用方程思想解决几何问题

郭爱青

《数学课程标准》明确提出：获得必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能，让学生初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识，具有初步的创新精神和实践能力.

“方程思想在解决几何问题中的应用”是通過方程把几何与代数内容有机地结合起来. 在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想. 方程思想在数学应用中无处不在，是探索数及实际问题中蕴含的关系与规律的有效工具，是发展学生符号感的重要手段，所以方程思想的地位极其重要. 用设未知数，用未知量表示已知量的方法，通过分析题中的等量关系，利用所学定理、性质等寻找出等量关系，从而有效地解决几何内容与解方程的关系. 用方程思想解决实际应用题对于学生并不陌生，但它一旦与几何问题相结合产生的效应往往让学生眼前一亮.

一、加强题组训练，让学生体验方程思想在解决简单的几何问题中的应用

1. Rt△ABC中，∠C = Rt∠，AC = 6，BC = 8，则斜边AB上的高线CD的长是 .

解 设CD的长为x，由勾股定理，AC = 10.

方法1 利用面积法构造方程： × 6 × 8 = × 10·x，x = 4.8； = ，x = 4.8.

方法2 利用相似构造方程：易证△CDA∽△BCA.

2. 如图，△ABC中，D，E是AB，AC上的点，且DE∥BC，若DE = 2，BC = 3，BD = 1，则AD的长是 .

解 利用相似构造方程：设AD的长为x，易证△ADE∽△ABC，∴ = ，x = 2.

3. 如图，☉O的弦AB⊥半径OE于D，若AB = 12，DE = 2，则☉O的半径是 .

解 设☉O的半径长为r，连接OA. 由垂径定理得AD = BD = 6，再利用勾股定理构造方程：62 + （r - 2）2 = r2，r = 10.

通过题组训练，可以让学生得到利用方程思想解决几何问题的基本思路：（1）审清题意，对题意中涉及的数量关系和位置关系进行标量；（2）设恰当的未知数，再标量；（3）根据面积法、相似法、勾股定理法、三角函数法等找出符合题意的等量关系，列方程或者方程组；（4）解方程（组）并检验，找到符合题意的答案.

二、适度的典型综合题型的训练及变式训练，可以提高学生综合分析问题的能力

（一）方程思想在解决有关折叠问题中的妙用

如图，已知：矩形ABCD中，E是AB上一点，沿EC折叠，使点B落在AD边的B′处，若AB = 6，BC = 10，求AE的长.

解 ∵ AD = BC = B′C = 10，AB = CD = 6，∠D = 90°，∴ B′D = 8，∴ AB′ = 2. 设AE = x，则BE = B′E = 6 - x.

方法1利用勾股定理法构造方程：

4 + x2 = （6 - x）2 ，x = .

方法2 利用相似法构造方程：

∵∠A = ∠D = 90°，∠B = ∠EB′C = 90°，∴ ∠AEB′ + ∠AB′E = 90°，∠DB′C + ∠AB′E = 90°， ∴∠AEB′ = ∠DB′C，∴△AEB′∽△DB′C. ∴ = ，∴ x = .

方法3 利用面积法构造方程：

∵ S1 + S2 + S3 + S4 = S矩形ABCD ，S3 = S4，

∴ x + 24 + 10（6 - x） = 60，∴ x = .

方法4 利用三角函数法构造方程：

由方法2中的∠AEB′ =∠DB′C得到它们两个角在直角三角形中的正切值相等，构造方程 = ，∴ x = .

变式训练：如图，已知矩形ABCD中，E是AB上一点，沿EC折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，若AB = 6，BC = 8，求AE的长.

同样地利用上述四个方法可以构造方程解决这一变式. 聪明的读者不妨试试看，利用方程思想解决此类折叠问题有“山重水复疑无路 ，柳暗花明又一村”的感觉.

（二）方程思想在解决符合条件的点是否存在，或点的个数的方面的应用

如图，在直角梯形ABCD中，∠A = 90°，AB∥CD，AB = 1，CD = 6.若AD = 5，在线段AD上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形和以点P，C，D为顶点的三角形相似？若存在，这样的点P有几个？它们到点A的距离是多少？若不存在，请说明理由.

分析 解决此类相关问题，先假设存在，运用分类讨论思想构造相似三角形，列出成比例线段构造方程解决问题.

解 假设存在，设AP = x. ∵ 在直角梯形ABCD中，∠A = 90°，AB∥CD，∴∠A + ∠D = 180°. ∴∠A = ∠D = 90°.

① 当∠APB = ∠DPC时，

∴△APB ∽ △DPC.

∴ = ，∴x = .

② 当∠APB = ∠DCP时，∴△APB ∽ △DCP.

∴ = ，x2 - 5x + 6 = 0.

∴x = 2或3，综合①、②，在线段AD上存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形和以点P，C，D为顶点的三角形相似. 这样的点P存在3个，它们到点A的距离AP分别是或2或3.

变式训练：（1）若AD = 4，在线段AD上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形和以点P，C，D为顶点的三角形相似？若存在，这样的点P有几个？它们到点A的距离是多少？若不存在，说明理由.

分析 问题中的AD = 5变式换成AD = 4，其他条件保持不变时，则上述解答只是存在方程中的5 - x变换成4 - x的变化，其他解决问题的方法和思路保持不变. 简单的解决问题的思路如下：

①当∠APB = ∠DPC时，∴ = ，∴ x = .

② 当∠APB = ∠DCP时，∴ = ，

∴ x2 - 4x + 6 = 0.

∵ b2 - 4ac = 16 - 24 < 0，

∴方程x2 - 4x + 6 = 0无实数根.

∴线段AD上存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形和以点P，C，D为顶点的三角形相似. 这样的P点存在1个，到点A的距离AP是.

（2）若设AD=m，在线段AD上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形和以点P，C，D为顶点的三角形相似？若存在，这样的点P有几个？它们到点A的距离是多少？若不存在，请说明理由.

分析 把问题中的AD = 5变式换成AD = m，其他条件保持不变时，则上述解答只是存在方程中的5 - x变换成m - x的变化，其他解决问题的方法和思路保持不变. 分类讨论问题①的解决中相应的点P总是存在一个，而且点P到点A的距离是AP = ，分类讨论问题②的解决中相应的点P是否存在取决于方程x2 - mx + 6 = 0中的b2 - 4ac = m2 - 24的大小. 简单的解决问题的思路如下：

①当∠APB = ∠DPC时，

∴ = ，∴ x = .

② 当∠APB = ∠DCP时，∴ = ，

∴ x2 - mx + 6 = 0.

∵b2 - 4ac = m2 - 24，∴当m > 2时，方程x2 - mx + 6 = 0有两个不相等的实数根x1，2 = ；当m = 2时，方程x2 - mx + 6 = 0有相等的实根x1，2 = ；当m < 2时，方程x2 - mx + 6 = 0无实根.

∴综合①、②，在线段AD上总存在点P，以P，A，B为顶点的三角形和以P，C，D为顶点的三角形相似.

当m > 2时， 这样的点P存在3個，且它到点A的距离AP是或或；当m = 2时， 这样的点P存在2个，且它到点A的距离AP是或；当m < 2时，这样的点P存在1个，且到A的距离AP是.

总之，综合原题及相应的变式训练，我们发现用方程思想解决此类点的存在与否及存在相应点的个数的确定更多地转化为一元二次方程的解的个数问题来解决.

方程思想应用非常广泛，而许多同学在学习中往往见到了方程才想到用方程的思想来解决，事实上熟练地利用方程思想解决问题学生要做到以下三点：（1） 要具有正确列出方程的能力. 正确列方程是关键，因此要根据已知条件，寻找等量关系列方程. （2）要具备用方程思想解题的意识. 有些几何问题表面上看来与代数问题无关，但是利用代数方法——列方程来解决，因此要挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，还有一些综合问题，需要通过构造方程来解决. 在平时的学习中，应该不断积累用方程思想解题的方法. 同时尝试一题多解的方法，选择最优方案. （3）要掌握运用方程思想解决问题的要点. 除了几何的计算问题要使用方程或方程思想以外，经常需要用到方程思想的还有一元二次方程根的判别式，根与系数关系，方程、函数、不等式的关系等内容，在解决与这些内容有关的问题时要注意方程思想的应用.