应用联想、类比、构造培养学生的创造思维

陈少旭

普通高中课程标准实验教科书《数学》选修4-5《不等式选讲》，向学生介绍了柯西不等式，要求学生认识柯西不等式的几种不同形式，并能给出证明，理解其几何意义.教材的编写意图不是仅仅介绍其不等式和证明方法，而是希望通过分析、证明和解决问题，进一步讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学结论进行推理论证的能力，此内容也是新课程高考选考内容之一.笔者在一次课外小组活动中，引导学生深入探究柯西不等式，发现其深刻的背景和内涵，并开动脑筋，挖掘其与所学数学知识的内在联系，给出多种证明方法，培养学生的创造性思维.

二维形式的柯西不等式通常被表示为如下形式：

（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）.

柯西不等式不仅形式优美，而且具有重要的应用价值.高中新课程教材《数学》选修4-5《不等式选讲》，对此不等式给出了两种证明方法.

方法1教科书从学生熟悉的不等式a2+b2≥2ab引入这一不等式.由于不等式a2+b2≥2ab涉及平方和，联想到（a2+b2）（c2+d2）（a，b，c，d∈R）也与平方和有关，所以通过多项式的乘法和因式分解，根据实数平方的非负性，可以证明二维形式的柯西不等式，这是代数证法.

证明左边=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2

=（ac+bd）2+（ad-bc）2.

由于（ad-bc）2≥0，

可得（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2=右边.

由上可知，当且仅当ad-bc=0，即ad=bc时，式中的等号成立.

方法2由二维柯西不等式，可以得出其等价形式：

a2+b2·c2+d2≥ac+bd以及a2+b2·c2+d2≥ac+bd.

联想向量：α=（a，b），β=（c，d）的数量积的绝对值

α·β=α·β·cosθ

可以推出向量不等式

α·β≤α·β.

证明设向量α=（a，b），β=（c，d），a，b，c，d∈R.

∵α·β=α·β·cosθ≤α·β，

又∵α·β=（a，b）·（c，d）=ac+bd，

α=a2+b2，β=c2+d2，

∴ac+bd≤a2+b2·c2+d2，

即（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），

当且仅当cosθ=1，即α∥β亦即ad=bc时，取“=”.

注向量方法同时给出了二维柯西不等式的几何解释，即得到二维柯西不等式的几何意义，两个向量数量积的模不大于两个向量模的积.

方法3分析柯西不等式

（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）的结构，

可令ac+bd=B，a2+b2=2A，c2+d2=2C，原不等式可表示为B2-4AC≤0，联想到二次函数与一元二次方程根的判别式，可构造二次函数来证明柯西不等式.

证明构造二次函数：

f（x）=（ax-c）2+（bx-d）2 （a，b，c，d∈R）

=（a2+b2）x2-2（ac+bd）x+（c2+d2）（a，b不同时为0）.

由于对于一切x∈R，f（x）≥0，又a2+b2>0，所以有Δ≤0，

即4（ac+bd）2-4（a2+b2）（c2+d2）≤0，

亦即（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），

当且仅当ax-c=bx-d=0，即ad=bc时，不等式取等号.

方法4分析柯西不等式与均值不等式的关系，可利用均值不等式来证明柯西不等式.

证明a，b，c，d∈R，a，b或c，d不同时为零，a2a2+b2+c2c2+d2≥2a2c2a2+b2c2+d2 ，（1）

b2a2+b2+d2c2+d2≥2b2d2a2+b2c2+d2.（2）

（1）+（2）得 2≥2（|ac|+|bd|）a2+b2c2+d2，

即（a2+b2）（c2+d2）≥（|ac|+|bd|）2≥（ac+bd）2，

∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，

当且仅当a2a2+b2=c2c2+d2，

b2a2+b2=d2c2+d2，即|ad|=|bc|时不等式取等号.

方法5利用三角函数，联想锐角三角函数和两角和与差的公式，给出证明.

证明首先设a，b，c，d∈R+，构造直角三角形，如图：