对一道“综合与实践”实际问题的理性思考

邵则强

“综合与实践”学习将帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活密切联系、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对所学内容的理解，体会各部分知识之间的联系.

1. 结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题.

2. 会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告和小论文，并能进行交流，进一步获得数学活动经验.

3. 通过对相关问题的探讨，了解所学过知识（包括其他学科知识）之间的关联，进一步理解有关知识，发展应用意识和能力.

问题提出：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人.为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？

建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：

在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？

为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：

（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？

假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数为：1 + 3 = 4（如图①）。

（2）若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？

我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7（如图②）.

（3）若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？

我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1 + 3 × 3 = 10（如图③）.

（4）若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？

我们只需在（3）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少需摸出小球的个数是1 + 3 × （10 - 1） = 28（如图④）.

拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿五种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：

（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是 .

（2）若要确保摸出的小球至少有10个同色，则最少需摸出小球的个数是 .

（3）若要确保摸出的小球至少有n个同色（n < 20），则最少需摸出小球的个数是 .

拓展二：在不透明口袋中装有m种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：

（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是 .

（2）若要确保摸出的小球至少有n个同色（n < 20），则最少需摸出小球的个数是 .

问题解决：（1）请把本题中的“实际问题”转化为一个从口袋中摸球的数学模型.

（2）根據（1）中建立的数学模型，求出全校最少需抽取多少名学生.

理性思考：

（1）关注模型的建立，培养建模能力.

（2）重视数学问题的设置，积累数学活动经验.

（3）渗透数学思想方法，提高合情推理水平.

（4）关注学生数学建模活动的评价，实现过程性评价的激励功能.