从“照镜子”中学习函数奇偶性

赵广乐 赵胜凡

摘要：函数的奇偶性概念作为函数的基本性质，在函数问题的解决中应用普遍，考察形式灵活多样。本文从对称观点出发，深入分析函数奇偶性的实质——对称性，并给出一些行之有效的快速判定法则，使学生能够得心应手地应对函数奇偶性问题。

关键词：对称；奇偶性；快速判断法则

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2014)07-0110

在日常生活中，每个人都有照镜子的经历，在照镜子的时，我们会发现镜子中的虚像与我们完全一样，且人与像到镜子的距离相等。如图所示：

也就是说，人与像关于镜面对称。

设镜子所在位置为x=，则一个函数图象关于镜面对称，用数学式子表示即为：对定义域中任意x，f(a-x)=f(b+x) f(x)的图象关于x=对称。

如右图所示，即当f(x)的函数值相等的时候，该函数的自变量分别为X=a-x，X=b-x，由中点公式可知，这两个自变量总是关于直线x==对称的。即f(x)的图象关于x=对称。

同理，对定义域中任意x，f(a+x)-b=b-f(a-x)或f(a+x)+f(a-x)=2bf(x)的图象关于点(a，b)对称。

如右图所示，两个函数值的和：=b

即函数值f(a+x)，f(a-x)关于Y=b对称时，自变量X=a-x，X=a+x总是关于直线X==a对称的。

推广：凡是两个函数值之间的等量关系式f(ax+b)±×÷f(cx+d)=E，若内变量之和(ax+b)+(cx+d)为常数C，则该函数具有对称性，且为对称轴心。

一、函数奇偶性的本质

1. 在“对定义域中任意x，f(a+x)=f(b-x) f(x)的图象关于x=对称”中，当a=b=0时，“ f(-x)=f(x)f(x) 的图象关于x=0(y轴)对称 f(x)为偶函数”。

2. 在“对定义域中任意x，f(a+x)-b=b-f(a-x)f(x)图象关于点(a，b)对称”中，当a=b=0时，“f(-x)=-f(x)f(x) 的图象关于(0，0)对称 f(x)为奇函数”。

注意：函数奇偶性首先要求，对定义中任意x，都有f(-x)=±f(x)，函数才有奇偶性。换言之，定义域关于原点对称是函数奇偶性存在的必要条件。

例1. 判断函数f(x)=x2(x∈(-2，1]的奇偶性

错解：f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，即该函数为偶函数。

解析：上述错解只注意到了函数的解析式满足条件f(-x)=f(x)，并没有注意到函数的定义域。根据奇偶性定义，条件f(-x)=f(x)必须对定义域内任意一个x(即所有x)均成立。但事实上，当x=-时，f(-)=(-)2=()2≠f()，因为f()根本不存在。所以，函数f(x)=x2(x∈(-2，1]不具备奇偶性，也即f(x)=x2(x∈(-2，1]是非奇非偶函数。

我们应注意，在解决函数问题时，要先看定义域，这能使问题迎刃而解，但是不能忽视定义域。

二、函数奇偶性判定流程图(本质为算法)

在本流程图中，由“f(-x)≠±f(x)”即可判定函数f(x)为非奇非偶函数，那么，为什么还要继续判定“f(-x)±f(x)=0或=±1”是否成立呢？事实上，我们在实际解题过程中，判定“f(-x)=±f(x)”是否成立，眼见也不一定为实。

例2. 判定函数f(x)=loga的奇偶性

解：先看定义域>0(同号)(x-1)(x+1)>0x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)定义域关于原点对称。再看是否满足条件f(-x)=loga与f(x)=loga看起来并不相等，此时如果贸然判断f(x)为非奇非偶函数就错了。

事实上，f(-x)+f(x)=loga+loga=loga+loga=loga1=0，即f(-x)=-f(x)，f(x)为奇函数。

三、函数奇偶性快速判断法则及应用

有经验的学生会发现，上述的函数奇偶性判定算法虽然管用，但在解题中却耗时耗力，并不太实用。事实上，我们在长期的解题实践中，会发现一些规律。若能将这些规律加以总结并证明、记忆，则会使我们解题的速度和准确度有一个质的飞跃。

1. 函数奇偶性快速判断法则

(1)偶函数的和差积商均为偶函数；奇函数的和差为奇函数；奇函数与偶函数之积为奇函数；偶(奇)数个奇函数之积为偶(奇)函数。

(2)y=f [g(x)]g(x)为偶函数 f [g(x)]为偶函数

g(x)为奇函数 f [g(x)]奇偶性与f(x)相同

(3)幂函数之奇偶性①y=xn偶函数 n=2k，k∈Z

奇函数n=2k+1，k∈Z

②y=x非奇非偶函数n=2k，k∈Z

偶函数m=2p，p∈Z

奇函数m=2p+1，p∈Zn=2k+1，k∈Z

(4)奇函数±偶函数 非奇非偶函数；

例外：定义域关于原点对称的任一函数总可以写成一个奇函数与一个偶函数之和。f(x)={f(x)+f(-x)]}(偶函数)+{f(x)-f(-x)]}(奇函数)

(5)奇函数y=loga(g(x)为奇)；y=；y=loga(x+)，y=

以上规律均是可以证明的，限于篇幅，我们仅为读者证明较难的几个规律。

例3. 证明：若g(x)为奇函数，则 f [g(x)]奇偶性与f(x)相同

证明：g(x)为奇函数 g(-x)=-g(x)，

分类讨论①若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)f [g(-x)]= f [-g(x)]=

f [g(x)]

②若f(x)为奇函数，则f(-x)=f(x)f [g(-x)]=f [-g(x)]=- f [g(x)]

③若f(x)为非奇非偶函数，则f(-x)≠±f(x) f [g(-x)]=f [-g(x)]≠±f [g(x)]

④若f(x)为既奇又偶函数，则f(-x)=±f(x) f [g(-x)]=f [-g(x)]=±f [g(x)]

例4. 证明：定义域关于原点对称的f(x)，

f(x)={[f(x)+f(-x)]}(偶函数)+{[f(x)-f(-x)]}(奇函数)

证明：上述等式显然成立，令g(x)=[f(x)+f(-x)]g(-x)= [f(-x)+f(x)]=g(x)，即g(x)=[f(x)+f(-x)]为偶函数；令h(x)=[f(x)-f(-x)]h(-x)=[f(-x)-f(x)]=-h(x)，即h(x)=[f(x)-f(-x)]为奇函数。

例5.证明：y=loga(x+)为奇函数

证明一：f(x)=loga(x+)定义域为R，f(-x)=loga(-x+)=loga(-x+)，f(x)+f(-x)=loga(x+)+loga(-x+)=loga(x+)(-x+)=loga1=0 f(-x)=-f(x)，即y=loga(x+)为奇函数。

证明二(反函数观点)：y=loga(x+) ay=x+ay-x=，两边平方得a2y+x2-2xay=x2+1 2xay=a2y-1 x=，由此得出y=loga(x+)与y=互为反函数，图象关于y=x对称，奇偶性相同，同为奇函数或非奇非偶函数。

又由ax=+知y=为奇函数，即y=loga(x+)为奇函数。

例6. 判定列下函数的奇偶性①f(x)= ②f(x)=x2+x

③f(x)=(+)x3 ④f(x)=

解：①f(x)=定义域为[-2,2)，不关于原点对称，非奇非偶函数。

②f(x)=x2+x，定义域为R，y=x为奇函数，y=x2为偶函数，两者相加，f(x)=x2+x为非奇非偶函数

③f(x)=(+)x3 ==x3 ，y=为奇函数，y=x3为奇函数，两者相乘，f(x)=(+)x3为偶函数。

④f(x)===(2x+2-x)+2为偶函数

由例6可以看出，牢记上述快速判断法则，对提高解题速度和准确性非常重要。学生若能够将快速判断法则牢记于心，那么，在今后的考试中，对函数奇偶性的试题一定会成足在胸、游刃有余。

2. 函数奇偶性快速判断法则的应用

例7.F(x)=(1+)f(x)(x≠0)为偶函数，则f(x)为函数

解：g(x)=1+=为奇函数，乘积为偶函数，故f(x)为奇函数。

例8. f(x)=loga(x+) 为奇函数，则a=

解：f(x)=loga(x+) 为奇函数，即知2a2=1a=±，又a>0且a≠1a=。

例9. f(x)，g(x)分别为奇函数和偶函数， f(x)+g(x)=ex+x，则f(1)=

解： f(x)+g(x) =ex+xf(x)==+xf(1)=+1。

(上接第111页)

例10. f(x)=x(ex+ae-x)是偶函数，则a=

解：由 f(x)=x(ex+ae-x)是偶函数，即知g(x)=ex+ae-x为奇函数，即a=-1。

例11. f(x)=ax7+bx3+cx-5，其中a，b，c为常数，已知 f(-7)=7，则f(7)=

解析：题目已知 f(-7)=7，求f(7)，我们很容易想到利用函数奇偶性即解。可惜函数f(x)是非奇非偶函数，要产生奇偶性，通过观察即知，只需将-5移项至左侧，即得f(x)+5=ax7+bx3+cx为奇函数。

然后换元，令g(x)=f(x)+5，则g(-7)=f(-7)+5=7+5=12g(7)=f(7)+5=-g(-7)=-12f(7)=-17。

例12. f(x)=最大值为M，最小值为m，则M+m=

。

解析：初见此题，我们解题的方案不外乎三种：①分式分离系数，使用平均不等式；②利用三角函数sinx的有界性；③求最值的通用办法，求导。进一步分析我们会发现，求导太过繁琐，虽然通用，但就本题而言不是最优方案，而使用方案①②，第一步均可先分离系数。

f(x)===1+，此时，善于观察的学生就会发现，2x+sinx为奇函数，x2+1为偶函数，函数g(x)=是一个奇函数。至此，本题豁然开朗，M+m=1+gmax(x)+1+gmin(x)，而奇函数g(x)=图象关于原点对称，gmax(x)+gmin(x)=0，即M+m=2。

通过解题，我们发现，此题的关键在于奇偶性的应用。总之，妙用奇偶性，可以帮助我们更好地解决问题。