学生数学思想方法的有效建构

巢斌

初中数学一般可分为代数和几何.代数一般都是一些计算、解方程等，很少有与生活中的图形有关的问题；几何一般都是一些简单图形的证明和计算，很少与纯代数联系在一起.同时学生在学习的过程中都是一章一章进行学习，很少把代数问题和几何问题联系在一起.从而学生就很容易认为代数和几何这两者之间是没有联系的.其实不然，数学虽然根据内容的不同分成代数和几何这两个部分，但是数学作为一门完整的学科，两个部分之间必然存在着一些关联；而且数学来源于生活，应用于生活，所以图形与计算是分不开的，也就是说，代数与几何在产生与应用上有着密切的联系.

1. 代数式与几何结合性问题

例1 如图，已知在△ABC中，AB = AC，∠BAD = 30°，AE = AD ，求∠EDC的度数.

分析 这道题可以用几何的方法来解.

解答 ∵ ∠ADC = ∠B + ∠BAD = ∠B + 30° = ∠ADE + ∠EDC，又∵ ∠AED = ∠ADE，∴ ∠AED = ∠C + ∠EDC，∴ ∠B + 30° = ∠C + 2∠EDC. ∵ ∠B = ∠C，∴ ∠EDC = 15°.

我们在做的过程中发现之间关系比较多、较复杂，所以，我们想是否可以用代数方法来解.

分析 设∠B的度数为x°，根据题意可得∠C为x°，∠DAE为（150 - 2x）°，∠ADE为（15 + x）°，∠ADC为（30 + x）°.

解答 ∠EDC = ∠ADC - ∠ADE = （30 + x）° - （15 + x）° = 15°.

说明 在这道题中用几何或用代数都可以来解，但是若用代数来解比较简单、明了.

2. 方程与几何结合型问题

方程与几何结合型问题，是中考题中常见题型.这类题型，以几何图形为载体，以方程思想为依托，着重考查学生“数形结合”的思想方法，考查学生综合运用方程和几何知识的能力.这几年，中考命题从知识立意转向能力立意，考题中对数学思想方法的应用、综合能力的考查有所加强.

例2 如图，菱形ABCD中内接三角形AEF为等边三角形，且AB = AE，求四边形的各个内角.

分析 这道题目条件都与边有关，很难用几何方法来解. 故可用代数方法解决.

解答 设∠BAE为x°，根据题意可得∠FAD为x°，∠ABE为 °.再根据菱形ABCD，可得一元一次方程 + x + 60 + x = 180，解得x = 20°.

所以四边形的内角分别为80°，100°.

说明 三角形、四边形在求角的过程中经常用设未知数、列方程来解.关键是抓住题目中的条件列出一元一次方程.

3. 不等式与几何结合问题

例3 设x > 0，y > 0，z > 0，求证： + > .

分析 此题若用代数解的话一定是非常复杂，所以，我们想是否可以用几何的方法来解决这种题目.观察到 = ，即是以x，y为边、夹角为60°的三角形的第三边，所以就可以构造这样的一个图形.

解答 构造如图，从图形可得AB = ，

BC = ，

AC = ，

在△ABC中，由三角形的三边关系很容易得到AB + BC > AC.

说明 这是不等式的几何证法，需要对解析式的几何意义有很强的直观感觉，因此要求比较高，不过在应用过程中可以发现解题十分简便.

4. 函数与几何结合问题

函数与几何结合型这类试题，一般来说，难度较大，解这类问题的关键就是要善于利用几何图形的有关性质.几何中的有关定理和函数的有关知识需要注意挖掘问题中的一些内含条件，以达到解题的目的.

函数与几何型问题将是今后中考命题的热点，并以压轴题的形式考查，考查的重点是运用函数知识与几何知识解决数学综合题的能力.

例4 如图，已知直线y = x + 与x轴、y轴分别交于A，B两点.⊙M经过原点O及A，B两点.（2002年河南省中考题）

（1）求以OA，OB两线段长为根的一元二次方程.

（2）C是⊙M上一点，连接BC交OA于点D，若∠COD = ∠CBO，写出经过O，C，A三点的二次函数的解析式.

（3）若延长BC至E，使DE = 2，连接EA，试判断直线EA与⊙M的位置关系，并说明理由.

分析 第（1）题是关于函数的问题，只要求出线段OA，OB的长即可.根据题意可得A（-3，0），B（0， ）.

所以OA = 3，OB = .故以OA，OB两线段长为根的一元二次方程是z2 - （ + 3）z + 3 = 0.

第（2）题是关于圆的问题，关键是求出C点的坐标.这就需要根据题目的已知条件及圆的性质来解题.

因为∠COD = ∠CBO，所以AC，CO所对的弧相等.由垂径定理可得MC = AB = ，MG = BO = ，GO = AO = ，GC = MC - MG = ，所以C- ，- .然后把O，C，A的坐标代入y = ax2 + bx + c，可求a，b，c.所以二次函数的解析式为y = x2 + x.

第（3）题也是关于圆的问题，要判断EA与⊙M的位置关系，只需要计算∠BAE的度数，即求出∠BAO，∠DAE的度数.根据题意可得∠BAO = 30°，∠DAE = 60°，所以∠BAE为直角. 故EA与⊙M相切.

可见，数与形的结合可以帮助学生更直观地解决一系列的数学问题. 作为一名数学老师， 我们重视学生“举一反三”的运用能力，只有“授之予渔，而不是授之予鱼”， 才能使我们老师跳出“就题说题”的老框框，有效地利用课堂时间，合理地渗透数学思想方法，从而为学生正确地解题建构有效的思维模式.