数学解决问题方法的培养途径研究

刘艳青

新课程改革背景下，小学数学教学在许多方面发生了重大变化，解决问题教学便是其中之一。实验教材不再专门设置应用题教学单元，而代之以“解决问题”或“用数学”的称呼，并把它渗透在四个学习领域之中。以前，在旧版本的教材中，有的数学题目有固定的解题思路与公式，做题时，有的学生常常会根据一种题型的解题思路去联想，思考并解决另外的题型，还有一种学生是能看清题型，用此类题型特有的套路去列式解答，这类学生对题目不能很好地分析理解，只有盲目、机械地照套公式。新课程在编排时更多的是考虑学生的原有知识水平，从学生已有的生活经验出发，提倡用多种方法解题，更多地放手让学生自己去解决问题，形成一套个体特有的解题方法，不再强调方法的简略，而是注重方法的形成过程，自己解决问题的能力。这些现象的存在，严重影响了部分学生数学学习的自信。随着解决问题教学的不断深入，学生中出现了更为严重的两极分化现象，在一部分学生感受到学习的成功与快乐的同时，越来越多的学生却在品味学习失败与痛苦。

“解决问题”是这一轮数学课程改革中变化较大的内容之一，给我们一线教师的教学实践也带来了比较大的挑战。《数学课程标准》对解决问题目标的阐述大致包含四方面要求：具有数学化能力与应用意识；掌握解决数学问题的基本策略与发展创新意识；学会合作与交流；形成评价与反思意识。“解决问题”不是一种知识形态。对教师而言，它是教学目标、教学方式与教学过程；而对学生而言，它是一种综合的数学能力，也是解决数学问题的过程。解决问题的关键在于解决问题的方法，最终要通过一些途径培养学生掌握并灵活运用这些方法，这就要求我们要清楚地把握解决问题的方法、构建解决问题的课堂教学模型、拓展延伸解决问题方法的具体操作意义。

一、解决问题方法的培养途径一——借助各种资源，归纳解决问题的方法

1. 借助文献，归纳解决问题的方法。任何研究都是建立在已有成果基础之上的，我们通过借鉴前人的研究成果以及查阅文献资料，了解到小学数学解决问题的方法有40种。从解决问题方法层面上来讲，把它分为算法和启发式两大类。

算法是指解决问题的一套规则。它精确地指明解决问题的步骤。就小学数学解决问题学习的一般步骤而言，它主要包括以下几步：（1）弄清题意，并找出已知条件和所求问题；（2）分析问题里数量间的关系，确定先算什么，再算什么……最后算什么；（3）确定每一步该怎样算，列出算式，算出得数；（4）进行检验，写出答案。通过算法的使用，就将策略性知识的学习转化为程序性知识的学习，可以使得思维难度较大的问题解决的学习变成思维难度相对较低的规则的学习，利于学生迅速、正确地解决问题。

启发式是一种凭借经验解决问题的方法。它也可以称为解决问题的经验规则。如，画图、分类、倒推、轉化等都是小学数学中解决问题的启发式。算法和启发式是两类不同性质的解决问题的策略，两者有明显不同的使用范围。算法侧重于一般的解题步骤；启发式侧重于特殊的、某一类型的解题方法。虽然算法能够保证问题一定得到解决，但它不能取代启发式。因为不是所有的问题都有算法，有些问题是没有或尚未发现算法的；有些问题虽有算法，但还是应用启发式能够迅速解决问题；还有些问题过于繁杂，实际上是无法应用算法的。

2. 借助新旧教材的对比，归纳解决问题的方法。新课程下的实验教材都不再单独设立“应用题”单元，而是将“解决问题”融入到“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四大领域的学习中，教材的这一变化给我们的教学实践带来了新的困难，新的任务，新的挑战。

（1）教学目标多元化，决定解决问题方法的多样化。通过研究，我们了解到，与传统教材中的应用题教学相比较，新教材中“解决问题”的价值取向发生了明显的变化。从教学目标来看， 原来的“应用题”教学注重“使学生获得常见的一些数量关系和解答应用题的方法”，侧重于解题技能和方法的指导。但是，新课程下的“解决问题”更关注学生数学应用意识的培养，注重数学思考，关注“解决问题”策略的形成，关注学生问题意识的培养，还关注学生“体验解决问题的过程”，关注学生“合作交流能力”“评价与反思的意识”的培养。这样的目标就对教师提出了更高的要求，我们在教学时要好好的研究教材，把握好教学目标，全面提高学生的数学素养。

（2）呈现方式多样化，决定解决问题方法的多样化。传统教材中的“应用题”都是提供一些直接运用数量关系，让学生套用计算公式解答，而不是为了解决实际问题，离学生的生活较远，纯粹是为了做题而做题，不能贴近学生的生活。并且题目的形式是以纯文字形式呈现，形式比较单一，对于学生没有太大的吸引力。尤其是低年级的孩子，纯文字的应用题对于他们来说更是觉得枯燥乏味，导致其缺乏兴趣和解题思路。

新课标教材，从学生已有的知识经验出发，从学生的现实出发，设计了很多趣味性的、富有意义的、具有一定数学价值的具备一定探索性的问题。教材中信息与问题都是在学生一个个熟悉的情境中提出来的，这样就大大调动了学生探索的欲望。信息的呈现方式也由原来单一、简单的方式演变为现在图片、文字单独呈现或两者相结合的方式，同时也有一部分信息运用对话、表格、图形、漫画等更加生动的方式呈现出来，信息呈现的多样化使得学生更有动力去探索和研究问题；另外题目中提供的信息有对解题有用的，也有对解题无用或缺乏的信息，这种信息的复合型锻炼了学生提取有用信息、排除无用信息、挖掘潜在信息的能力。

3. 借助学生资源的积累，归纳解决问题的方法。我们对学生解决问题方法的有关方面进行了问卷调查。该问卷主要针对六年级的同学，从学生对解决问题的兴趣和积极性、解题习惯、解题方法和课后反思几个方面进行问卷调查。调查结果如下：

资料来源：作者根据解决问题调查问卷整理而来

从调查报告中我们可以看到，学生对解决问题的兴趣和学习积极性还是比较高的，主要是因为学生认为通过解决问题的学习可以提高他们解决实际问题的能力，并且解决问题可以开动他们的大脑去深入思考问题，同时也有学生认为喜欢解决问题的主要原因是因为授课老师的讲课方式比较幽默，比较吸引人；从学生的解题习惯统计分析，发现学生的解题习惯水平参差不齐，有的学生读题、解题比较认真，有自己的方法，所以效率比较高，但是有的同学不能认真高效的读题，获取解题的有用信息导致花费了时间也不行能正确解答题目；从解题方法的统计分析来看，学生掌握了解决问题的基本方法，对老师在课堂教授的内容的掌握能发到一定程度，但是也由此看出学生解题时思路的狭隘和方法的单一，不能自主有效地探索新的解题方法；从课后反思的统计来看，学生错题的主要原因是粗心或不能完整地读题，并且老师在课堂上讲解问题解决的方式比较单调。

二、解决问题方法的培养途径二——依托课堂教学，构建解决问题模型

课堂是师生交流的一个重要场所，教学的功能是帮助学生习得解决问题一些常用的基本方法，并引导他们灵活应用这些方法，适应问题的千变万化，形成自己的解题策略。

1. 创设情境，生成问题。新课程所要求“解决问题”教学要让学生能从现实生活中发现并提出简单的数学问题。让学生从现实生活中发现问题、提出问题、解决问题，是提高学生解决问题能力的重要途径。在课堂中，教师可以通过创设与研究问题相关的情境来激发学生的学习兴趣，我们创设的情境要尽量生活化，并符合学生的认知特点和知识经验，这更有利于焕发学生的主体意识，挖掘学生自主学习探索的潜力。

比如，在教学人教版五年级上册数学第65页《稍复杂的方程》时，我是这样设计的：同学们喜欢踢足球吗？喜欢踢足球的请举手，对这个足球的构成有所了解的请举手（交流讨论）。小小足球的完美构成引起了数学家、建筑学家、美学家极大的兴趣，都从中发现了自己研究的价值。今天我们就以一位数学家的眼光来发现这个足球在构成中隐藏着的数学秘密，好不好？请同学们观察这个足球，然后看题，寻找你所需要的信息。通过这样的情境，很好的调动了学生学习的积极性，勾起了他们主动探索新知的欲望。

2. 构建问题解决的模型。

（1）明确已知条件和问题。指导学生带着问题去读，在读的过程当中明确题目中的条件和问题，初步了解题意。在读题时可以让学生有意识地重读需要注意的地方和关键词语，这样更有助于学生理解题义，并要求学生在读的时候尽量做到不添字、不漏字，读懂题目的意思，让学生养成在解决问题以前认真阅读题目要求的良好习惯。如果是情境图式的问题或者是图文并茂的问题，指导学生能从情境图中发现有用的数学信息，从而为解决问题打好基础。

（2）找出关键词。在初读的基础上，指导学生再次读题，对题目的了解更深一层，找出题目中的关键词语，准确理解其表达的意义。只有学生在读题中养成认真推敲、咬文嚼字的习惯，才能真正理解题意。为了让学生能把认真读题、仔细推敲的过程表现出来，强化学生认真审题的意识，可以要求学生一边读题，一边重要的字词圈起来，提醒自己注意。比如，在学生解决分数问题的时候，指导学生找到“是”、“占”、“比”这些关键的字眼，找出“1”，帮助解决问题；在解决圆柱圆锥体积的时候，指导学生圈出圆柱还是圆锥，提醒并明确体积公式，提高做题的正确率。

（3）分析数量关系。解决问题的核心就是分析数量关系，突出数量关系分析，找到解题思路与方法，是解决问题教学的重点。数量关系是问题求解的决定性因素，解决问题教学要体现学生“逐步掌握并灵活运用数量关系”的过程，让学生经历以熟悉基本的数量关系，到对比较复杂的数量关系进行分析综合、抽象概括、判断推理的过程。比如，在进行“速度×时间=路程”、“单产量×数量=总产量”、“单价×数量=总价”、“工效×工时=工作总量”这四个常见数量关系的教学时，通过前两次的读题，就引导学生明确问题，选择合适的数量关系式解决问题；不如在解决分数问题时，引导学生找出“1”，确定“1”已知还是未知，明确是“1”的一部分还是比“1”多或比“1”少，从而确定运算的方法。

（4）确定解决问题的方法。这是解决问题的一个中心环节，在前面对分析感知、分析的基础上，已经使问题与数量关系明朗化，我们要调动学生的学习经验和生活经验，采用学生独立思考、动手实践与合作交流等方式，根据问题的类型、特征，让学生主动探索选用适当的解决问题的方法，并将实际问题数字化或符号化，建立解决问题的数学模型，并根据模型的特征，采用适当的数学思想、方法和数学知识，对数学模型进行求解，从而解决问题。在教学过程中，让学生已掌握的知识技能能对解决新问题产生积极的影响，并体现学生学习的自主性。一般情况下学生都能独立完成，有困难的学生也可以通过小组合作完成这个过程。

（5）调整解决问题的方法。在解决问题的过程中，学生会根据自己的知识体系的特点和生活经验的积累对问题产生不同的理解，从而形成不同的解题策略。在这一过程中，学生极容易受知识体系或生活经验中定向思维的影响而对问题的理解产生偏差。当学生的解题方法偏离时，教师可以引导学生正确地再次理解问题，通过引导学生关注题目的关键词、关键语句来理清文中的数量关系；通过提问“你再看看问题”，“有没有新的思考？”“你又想到了什么新方法？”让他在阐述中检索自己的思维过程，重新调整思考方向，进而把握正确的解题策略。同时在这一过程中，通过及时的调整学生的问题解决方法，也可以激发学生开创性思维，拓宽学生的思路，提高学生综合運用数学知识的能力。

（6）反思、推广解决问题的方法。当学生能够正确解答问题后，事后的反思和回忆是至关重要的，这一过程是学生自我总结、自我提升的重要步骤。教师应该鼓励引导学生个体进行反思，反思自己在解题中的逻辑顺序和思考方式，来审视自己在解题过程中的表现，发现优缺点，从而不断完善自己的问题解决方法。当学生个体反思完成后，教师引导他们借助动作、图画、符号、文字等形式把解决问题的结果呈现出来，引导学生间的交流与评价，鼓励学生口头描述自己的解题方法，鼓励其他学生提出意见、予以评价；这一过程中，教师引导学生不断探讨、互相学习借鉴，巩固自己的解题模式，学习其他同学更好的解题方法。在反思的最后阶段，教师应指导学生动手将反思交流结果进行总结，加强记忆，并举一反三，推广到解决其他类似的问题。

三、解决问题方法的培养途径三——借助教师指导，掌握解决问题的方法

我们根据小学生的认知规律及小学数学解决问题的特点归纳出适合小学生解决问题的多种方法。选取了其中的6种方法——列表法、图解法、对应法、逆推法、假设法、转化法、比较法对学生进行了培养，主要针对学生解决问题的方法进行了研究与应用，加强了数学解题方法的指导，优化学生的思维品质，提高解题能力。通过研究我们发现，这些方法的应用切实提高了学生的解题能力。

（1）指导掌握“图解法”。图形是数学研究的对象，也是数学思维和表达的工具。在解决问题时，如果用图形把题意表达出来，题中的数量关系就会具体而形象。图形可起到启发思维、支持思维、唤起记忆的作用，有利于尽快找到解题思路。有时，作出了图形，答案便在图形中。画图常用的方法有示意图、线段图、思路图、条形图等类型，只要学生能用自己的方式表示题目的意思，帮助他们理解题意就是好的方法。

如：

这是一道学生的作业题。通过画线段图分析实际问题，画出了“1”球类比赛的人数，田径比赛的人数和“1”的关系，明确已知条件和问题，化难为易，准确找出数量见的对应关系，使题中的数量关系一目了然，把抽象的语言具体、形象、直观地展示出来，从而轻松地解决问题。

（2）指导掌握“假设法”。当解决的问题用一般方法很难解答时，可假设题中的情节发生了变化，假设题中两个或几个数量相等，假设题中某个数量增加了或减少了，然后在假设的基础上推理，调整由于假设而引起变化的数量的大小，题中隐蔽的数量关系就可能变得明显，从而找到解题方法。这种解题方法就叫做假设法。小学数学六年级上册（人教版）的鸡兔同笼问题是我国古代《孙子算经》中的一道数学问题，它富趣味、解法多样、应用广泛。教材提供三种解题方法：列表尝试法、方程法和假设法。其中假设法为算术方法，算术是小学数学学习的主要内容，也是运用于解决问题的主要方法，计算简便，但理解算理有一定难度。通过对问题对象要素的分析，通过列表法引导学生找出问题对象数量间关系的规律后，问题就简单化了。再引导学生用假设法解决问题。这里是假设情结变化，如果我们假设鸡为0只，全部是兔，那么得出的鸡与实际差距的数量就是鸡的数量，也可以假设都是兔来解决。

（3）指导掌握“对应法”。找出题中“对应”的数量关系，是解答应用题的基本方法之一。用对应的观点，发现应用题数量之间的对应关系，通过对应数量求未知数的解题方法，称为对应法。解应用题时要找出题中数量间的对应关系。如解平均数应用题需找出“总数量”所对应的“总份数”；解倍数应用题需找出具体数量和倍数的对应关系；解分数应用题需找出数量与分率的对应关系。比如，在解行程问题的时候，在距离、速度、时间三个量中，已知其中两个量而求另一个量。 它可以分为一般行程问题、相向运动问题、同向运动问题（即追及问题）三类。在解行程问题的时候，要找准速度、时间和距离之间的对应关系，然后再按照公式“速度×时间=距离”、“速度和×相遇所需对间=原来相隔距离”、“速度差×追及所需时间=追及距离”来计算，或者根据题目中提供的已知条件和问题的不同，也可以把这几个公式进行变式，从而解决问题。

（4）指导掌握其它方法——“转换法”、“逆推法”、“比较法”。在教学的过程中，根据题目的不同、情境的不一样，我们还指导学生掌握了“转化法”、俗话说：解题有法而无定法。这正说明了数学问题的纷繁复杂，解题技法的灵活多变。一个数学问题摆在面前，其思维的触须是多端的，本课题中研究的几种解题策略只是平时常用的导引途径，为了能够更有效地提高解题能力，还要我们学生在解题实践中注意不断思索探求、逐步积累解题经验，以掌握更多、更具体的解题方法和思维策略。

四、解决问题方法的培养途径四——借助跟进作业，延伸解决问题方法

练习是数学教学中的重要环节，是学生掌握数学知识、巩固解题方法、形成数学能力、培养数学情感的重要手段，对学生认知结构的形成和发展起着重要的作用。所以，有效的练习是必不可少的。根据学生解决问题方法的掌握情况，遵循学生的学习规律，本着由易到难、由简到繁、由单一到综合的原则，利用以下形式的练习，引领学生将所学的解决问题的方法内化为自己解决问题的策略，提高解决问题的能力。

1. 模仿练习。与例题类型、难度、解题方法基本相同的题目。通过练习，巩固学生所掌握的解决问题的方法。比如通过课堂教学学生了解并掌握了“图解法”以后，设计了一些可以借助“图解法”分析题意，解决问题的练习，让学生通过练习，能够熟练的通过画图找出题目中存在的数量关系，从而解决问题。

2. 变式练习。在例题类型的基础上，稍加变动，有利于学生掌握解题方法的关键特征，加深对解题方法的理解与认识。比如在研究完工程问题的数量关系以后，可以设计了一系列工程问题的练习题，让学生在掌握了基本的工作效率×工作时间=工作总量的数量关系基础上，解决稍微复杂一些的有变动的练习题。

3. 拓展练习。这部分练习是让学生综合和灵活运用所学的数学知识与方法解决问题的练习，有利于提高学生综合的分析问题、解決问题的能力。比如：在六年级下册数学中有这样一道题目：甲、乙两种糖果共有70袋，乙种糖果的袋数是甲种糖果的2/5。甲、乙两种糖果各有多少袋？这类题目的练习让学生多方面的分析问题，找到多种解决问题的方法。第一种：根据分数应用题解决，以甲种糖果为“1”，乙种糖果占单位1的2/5，列出算式70÷（1+2/5）算出未知“1”乙袋，再根据甲乙两种糖果的关系，算出甲袋；第二种，按比例分配解决。题目中已知乙种糖果的袋鼠是甲种糖果的2/5，可以得出甲乙两种糖果的比是5：2，再把70按照5：2分配，反别算出甲和乙两种糖果各自的重量；第三种方法，找出数量关系，列方程。可以设单位1甲种糖果为x袋，那么乙种糖果就是2/5X袋，列出X+2/5X=70，解方程，算出甲、乙两种糖果各有多少袋。这些是学生在综合掌握了解决的方法与策略，熟练地运用所学的知识，所想到的解决方法。

总之，小学生解决问题能力的培养是一个长期而又复杂的过程，正如《数学课程标准》中指出的，解决问题的教学一直是小学数学教学的重点与难点，也是教学的出发点与归宿，需要我们在教育教学实践中，承认与尊重孩子们的差异，采取有效的策略，培养学生的“问题意识”，培养他们用数学的眼光观察生活，探索解决问题思路与方法的积极性，把我们的孩子培养成善于“发现问题、提出问题、解决问题”的人。