这时的总体应是它们的比例和“ ”，它们的比例和不等于“1”，故不能省略，所以具体分法为：大儿子：17 × = 17 × = 17 × = 9（匹）.同理，二儿子：17 × = 6（匹），三儿子：17 × = 2（匹）.

二、运用极限的方法分析分马问题

假如先不考虑老人关于不许杀马的要求，而硬把17匹马的二分之一、三分之一和九分之一分别分给三兄弟，完成第一次分配；第一次分配后剩下一部分马，再把剩下的这部分马的二分之一、三分之一和九分之一分别分给三兄弟，完成第二次分配；第二次分配后还剩下一部分马，再把剩下的这部分马的二分之一、三分之一和九分之一分别分给三兄弟，完成第三次分配；照此办法，任何有限次分配总不能把17匹马全部分完. 而无穷无尽地分下去，三兄弟所分得的马各是一个无穷级数的和：

大儿子：第一次分配得：17 × ， 第二次分配得：17 × × 注： + + = ，剩下：1 - = ， 同理，第三次分配得：17 × × …

则大儿子分得的马数 = 17 × + 17 × × + 17 × × + 17 × × + … = × = 9（匹）

同理二儿子分得的马数= 17 × + 17 × × + 17 × × + 17 × × + … = × = 6（匹）

同理三儿子分得的马数17 × + 17 × × + 17 × × + 17 × × + …= × =2（匹）

张景中院士所著的《数学传奇》一书指出，像分马问题有好多版本，但都是改变一下总数和分配比例，一共可以有七种变化，就是说，这个故事可以有七种讲法. 如果在每一种讲法中把马的总匹数记为n，把三兄弟分得的比例记为 ： ： ，则可以列表如下：

上述七种讲法都是关于可以用“借来一匹马，按规定的比例分配后恰好剩下一匹，再还回去”的办法及上述两种方法来解的.