对中学数学思想方法教学的几点认识

汪淳朴

近年来，我国有关数学思想方法的教学研究不断地深入和拓广，解决了不少教学实际问题，积极地推动了数学教育改革的进程. 尽管越来越多的中学数学教师认识到数学思想方法的意义，但理念并不代表实践，在数学教学中注重知识的传授与记忆和模仿，而忽视数学思想方法的渗透和教学的问题仍比较普遍. 有的老师将中学数学思想和方法混为一谈，把数学思想说成方法，而把数学方法说成数学思想. 这些现象的原因之一就是一些数学教师未真正理解数学思想方法的内涵，未真正认识数学思想方法的意义.

一、什么是数学思想方法

1. 什么是数学方法

“方法”一词，其语义学解释是指关于某些调节原则的说明，这些调节原则是为了达到一定的目的所必须遵循的，是从实践或理论上把握现实的，为解决具体课题而采用的手段或操作的总和. 美国的《哲学百科全书》将方法解释为“按给定程序达到既定成果必须采取的步骤”. 我国《辞源》中解释“方法”为“办法、方术或法术”. 从科学研究的角度来说，方法是人们用以研究问题、解决问题的手段和工具，这种手段和工具与人们的知识经验、理论水平密切相关，是指导人们行动的原则.

基于以上解释，我认为数学方法就是提出、分析、处理和解决问题的概括性策略.

2. 什么是数学思想

“思想”字面解释为客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果. 《中国大百科全书》认为“思想”是相对于感性认识的理性认识成果. 《苏联大百科全书》指出“思想是解释客观现象的原则”. 综合起来看，思想是认识的高级阶段，是对事物本质的高度抽象的、概括的认识. 而数学思想是数学中的理性认识，是数学知识的本质，是数学中的高度抽象、概括的内容，它蕴含于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中. 也就是说，数学思想是对数学对象、数学概念和数学结构及数学方法的本质性的概括性的认识.

认识了数学思想和方法的概念之后，我们来澄清一些中学数学教师对数学思想和方法认识的几个误区.

二、思想方法教学中的几个误区

1. 是“方法”还是“技能”

由于方法和技能都是解决问题的常用程序，因此方法一词在日常教学中常常与技能混为一谈. 许多本应属于技能的具体操作，如公式法、配方法、割补法等经常性的被一些老师在教学课堂上或发表的文章中纳入方法范畴. 实际上，数学方法应该是具有一定的抽象度，是为分析、处理和解决数学问题提供策略，但一般不提供解决问题的程序.

2. 是“思想”还是“方法”

一些文章常将数学教学中常用的方法称为思想，如初中解方程组用的代入法、高一数学求函数解析式用的换元法等称为“思想”，造成数学思想数量大、内容多，不利于数学教学中的运用. 其实，数学思想是数学的本质，是对数学规律的理性认识. 这种认识更具普遍性，可以应用于更广泛的数学领域，更进一步讲，许多数学思想可能渗透于许多行业中. 而数学方法虽然也是理性认识，但因其概括性较数学思想弱，所以其迁移范围远，不如数学思想广，而更多的是运用于某一数学领域.

三、中学数学教学中常用的数学思想和方法

1. 数学方法

在中学数学教学中应重视的教学方法包括：数学模型法、数形结合法、函数法、分类讨论法、变换法等.

（1）数学模型法

数学模型是数学抽象化产物，是对现实原始的概括反映. 其原型可以是具体对象及其关系，也可以是数学对象及其关系. 中学数学中的数学模型可以是数、式、方程、空间等. 按其功能可分为两类：概念型，指将客观事物或现象直接抽象成数学概念，如自然数、奇数、整式、代数式和空间等；方法型，指将客观事物或现象间的关系抽象成数学中的公式、运算法则等. 概念型和方法型数学模型的建立，一般都需要借助于数学符号，如自然数集“N”、映射“f： A→B”等.

（2）数形结合法

华罗庚先生指出：“数缺形时少直观，形缺数时难入微. ”数和形作为数学的两个基本对象，是现实世界的数量与空间形式的反映. 在中学数学中，利用数形结合法可将代数与几何问题相互转化，几何又给代数概念以几何解释，赋予那些抽象概念以直观的形象. 如一元二次不等式及解法的教学中，利用数形结合不仅避免了学生机械记忆公式，还有助于培养学生的数表结合意识，将孤立的数学知识联系起来，并有意识地用数形结合的方法处理和解决数学问题.

（3）函数法

函数在数学的发生、发展中起着举足轻重的作用，在中学，函数也是一个包容性很强的概括性知识，因此函数法是中学数学中从运动变化的观点来认识和处理问题的一个重要方法. 利用函数法可以分析中学数学的许多内容，如数、式、方程、不等式、数列、曲线与方程等.

（4）分类讨论法

分类讨论法是当问题含有多种可能的情况，人们难以对它进行统一处理时，只能按其出现的各种情况分类进行讨论，分别得出与分类相应的结论，综合这些结论，便得到原来问题的解答. 在中学数学教学中，分类讨论法被广泛使用，几乎贯穿于全部教学过程中，其运用分类讨论法有下面几种常用情况：由定义引起的分类讨论，由运算引起的分类讨论，由性质引起的分类讨论，由图形位置引起的分类讨论和由结论引起的分类讨论.

（5）变换法

中学数学中，常把复杂的数学问题变换成与之等价的一个或几个较为简单的数学问题，从而使原问题得到解决. 在运用变换法处理问题时，既可以变换问题的条件，也可以变更问题的结论，还可以运用几何变换方法，对图形的形状、大小加以变化.

这样，余弦定理应用范围扩大了.

2. 数学思想

在中学教学中，集合思想、数学结构思想、对应思想和化归思想几乎包括了中学数学的所有内容，而且结合中学生的思维能力和实际生活经验，这几种数学思想有可能被他们理解和掌握.

（1）集合思想

在生活实践中，人们常把具有某种共同属性的事物放在一起，视为一个整体，对它们做统一的研究和处理，这种整体思想在数学中就是集合思想，集合思想体现于所有数学分支中. （2）数学结构思想

在中学数学中，进行数学结构思想的教学，主要是强调数学知识间的广泛关联性. 这种广泛关联性主要体现为两个方面：

第一，各种数学模型的建立，表面上它们可能毫不相干，然而利用数学结构的思想却可以把它们统一在结构观点中，如将函数作为一条红线串联数学知识时，就体现了数学结构的思想.

第二，知识间的相互转换性，数学表层知识之间可利用变换法相互转换，数学知识间的转换均是通过某个变换实现的，并且转换法则对于某些数学结构来说是封闭的，如整数对于加法运算就是封闭的，即任意两个整数相加所得的数仍是整数.

（3）化归思想

在中学数学分析、处理和解决问题时，常常将较复杂的问题向易解决的问题方向转化，即化繁为简、化难为易、化未知为已知. 化归思想主要体现于运用数学方法处理和解决数学问题之中. 如运用数学模型法将实际问题转化为数学问题，就体现了实际问题数学化的化归思想.

上面仅是中学数学中的一些重要的数学思想和方法. 还有如对应思想、优化思想、概率统计思想在中学数学教学中也有不同程序的体现. 一般的数学思想方法与实际生活中的思想方法有许多类似之处. 学生只有学会了“点石成金”“渔鱼”的策略和方法，才会在高速发展的科学知识面前运筹帷幄、应对自如.