浅谈初中几何习题的研究性教学

王显昌

【摘要】 研究性教学是与探究性学习、合作性学习以及国家创新体系契合的一种现代教学模式. 开展研究性教学是学校加强基础教育课程改革的一个重要路径.

【关键词】 初中；几何；研究性；教学

一、什么是研究性教学

研究性教学是在教学过程中，创设一种类似科学研究的情景和途径，让学生在独立的主动探索、主动思考、主动实践的研究过程中，吸收知识、应用知识、分析问题、解决问题，从而提高学生的各方面素质，培养学生创造能力和创新精神的一种教学方式. 研究性教学起源于大学教学，我认为基础教育也可引进此教学模式.

二、如何进行数学研究性教学

数学研究性教学的操作程序基本思路是：遵循学生的认知规律，以《数学课程标准》为指导，以问题为中心，以学生主动参与为前提，以自主学习为途径，以合作交流为形式，以培养创新精神和实践能力为重点，以“情景导入—自主研究—合作交流—实践深化—拓展反思”为主线，强化学生感性体验，促进学生自主建构，构建教师导，学生自主地、主动地学的教学程序.

三、浅谈初中几何习题的研究性教学

（一）解题的重要性

解题是数学教学中非常重要的环节. 数学家乔治·波利亚说过，什么是数学？数学就是解题，就是把不熟悉的题型向熟悉的题型转化. 解题是学生从掌握基础知识向提高能力素质迁移的一种重要手段，也是教师了解学生学习情况及教学效果的一个重要手段，是教学的重点，同时解题又是学习的难点.

（二）几何例题、习题课的研究性教学模式

由于解题的重要性，例题、习题的教学是十分关键的，不能就题讲题，特别是几何，一定要精选常用的且重要的基本问题作为例题. 对于一些基本问题或者叫母题，要进行研究，形成专题. 其基本教学模式为：（1）独立尝试猜想；（2）合作交流猜想；（3）拓展反思.

（三）实例

基本问题：“已知：如图1，△ABC中，AB = AC，BH是高，点P是BC上任一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E. PD，PE与BH有什么关系？并加以证明. ”

1. 独立尝试

（1）教师用《几何画板》软件任意画一个一般等腰三角形，作出一腰上的高，在底边上任取一点，再由这点向两腰作垂线段，度量出高和两条垂线段的长度，让学生观察并猜想它们之间的关系. 改变等腰三角形的形状和大小，高和两条垂线段的长度也随之变化. 让学生多观察几组数据，独立猜想，大多数学生都能得出结论（PD + PE = BH或PD = BH - PE或PE = BH - PD）.（2）你能证明你发现的结论成立吗？学生独立思考，教师巡视. 只有少数学生能完成证明. 于是，再引导学生：证明线段和差常用的方法是什么？

2. 合作交流

（1）在小组暂短交流后，全班再交流方法思路. 归纳起来是截长法和补短法. 每种方法分别请一位同学板演. 在及时肯定他们的同时，留下少许时间让学生讨论解题过程中不完善的地方，为中差生提供一个再学习、再消化的时空.（2）对辅助线作法的叙述以及思路进行重点交流. 截长法：如图2，作PF⊥HB于F. 先证四边形PEHF是矩形. 再证△DBP ≌ △FPB（AAS）得DB = PF. 从而得PD + PE = BH. （补短法：如图2，作BG⊥PE于G. 思路类似. ）

3. 拓展反思

（1）方法研究

引导：还有无其他的方法？如果连接AP，你有几种求三角形面积的方法？由此你能想到证此题的方法吗？学生先独立尝试再合作交流.

简解：如图3，连接AP.

∵ S△ABC = S△ABP + S△APC，

∵ AB = AC，∴ PD + PE = BH.

教师总结：这种用不同形式表示同一个图形的面积建立等式来解题的方法称为面积法. 一个图形中垂线段较多时，常可思考面积法，有时用面积法解题非常简便.

（2）演变研究

① 变换条件

a. 如图4，如果将“点P是BC上任一点”变为“点P是CB（或BC）延长线上任一点”，而其他条件不变，PD，PE与BH有什么关系？并加以证明. 结论： PE - PD = BH. 证明：可用截长法或补短法，用面积法较简单（连接AP）

b. 已知：如图5，△ABC中，AB = BC = AC，BH是高，点P是△ABC 内任一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E， PF⊥AC于F. PD，PE，PF与BH有什么关系？并加以证明. 结论：PD + PE + PF = BH. 证明：用面积法较简单（连接AP，BP，CP）.

② 运用结论

由基本问题你能得出什么结论？结论：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和（为定值）等于一腰上的高. 在解题时用此结论会很方便.

通过这种“一题多解”与“多题一解”的研究，可避免“题海战术”，减轻学生负担；同时可有效地培养学生的思维和创新精神，提高学生的综合素质. 初中几何中，类似的“基本问题”还很多，教师要善于发现，不断归纳总结，把它们用于研究性教学实践.