2013年福建数学（文）高考题22题评析

马中明

【摘要】笔者参加了2013年福建高考数学试卷的评卷工作，负责文科第22题的批改，在评卷过程中发现了很多学生的共性问题，如基础知识掌握不牢、知识点记忆混淆、基本运算不过关等，同时看到了一些学生在分析解决问题上的独特视角，对我今后的教学工作很有启发.

【关键词】高考；评卷；基础；规范；思想渗透

一、试题

（文22）已知函数f（x）=x-1+aex（a∈R，e为自然对数的底数）.

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的极值；

（Ⅲ）当a=1时，若直线l：y=kx+1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值.

对本题的评价：

本题主要考查函数与导数，函数的单调性、最值、零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想.

题目的优点是第一问比较基础，易得分，另外本题的三问之间没有直接联系，即使第一问错，第二问也可以做对，即使前两问都做错了，也不影响第三问的解答，改卷过程中就有很多学生虽然一、二问都得0分，但是第三问依然可以得1分或2分.

题目的第一问对于学生来说还是比较容易入手，只要求导正确并能将切线平行于x轴转化为斜率k=0就可以求出a的值，这3分比较容易得；第二问求极值表面上看比较简单，但这6分并不易得，主要原因是要应用分类讨论的思想，如果没有对a进行分类讨论而直接令导数为0，求出x=lna（这个结果要有意义，a必须大于0），再判断出其为极小值点并求出极小值，得0分（在这一点上改的比较严格）；第三问的标准解答让评卷老师觉得比较有争议，给的两种标准解答当然都是正确的，但是在评卷前的讨论过程中，老师们提出了在我们平时教学中最常用的分离变量的方法（即把要求的参数单独分离到等式或不等式一边），并大致给出了解题过程，题组长（大学教师）利用中午时间将这种解法完善并给出评分标准，在后来的评卷过程中发现用标准解答中的两种方法来解决这一问的学生微乎其微，解答正确的学生几乎都是用的分离的方法来解决的，这让我觉得比较困惑，按理说标准解答应该是最常规解法，大部分学生应该采用的方法，可最后大部分学生用的方法没有出现在标准解答之中，这是否意味着这道题的出题者在这一问的设置上并没有立足于我们中学数学的教学实际来命制试题呢？

优秀的解法：

本题第一、二问没有创新解法，都是和标准解答相同.

第三问除了给出的两种标准解答及后来补充进去的解答外，还有以下两种解法：

（法一）将问题转化为方程（k-1）x=1ex无实数解，再转化为左右两边的函数图像无交点问题，接下来结合图像知（画出图形），当k-1>0时，一定有交点，当k-1=0，即k=1时，无交点，因为本题要求的是k的最大值，所以就不用考虑k<0的情况了，直接得到k的最大值为1.

（法二）将问题转化为k=1+1xex无实数解，然后去研究g（x）=1+1xex的值域，然后确定k的取值范围，最后得到k的最大值.

二、典型错误及其错误分析

1.第一问中的错误

（1）求导错误.正确的导函数应为f′（x）=1-aex或f′（x）=1-ae-x或f′（x）=1-aex（ex）2，非常多的学生的错误解答为f′（x）=1+aex，这个错误最典型，主要是对除法的求导法则记忆错误或应用错误或粗心大意，也有一部分学生不注意书写规范，把导数写成f′（x）=1-aexex2，这样写的虽然能得到正确结果，但因为求导错误，整问0分，另外需要注意的是只要求导错误，即使接下来写出f′（1）=0也不得分（我问了题组长不能得分的原因，得到的回答是如果求导错误由这个式子得到的关于a的方程不能解出正确的a值）.

（2）切线平行于x轴，应为f′（1）=0，典型错误为很多学生写成f′（1）=1.

（3）计算粗心错误.由f′（1）=0得到1-ae=0得到a=e，非常多学生得到a=1.

（4）题意理解不清.一些学生看到点（1，f（1）），马上得到f（1）=1这样的错误结论，虽然代入后得到的答案和正确答案相同.

2.第二问中的错误

（1）不分类讨论.这一问中出现最多的错误就是不对a进行分类讨论，正确的解答应该分a>0，a≤0（也可分开a=0和a<0）讨论，相当多的学生在这一问中没有分类讨论，看到求极值就想到令导函数为0去求解，本题中即令f′（x）=1-aex=0得到ex=a，接下来直接得到x=lna，而这个式子中若a≤0是无意义的，在评卷的过程中许多学生没有分类讨论的思想，他们的解答过程只需在前面加上“当a>0时”便可以得4分，没有就是0分，非常可惜.在教学过程中应该经常强调分类讨论的思想，要让学生看到参数头脑中马上要有是否需要对其分类讨论的思想.

（2）分类讨论a>0时，解f′（x）=0得到x=lna，在接下来的列表或文字表述时将增减区间颠倒，极小值写成极大值导致错误，求解不等式的能力需要加强.

（3）定义域判断错误.函数的定义域应为R，部分学生因为在求解的过程中出现lna对数形式，把定义域错误地认为是（0，+∞），这在接下来求递增递减区间时就会少掉（-∞，0）的部分导致失分.

（4）不认真审题.本问要求求函数的极值，一部分学生只求出了极值点，没有求出极值，或者写出的单调递增递减区间都是对的，但是没有回答极值，导致被扣分，另外本题在回答时标准答案中要求回答出极小值，并写出“无极大值”，最初在制定评分细则时是要求没有写出无极大值扣1分，后来和理科的导数题目统一，没写出也不扣分，但这一点应在教学中引起重视，要求学生严格按照规范做答.

3.第三问中的错误

（1）这一问中只要把直线与曲线没有公共点转化为方程无实数根（无实数解）便可得到1分，但是相当多的学生得到了方程，但没有说明无实根，很可惜.

（2）在运用零点存在性定理时只说明了在区间端点处的函数值异号，没有说明函数连续不断被扣分，在解答题中这个条件是不能省略不写的（这一点在平时的教学中我们好像也没有特别强调）.

（3）得到方程说明无实数解后，虽然很显然方程为一个超越方程，但还是非常多的学生错误地用判别式Δ<0来解决问题.

三、对以后教学的复习备考建议

1.注重基础

从这道高考题的最后一题可以发现，第一问对导数的几何意义的考查很基本，从评卷中的错误解答可以看出很多学生对于导数的求导公式和法则记忆错误或混淆，对于平行于x轴的直线的斜率为0类似这样的基础知识掌握不清楚，所以在高三一轮复习中应该对各个板块中的基础知识详细讲解，不能觉得学生在高一与高二已经学习过了就一笔带过，不要只注重提高，基础打牢了才能提高，而且应该经常安排滚动练习来及时回顾已复习过的知识点.

2.强调规范

评卷过程中发现很多因为答题不规范造成的不必要失分情况，比如把导函数错误地写成f′（x）=1-aexex2（正确应为f′（x）=1-aex（ex）2），学生知道是ex的平方，但是没有加括号，只能算是求导错误而被扣分，同时也影响到第二问的解答；还有在求极值时求出极小值后也要说明没有极大值；再比如运用零点存在性定理时几个条件都要一一列出.这些细节，规范的问题要在平时的教学中经常强调，在每天的作业中都要严格要求学生的解题规范，这样经过长期训练后才能在高考中达到好的效果，规范问题也是要把功夫下在平时，而不是在高考考场上再去注意，形成习惯后不需要刻意去注意也能写出规范完美的解答.

3.正确引导

高三复习中教师应该经常在课堂中引导全体学生（差生也一样），对于高考中的解答题，即使是最后一题的第一问甚至第二问也都考查的是比较基本、基础的知识，更不要说倒数第二、第三题，只要基础打牢了，后面大题的基础分数是绝对可以拿到的，评卷中发现最后一题还是非常多的学生放空（69.8%），如果能够在我们的高三整个复习过程中经常引导学生不要有“最后一题一定是难题，我一定不会做，所以我就连看都不看了”这种错误思想，让所有学生都能保证倒数第一、二题的第一问拿到分数，那我们的平均分就会有很大的提高.

4.思想渗透

教师应该在平时的复习中，尤其是在讲评试卷习题时注重高考中考查的数学思想方法的渗透，比如数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想等等，这要靠平时的点滴渗透才能扎根于学生的脑中，而不是说专门弄个讲座来讲这个思想那个思想，这次高中文数的最后一题的第二问只要平时有分类讨论的思想，知道要对a进行分类讨论，得到满分6分并不难，但是如果平时没有渗透训练，不对a进行讨论，这一问便一分没有.