基于市场经济的视角谈《高等数学》课程案例式教学的研究

●朱 捷 孙 璐 杜 红 冯玉铁

基于市场经济的视角谈《高等数学》课程案例式教学的研究

●朱 捷 孙 璐 杜 红 冯玉铁

市场经济人才培养模式下的高等数学教学应体现“贴近实际、面向专业、为专业服务”的思想，注重培养学生的应用能力和创新能力。文章将案例式教学法融入高等数学课堂教学中，以激发学生学习数学的兴趣吗，使学生在应用中掌握高等数学的概念和理论，实现从传统的“学习数学”向“学会运用数学”的观念转变，切实提高课堂教学质量。

高等数学 案例式教学 教学内容 教学方法

高等数学是应用型本科院校各专业必修的一门主干基础理论课。作为各专业的工具学科，肩负着培养学生的数学素养与创造能力、为学生后续发展打好基础的使命。在市场经济培养模式下，数学素养与创造能力不仅需要通过数学基础知识的传授来培养，更重要的是要引导学生运用所学知识创造性地解决实际问题。

高等数学以理论的抽象性、推理的严密性著称，学生感到高等数学非常难学，同时传统的教学方法很难适应应用型人才的培养要求。所以，如何实施高等数学教学内容、教学方法的改革,以体现“贴近实际、面向专业、为专业服务”的思想，突出实用性、专业性、通俗性，切实提高课堂教学质量，是教师都必须认真思考的问题。

案例式教学是理论与实际相结合的互动式教学方法。它通过模拟真实的事例，在特定的情景中进行体验、分析和解决。案例式教学通过对具有专业背景的教学案例进行分析，提炼出相应的数学问题，导入所要介绍的高等数学的基本概念及理论，运用所介绍的基本概念及理论，分析解决案例。学生能充分领略到高等数学在实际问题中具有的重要作用，是培养学生独立思考能力和解决实际问题能力的一种教学方式①。

一、具有专业背景的案例丰富高等数学教学内容

《高等数学》课程的案例式教学要以课程体系为基础，在课程教学内容的处理上，淡化复杂计算、强化基本概念和方法的实际应用。本着服务于专业课程，按照由浅入深的原则，选编了大量的具有专业背景及生活实践背景的教学案例。选编的案例应具有以下四个特点：

1.目的明确。案例要符合教学目标和教学内容的需要，符合学生的认知水平，有助于学生理解教学内容，能够为学生利用所学知识解决类似问题奠定基础。

2.趣味性强。要选择有趣味性、实践性较强的案例，以激发学生的学习兴趣。让学生在兴趣盎然的氛围中学习，感受到数学就在身边，消除数学是抽象、枯燥的认识。

3.具有代表性。案例由一个或几个问题组成，内容完整，情节具体详细，有一定代表性，最好和学生所学的专业有关，这样的案例使他们更有兴趣参与，更有助于对所学内容的理解。

4.具有真实性和实用性。学习数学的目的在于解决实际中的问题，因此案例选择的真实性和实用性尤为重要。

这样，将抽象的高等数学理论与方法融入在案例中，为高等数学的教与学提供一份完美、充实的实例资料。将专业课所涉及的数学问题，作为高等数学课程概念的引入和方法的应用，这样既增加了学生数学学习的兴趣，又能在应用中掌握概念和方法，实现从传统的“学习数学”向“学会运用数学”的观念转变。如：针对经管专业的学生，通过“贷款”案例分析研究，介绍一阶常系数线性差分方程及其求解方法。针对资环学院的学生，通过“自然风压”案例，引出定积分定义。针对电气学院学生，通过“通信卫星覆盖地球面积”问题的分析、讨论，推演出曲面面积的计算公式，并用公式求解“通信卫星覆盖地球面积”。依据教学目的和教学内容的需要以及学生身心发展的特点，这些典型案例,可将学生引入一个特定的真实情境中,以此提高学生分析和解决实际问题的能力②。

二、案例式教学法在高等数学课程教学中的应用

在高等数学课程教学的改革上，将传统的“理论教学”与现代的“案例式教学”相结合，针对授课对象所学专业，将数学知识在专业及生活中的应用作为教与学的中心。

首先，教学案例的选择。根据教学内容和教学对象的不同，精心设计案例。案例要贴切、恰当，能全面反映教学内容；要生动，具有吸引力；要难易适度，易于被学生理解。

其次，方法得当，准确掌控整个教学过程。案例教学的过程就是利用适时、适度地提问引出案例，组织学生思考，引导学生读懂案例、理解案例所描述的问题背景和要解决的实际问题，讨论并列举出案例中涉及的一些量用数学符号表示，找出这些量所表示的数学符号之间的关系，总结提炼出解决案例的数学模型，再由老师引导并讲解高等数学的基本概念和基本理论，最终教师带领学生利用所讲数学的思想和方法，求解数学模型，完成教学案例的全过程。

在教学过程中，学生是学习的主体，教师在教学过程中应侧重于引导学生，吸引所有学生参与进来，在回答、讲评学生对案例的答复时，不能轻率地将答案说出。而是要视绝大多数学员对问题的理解、掌握情况循循诱导，尽量让学生自己来判断、评价答案的正确与否，最终顺理成章的得出结果。另外，在提问的过程中，学生有可能会给出一个意想不到的回答，教师又必须对此做出必要的解释，这就要求教师有解决突发情况的能力，最好在上课以前预设各种可能的答案，并作好回答，以实现对整个教学过程的掌控③。

以下通过一个应用案例，说明案例式教学法的实施。

应用案例——贷款问题。

现实经济活动中，很多经济变量的取值是以等间隔的时间变化来统计的——即离散变化的，那么如何寻求它们之间的关系和变化规律呢？差分方程就是研究离散数据的数学模型的工具。下面针对应用型本科院校的经济管理专业学生，通过贷款模型介绍一阶线性差分方程及其求解方法。

中国人的买楼热情促使了中国楼价的一路飙升，高昂的房价迫使一部分购房者只能以房屋抵押贷款的形式来买房，使自己成为房奴。这个群体不敢娱乐、不敢高消费、害怕失业、担心银行调息等等。造成这一后果的直接原因就是购房者贷款的月还款额度超出了他们的能力范围，导致了他们严重的负担，所以在贷款之前一定要计算一下月还款额。只有合理地安排，才能保证正常的生活质量。

那么要怎样计算月还款额呢？你现在只需要打开互联网，搜索按揭贷款月供计算器，输入相关信息就可以得到相应的数值了。例如，输入本金400000，贷款年限20，贷款利率为6.39，确定，就会显示：每月应付款2956.45，总还款额709536，总利息309536。那么互联网上的这个按揭贷款月供计算器是按照怎样的原理计算的呢？

分析与假设：

1.分析：引例属于月等额还贷款问题。

2.假设：贷款本金为y0元，贷款年限为N年，相当于12N个月，贷款年利率为r，相当于月利率为r/12，月还款额度为B元，在贷款期限范围之内的第个月尚欠银行款的数额为yn元。

3.数学模型：

观察一下这个表达式，其中y关于n的下标之差为1，它们的系数为1与（1+r/12），若把yn-1项移到等号的一侧，由第一节课介绍的差分方程的类型，知道它恰是一阶常系数线性差分方程，要想解出关系式中的B来，必须先求解差分方程。

4.数学思想：关于时间n的一阶线性常系数差分方程的求特解问题。

给出一阶线性常系数差分方程的一般形式：

通过迭代法及微分方程求解方法，得到（1）的通解为：

5.求模型的解：

于是，案例中当A0=400000，N=12×20，r=6.39，x=2956.45，总还款额709536，总利息309536。

三、案例式教学应注意的事项和解决的办法

案例教学法激发了学生的学习兴趣,使学生通过对实际问题的分析、研究，准确理解和把握数学概念的本质,把抽象的概念、原理具体化。使学生充分认识到数学知识既来源于实际又是解决实际问题的基本工具,让学生体会到数学知识的实用性，可以更好地培养学生的创新能力和解决实际问题的能力。当然，在实施案例教学的过程中也存在一些问题,如在课程中有些知识点由于案例的选编存在困难,或所选案例不够准确；再有案例往往来自于不同的学科领域，由于学生的知识量有限,在教学时往往需要补充一些相关知识,会给教学增加一些负担。为了克服案例教学法存在的不足，教师在教学中不断更新自身的知识结构,在采用案例教学法的同时，不断丰富教学形式,精心挑选案例，多举一些简单、直观、生活化的例子，尽可能多地了解学生，把握学生的认知水平，加强与专业课的纵向贯通。只有这样,才能更好地提高课堂教学质量④⑤⑥⑦。

在市场经济中，人才的培养模式成为高校的研究重心。高等数学课程案例式教学的生动性、具体性的特点和实际功能，已经逐步在日常教学中得以显现，它是针对学生能力的培养方式，为学生步入社会奠定了基础。

注释：

①张家军，靳玉乐.论案例教学的本质与特点[J].中国教育学刊，2004（1）：48-50

②朱捷，陈孝国．高等数学课程优化设计[J]．黑龙江高教研究，2009（4）：138-140

③汪玲.案例教学法在高等数学教学中的应用措施及评价.黑龙江科技信息，2011（25）：243

④叶其孝.把数学建模的思想和方法融入大学数学课程要从一年级开始[C].大学数学课程报告论坛论文集，2009:33

⑤李辉.将数学建模的思想融入经济数学教学中的几个典型案例[C].大学数学课程报告论坛论文集.2009:316

⑥董毅，程伟.应用型人才培养中高等数学的教学质量与教学改革.大学数学，2011（4）：15-18

⑦周远清.高等教育面向21世纪教学内容与课程体系改革研究系列报告[M].北京：高等教育出版社，2000

（作者单位：黑龙江科技大学理学院 黑龙江哈尔滨 150022；第一作者简介：朱捷，黑龙江科技大学理学院教授，博士，主要从事数量遗传学的教学与研究工作。） （责编：若佳）

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1004-4914（2014）12-254-02

黑龙江省学位与研究生教育教学改革研究项目（JGXM-HLJ-2014114）]