浅议辅助性在“三线合一”应用中的策略

何克佐

【摘要】等腰三角形的“三线合一”性质在初中数学中占据了非常重要的地位，很多时候需要在图形不全的情况下补全“三线合一”所在的基本图形，然后应用“三线合一”，解决相关问题。常见的添加辅助线解题策略，一是构造等腰三角形，或构造三角形再证明其为等腰三角形；二是在等腰三角形条件下，做顶角的平分线或底边上的高或底边上的中线. 如果把握好辅助线在等腰三角形“三线合一”性质应用中的教学，学生才能熟练掌握“三线合一”， 更好地培养和发展学生的思维能力。

【关键词】辅助性 三线合一

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）02-0121-01

等腰三角形的“三线合一”性质在初中数学中占据了非常重要的地位，是今后论证两线段相等，两角相等，两直线互相垂直等结论的重要依据之一。常常需要在图形不全的情况下补全“三线合一”所在的基本图形，老师如果把握好辅助线在等腰三角形“三线合一”性质应用中的教学，把握好化归思想方法的渗透，将有助于让学生把握解题的关键，更好地培养和发展学生的思维能力，有助于学生突破解题的难点，探明解题的方法，从而帮助学生提高解决问题的能力，加强学生对直觉、猜想、演绎、类比、归纳、转化等数学思想、方法的领会掌握，培养学生的探究能力和创新精神，全面提示数学素养。

一、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称为“等腰三角形三线合一”或“三线合一”）。

该性质实际上包含以下三个内容：

1.等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线和底边上的高，即等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边。

2.等腰三角形底边上的中线也是顶角的平分线和底边上的高，即等腰三角形底边上的中线平分顶角且垂直于底边。

3.等腰三角形底边上的高线也是顶角的平分线和底边上的中线，即等腰三角形底边上的高线平分顶角且平分底边。

可见，只要有两个条件：一是等腰三角形，二是三线有一，即顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高线中满足一个，就可以应用“三线合一”进行推理应用。在许多问题中，根据条件需要补全图形，补出另一个条件，这就需要做辅助线。

二、常见的添加辅助线解题策略。

策略一：构造等腰三角形，或构造三角形再证明其为等腰三角形。

例1.如图，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点。

求证：AF垂直于CD

证明：连结AC、AD

∵AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED

∴⊿ABC≌⊿AED

∴AC=AD

∵点F是CD的中点

∴AF垂直于CD（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）

策略二：在等腰三角形条件下，做顶角的平分线或底边上的高或底边上的中线.

1.做等腰三角形底边上的高。

例2已知：如图，B、D、E、C在同一条直线上，AB=AC，AD=AE。

求证：BD=CE

证明：过点A做AH⊥BC

则AH为⊿ABC、⊿ADE

∵AB=AC，AD=AE

∴BH=CH，DH=EH（等腰三角形底边上的高线平分底边）

∴BH-DH=CH-EH

即 BD=CE

2.做等腰三角形底边上的中线。

例3.在⊿ABC中，AB=AC，D是AB的中点，DE⊥AB，DF⊥ACM，垂足分别为E、F，观察DE与DF的数量关系，并证明你的结论。

解：DE=DF，理由如下：

连结AD

∵AB=AC，D是AB的中点

∴AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的中线平分顶角）

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）

归纳：连结AD，由条件D是AB的中点，则AD就是等腰三角形底边上的中线，根据“三线合一”得AD就是等腰三角形ABC顶角的平分线。

3.做等腰三角形顶角的平分线。

例4.在⊿ABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE=AD.试确定DE与BC的位置关系，并证明你的结论。

解：DE⊥BC，理由如下：

（一）做∠BAC的平分线AF，则∠1=∠2=■∠BAC

∵AE=AD

∴∠E=∠3

∵∠BAC=∠E+∠3

∴∠E=∠3=■∠BAC

∵∠1=∠2=■∠BAC

∴∠1=∠3

∴AF∥DE

∵AB=AC， AF是∠BAC的平分线

∴AF⊥BC

∵AF∥DE

∴DE⊥BC

（二）做∠DAE的平分线AF，并延长ED交BC于G

解法略。

综上所述，常见的添加辅助线解题策略，一是构造等腰三角形，或构造三角形再证明其为等腰三角形；二是在等腰三角形条件下，做顶角的平分线或底边上的高或底边上的中线。如果把握好辅助线在等腰三角形“三线合一”性质应用中的教学，学生才能熟练掌握“三线合一”，运用它进行证明或计算，丰富关于线段线段、角相等、直线垂直等推理的方法和技巧，更好地培养和发展学生的思维能力、探究能力和创新精神，全面提高数学素养。

参考文献：

[1]2013版人教版义务教育教科书数学八年级上册

[2]义务教育教科书（人教版）数学配套综合练习（八年级.上册）