巧设二次函数解析式解题

姜珩

二次函数知识是初中数学中的重点和难点之一，每年各地中考命题均将其作为压轴题. 因为二次函数知识与其他数学知识或其他学科知识以及现实生活相结合，能形成形形色色的综合题. 而解答这类综合题时，往往首先要用待定系数法确定函数解析式. 所以，设解析式时不能千篇一律地设一般式，而应根据命题的具体条件和特征设适当的解析式，这样求解时既快捷又准确. 下面分三种类型加以例说：

一、图像经过坐标系原点型

若已知图像经过坐标系原点，则常数项为0，所以应设y = ax2 + bx的解析式进行求解.

例1 （2007·山东）在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB = 90°，AO = OB，点A的坐标为（-1，1）.

（1）求点B的坐标；

（2）求过A，B，O三点的抛物线解析式；

（3）设点B关于抛物线对称轴对称的点B′，求△OBB′的面积.

分析 由于图像过O点，所以设y = ax2 + bx，这样只需将A，B两点的坐标代入，解关于a，b的二元一次方程组即可.

解 （1）如图自A作AM⊥x轴于M，自B作BN⊥y轴于N. ∵∠AOB = 90°，AO = OB，∴ Rt△AMO ？艿 Rt△BNO， ∴ AM = BN = 1，MO = NO = 3 ，∴ B点的坐标为（1，3）.

（2）设过A，O，B三点的抛物线解析式为y = ax2 + bx，将点A（-3，1）和点B（1，3）的坐标代入解析式得：

9a - 3b = 1 （1）a + b = 3 （2） 解得：a = （1）b = （2）

∴抛物线解析式为y = x2 + x .

（3）（略）.

二、图像以y轴对称型

由于图像关于y轴对称，一次项系数为 0，则二次函数解析式应设为y = ax2 + c， 这样求解较为简便.

例2 如图已知某大桥的拱形可看作抛物线的一部分，在大桥截面1 ∶ 11000的比例图上，跨度AB = 5 cm，拱高OC = 0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系（如图）.

（1）求出图中以这一部分抛物线为图像的函数解析式，写出函数自变量的取值范围；

（2）如果DE与AB的距离OM = 0.45 cm，求该拱内桥的实际长度，（备用数据： ≈ 1.4，结果精确到1米）.

分析 因为图像是关于y轴对称，所以设解析式为：y = ax2 + c，再根据已知的条件确定A，C坐标，代入解析式即可求出函数解析式.

解 （1）（如图）已知：AB = 5 cm，OC = 0.9 cm，图像以y轴对称.

∴ A- ，0、C（0，0.9）、

B ，0.

设解析式为y = ax2 + c，将A，C点坐标代入得：

c = 0.9 m，a = - ，

∴ 函数解析式为：y = - x2 + - ≤ x ≤ ；

（2）（略）.

三、已知图像与x轴的交点型

这种类型由于已知图像与x轴有两个交点坐标，则可设解析式为：y = a（x - x1）（x - x2），这样将两个交点坐标代入，只须确定a的值即可.

例3 （2007·烟台）如图在平面直角坐标系中，坐标系原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（-1，0）以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的正半轴交于点C.

（1）求经过A，B，C三点的抛物线对于的函数解析式.

（2）设M为（1）中抛物线顶点，求直线MC对应的函数表达式.

（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论.

分析 由已知可得，抛物线与x轴交于A（4，0）、B（-1，0）两点，所以可设解析式为：

y = a（x - x1）（x - x2），其中x1 = 4，x2 = -1 ，这样只要求出C点的坐标，则可确定函数解析式.

解 （1）设经过A，B，C三点的抛物线函数解析式为：y = a（x - x1）（x - x2），由已知得AB = 5，P为AB的中点，

∴ PC = PA = ，OP = 4 - = ，

∴ OC = = 2，即：C点的坐标为（0，2），将C点坐标代入所设的解析式得：1 × （-4）a = 2，a = - .

∴解析式为：y = - （x - 4）（x + 1），

即y = - x2 + x + 2.

（2）、（3）（略）.