道德风险下机动车保险中的非同质性保单索赔次数模型分析

邢婧

摘 要 机动车保险是一类索赔比较频繁的保险。本文对机动车保险存在的道德风险问题时的非同质性保单模型进行了讨论，用二元和三元混合泊松模型进行了分析，并对其重要参数进行了计算和估计。

关键词 道德风险 非同质性 复合泊松分布

中图分类号：F840.65 文献标识码：A

On the Number of Non-homogeneous Claims Policy Mode in

Motor Insurance Policies under Moral Hazard

XING Jing

（College of Statistics， Hubei University of Economics， Wuhan， Hubei 430205）

Abstract Motor vehicle insurance is a relatively frequent insurance claims. In this paper， the policy of non-homogeneous model of moral hazard problem exists were discussed， with the binary and ternary mixed Poisson models were analyzed， and the calculation and estimation of its important parameters.

Key words moral hazard； non-homogeneous； compound Poisson distribution

所谓非同质性是指保单组合中每份保单的索赔频率并不相同。在保险实践中，这就使得简单易用的泊松模型失去了应用的前提。此时可以考虑混合索赔次数模型。以下对非同质性保单组合的索赔次数建模及参数估计。

要准确描述一个非同质保单组合的索赔次数分布，就首先需要确定这一保单组合中泊松参数的变化规律。对于规模较小的保单组合，可以假设泊松参数取有限个值，比如取大、中、小三种值，分别代表高、中、低三种风险或取大、小两种值，分别代表高、低两种风险。也可以假定一个保单组合的泊松参数服从连续分布。这种用以描述一个保单组合泊松参数变化规律的分布也被称作结构函数。下面介绍以伽玛分布的连续性结构函数的索赔次数模型。

1 伽玛结构函数：负二项分布模型

在假设一格保险单组合的泊松参数服从参数为（，）的伽玛分布的前提下，从此保单组合中随机抽取的任意一份保单在单位时间内发生次索赔的概率为：

（1）

此即负二项分布的概率函数。其均值、方差和偏度系数分别为：均值 = ，方差 = （1 + ），偏度系数 = [32 + 2]。负二项分布的矩，其中和分别为样本均值和方差。在以上模型中，的分布中和是两个非常重要的参数，在实际中我们可以基于观测到的索赔次数样本对其进行区间估计如下：

易知，当样本容量很大时有：

（2）

及 （3）

又和相互独立，记，其均值为，

则有 （4）

其中

， ，，

则

则。记，则由（2），（3），（4）有。记 = ，由于，中元素为，的函数，记 = （，），记，则由（1981）的强大数定理及（1980）的定理：。进一步，若与 正定，由（1986），有当→时，

（5）

故可以由（5.15）对进行区间估计，对于给定显著水平，可通过查表求出中的， （）为标准正态分布的分布函数，则，即在显著水平的置信区间为。类似的可以等到的置信区间。

2 离散型结构函数：二元和三元风险模型

为了更好地模拟实际保单中高中低风险保单，有必要假设保单组合由两类或三类风险保单构成。先考虑由两类风险保单构成情况，其中高风险的保单（泊松分布参数为）占，低风险保单（泊松分布参数为）占，且 + = 1，则从保单组合中任意抽取的随机个体保单的索赔次数分布为

（6）

二元风险模型有四个未知参数，可以用如下方程组求得其矩估计值：

（7）

其中，，是各级样本的原点矩。在实际中，如果根据经验已获得和的良好估计，则估计和的问题变成了一个解超定方程问题，易知此方程（7）最优解由以下最小二乘解（LSE）给出，具体过程略。

如果假设保单组合由三种类型的风险构成，其中高风险的保单（泊松参数为）占，中等风险保单（泊松分布参数为）占，低风险保单（泊松分布参数为）占，且 + + = 1，参数估计的方法也是类似的。

参考文献

[1] 张维迎.博弈论与信息经济学.上海：上海三联书店，上海人民出版社，1996.

[2] 周亚平.保险企业信息不对称风险分析 [D].武汉：武汉大学，2002.

[3] 钟桦.道德风险下的最优保险契约模型[D].重庆：重庆大学，2005.endprint

摘 要 机动车保险是一类索赔比较频繁的保险。本文对机动车保险存在的道德风险问题时的非同质性保单模型进行了讨论，用二元和三元混合泊松模型进行了分析，并对其重要参数进行了计算和估计。

关键词 道德风险 非同质性 复合泊松分布

中图分类号：F840.65 文献标识码：A

On the Number of Non-homogeneous Claims Policy Mode in

Motor Insurance Policies under Moral Hazard

XING Jing

（College of Statistics， Hubei University of Economics， Wuhan， Hubei 430205）

Abstract Motor vehicle insurance is a relatively frequent insurance claims. In this paper， the policy of non-homogeneous model of moral hazard problem exists were discussed， with the binary and ternary mixed Poisson models were analyzed， and the calculation and estimation of its important parameters.

Key words moral hazard； non-homogeneous； compound Poisson distribution

所谓非同质性是指保单组合中每份保单的索赔频率并不相同。在保险实践中，这就使得简单易用的泊松模型失去了应用的前提。此时可以考虑混合索赔次数模型。以下对非同质性保单组合的索赔次数建模及参数估计。

要准确描述一个非同质保单组合的索赔次数分布，就首先需要确定这一保单组合中泊松参数的变化规律。对于规模较小的保单组合，可以假设泊松参数取有限个值，比如取大、中、小三种值，分别代表高、中、低三种风险或取大、小两种值，分别代表高、低两种风险。也可以假定一个保单组合的泊松参数服从连续分布。这种用以描述一个保单组合泊松参数变化规律的分布也被称作结构函数。下面介绍以伽玛分布的连续性结构函数的索赔次数模型。

1 伽玛结构函数：负二项分布模型

在假设一格保险单组合的泊松参数服从参数为（，）的伽玛分布的前提下，从此保单组合中随机抽取的任意一份保单在单位时间内发生次索赔的概率为：

（1）

此即负二项分布的概率函数。其均值、方差和偏度系数分别为：均值 = ，方差 = （1 + ），偏度系数 = [32 + 2]。负二项分布的矩，其中和分别为样本均值和方差。在以上模型中，的分布中和是两个非常重要的参数，在实际中我们可以基于观测到的索赔次数样本对其进行区间估计如下：

易知，当样本容量很大时有：

（2）

及 （3）

又和相互独立，记，其均值为，

则有 （4）

其中

， ，，

则

则。记，则由（2），（3），（4）有。记 = ，由于，中元素为，的函数，记 = （，），记，则由（1981）的强大数定理及（1980）的定理：。进一步，若与 正定，由（1986），有当→时，

（5）

故可以由（5.15）对进行区间估计，对于给定显著水平，可通过查表求出中的， （）为标准正态分布的分布函数，则，即在显著水平的置信区间为。类似的可以等到的置信区间。

2 离散型结构函数：二元和三元风险模型

为了更好地模拟实际保单中高中低风险保单，有必要假设保单组合由两类或三类风险保单构成。先考虑由两类风险保单构成情况，其中高风险的保单（泊松分布参数为）占，低风险保单（泊松分布参数为）占，且 + = 1，则从保单组合中任意抽取的随机个体保单的索赔次数分布为

（6）

二元风险模型有四个未知参数，可以用如下方程组求得其矩估计值：

（7）

其中，，是各级样本的原点矩。在实际中，如果根据经验已获得和的良好估计，则估计和的问题变成了一个解超定方程问题，易知此方程（7）最优解由以下最小二乘解（LSE）给出，具体过程略。

如果假设保单组合由三种类型的风险构成，其中高风险的保单（泊松参数为）占，中等风险保单（泊松分布参数为）占，低风险保单（泊松分布参数为）占，且 + + = 1，参数估计的方法也是类似的。

参考文献

[1] 张维迎.博弈论与信息经济学.上海：上海三联书店，上海人民出版社，1996.

[2] 周亚平.保险企业信息不对称风险分析 [D].武汉：武汉大学，2002.

[3] 钟桦.道德风险下的最优保险契约模型[D].重庆：重庆大学，2005.endprint

摘 要 机动车保险是一类索赔比较频繁的保险。本文对机动车保险存在的道德风险问题时的非同质性保单模型进行了讨论，用二元和三元混合泊松模型进行了分析，并对其重要参数进行了计算和估计。

关键词 道德风险 非同质性 复合泊松分布

中图分类号：F840.65 文献标识码：A

On the Number of Non-homogeneous Claims Policy Mode in

Motor Insurance Policies under Moral Hazard

XING Jing

（College of Statistics， Hubei University of Economics， Wuhan， Hubei 430205）

Abstract Motor vehicle insurance is a relatively frequent insurance claims. In this paper， the policy of non-homogeneous model of moral hazard problem exists were discussed， with the binary and ternary mixed Poisson models were analyzed， and the calculation and estimation of its important parameters.

Key words moral hazard； non-homogeneous； compound Poisson distribution

所谓非同质性是指保单组合中每份保单的索赔频率并不相同。在保险实践中，这就使得简单易用的泊松模型失去了应用的前提。此时可以考虑混合索赔次数模型。以下对非同质性保单组合的索赔次数建模及参数估计。

要准确描述一个非同质保单组合的索赔次数分布，就首先需要确定这一保单组合中泊松参数的变化规律。对于规模较小的保单组合，可以假设泊松参数取有限个值，比如取大、中、小三种值，分别代表高、中、低三种风险或取大、小两种值，分别代表高、低两种风险。也可以假定一个保单组合的泊松参数服从连续分布。这种用以描述一个保单组合泊松参数变化规律的分布也被称作结构函数。下面介绍以伽玛分布的连续性结构函数的索赔次数模型。

1 伽玛结构函数：负二项分布模型

在假设一格保险单组合的泊松参数服从参数为（，）的伽玛分布的前提下，从此保单组合中随机抽取的任意一份保单在单位时间内发生次索赔的概率为：

（1）

此即负二项分布的概率函数。其均值、方差和偏度系数分别为：均值 = ，方差 = （1 + ），偏度系数 = [32 + 2]。负二项分布的矩，其中和分别为样本均值和方差。在以上模型中，的分布中和是两个非常重要的参数，在实际中我们可以基于观测到的索赔次数样本对其进行区间估计如下：

易知，当样本容量很大时有：

（2）

及 （3）

又和相互独立，记，其均值为，

则有 （4）

其中

， ，，

则

则。记，则由（2），（3），（4）有。记 = ，由于，中元素为，的函数，记 = （，），记，则由（1981）的强大数定理及（1980）的定理：。进一步，若与 正定，由（1986），有当→时，

（5）

故可以由（5.15）对进行区间估计，对于给定显著水平，可通过查表求出中的， （）为标准正态分布的分布函数，则，即在显著水平的置信区间为。类似的可以等到的置信区间。

2 离散型结构函数：二元和三元风险模型

为了更好地模拟实际保单中高中低风险保单，有必要假设保单组合由两类或三类风险保单构成。先考虑由两类风险保单构成情况，其中高风险的保单（泊松分布参数为）占，低风险保单（泊松分布参数为）占，且 + = 1，则从保单组合中任意抽取的随机个体保单的索赔次数分布为

（6）

二元风险模型有四个未知参数，可以用如下方程组求得其矩估计值：

（7）

其中，，是各级样本的原点矩。在实际中，如果根据经验已获得和的良好估计，则估计和的问题变成了一个解超定方程问题，易知此方程（7）最优解由以下最小二乘解（LSE）给出，具体过程略。

如果假设保单组合由三种类型的风险构成，其中高风险的保单（泊松参数为）占，中等风险保单（泊松分布参数为）占，低风险保单（泊松分布参数为）占，且 + + = 1，参数估计的方法也是类似的。

参考文献

[1] 张维迎.博弈论与信息经济学.上海：上海三联书店，上海人民出版社，1996.

[2] 周亚平.保险企业信息不对称风险分析 [D].武汉：武汉大学，2002.

[3] 钟桦.道德风险下的最优保险契约模型[D].重庆：重庆大学，2005.endprint