悟方法累经验强意识

王哲燕

推理是数学三大基本思维方式之一，是“科学发现的金钥匙”，培养学生的推理能力是“数学思考”这一过程性目标中的重要组成部分。在教学中重视强化学生的推理意识、培养学生的推理能力，既有利于帮助学生形成言必有据、有条有理的良好习惯，也有利于学生掌握科学的思维方法、积累思维经验，提高学习的兴趣、解决问题和创造的能力，即增加数学学习的正能量。那么，如何培养学生的推理能力？对此，笔者谈一些自己的体会。

一、猜想，发现的本源

许多伟大的数学发现均来自于大胆的猜想。“合情推理是指从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果”，其实质是“发现——猜想”。猜想是运用非逻辑手段进行推理的一种数学想象，能获得数学发现的机会，为学生提出问题、解决问题创造条件。因此，教师要创设有效的问题情境，使学生陷于愤悱，引发他们的认知冲突，从而让其产生强烈的求知欲，自始至终主动参与数学知识的探索过程。

然后提问：正方形的周长与什么有关？圆呢？进行第一次猜想。学生猜到圆的周长与直径（半径）有关，那是怎样的关系呢？让学生进行第二次猜想。学生1想到圆周长是直径的2倍多，而且有理有据：将圆对折一次，圆的上半个曲线比直径长，下半个曲线也比直径长，所以圆的周长比直径2倍还长（如图2）。

随即教师充分发挥其主导作用，表扬生1进行了有依据的猜想，然后追问：比2倍多多少呢？可能是3倍？4倍？5倍？马上有学生提出了异议，认为不可能超出4倍。生2认为4条直径接在一起就成了正方形，比圆的周长长（如图1）。生3将圆对折再对折，认为a+b>c，a+b=直径，4个c才是整个圆的周长，所以也不可能超过4倍（如图3）。

通过猜想确定范围后，学生进入了非常主动的探究过程中。教师引导学生作出有依据的猜想，很好地锻炼了学生的合情推理能力，同时教师巧妙地引导学生在各具个性的方法和理性思维之间往返穿梭，逐渐使思路清晰。

与以前认识的平面图形不同，圆是曲线图形，圆的周长与直径之间的倍数关系需要学生有更好的空间观念和抽象思维能力，因此引导学生进行“有根据”的猜想是有必要、有价值的。“学起于思，思源于疑”。有疑才能激发学生的求知欲望，使学生的思维处于主动积极、愉快获知的状态，唤起他们学习的兴趣。学生在生疑中主动探究，在探究中议疑、释疑，既习得了新知、悟得了方法，也促进了推理能力、创新能力的培养。所以当面临新情况时，教师就可以引导学生从进行有依据的猜想开始。

二、示范，方法的领悟

波利亚指出，“有效地应用合情推理是一种实际技能”，“要通过模仿和实践来学习它，在实践中发展合情推理能力”。模仿是实践，尝试是实践，创造也是实践，根据小学生学习模仿性大的特点，教师在教学中有意识地结合数学内容为学生示范如何进行正确的推理，在范例中让学生学会像数学猜想、枚举归纳、类比等似真推理的方法。

又如，归纳推理是学生合情推理的另一种重要方式。一位教师在教学“三角形内角和”时，对猜想进行验证的过程就是对学生进行了归纳推理的示范，为学生今后研究类似问题做了很好的示范。当学生猜想出“三角形内角和是180度”后，教师抛出问题：三角形有这么多，怎么进行验证？引导学生得出因为是研究内角，所以就研究根据角分成的三类三角形，然后教师组织学生用各种方法先研究特殊的直角三角形的内角和，再研究钝角三角形和锐角三角形的内角和，让学生将研究结果“直角三角形内角和是180度，钝角三角形内角和是180度，锐角三角形内角和是180度”这三句话并成一句话，即得出结论。随后，教师让学生小结了“三角形内角和”的准确完整的答案，更重要的是引导学生回顾推理来探讨问题。数学教学中，很多知识和方法都要进行归纳总结，将教学流程设计为归纳总结的过程就是培养学生归纳推理能力的过程，也为学生示范如何进行正确的推理，这样学生既受到科学思维方式的训练，又能领悟到所用的推理方法。

三、操作，感性的积累

教师在教学时进行操作的过程中，需要让学生认真观察、思考，对整个过程能进行总结，也就是从动作思维上升到表象，最终形成抽象思维。所以组织学生进行实践操作、参与推理过程，既有利于学生的思维由直观向抽象转化，又为推理积累感性经验。

例如，要让四年级学生判断“在一个三角形中，如果∠1+∠2=∠3，这个三角形一定是直角三角形”。如果没有操作作支撑，学生是很难理解的。教学“三角形内角和”，在验证三角形内角和是180度时，教师引导学生从特殊的直角三角形入手，得出了量一量算一算、撕一撕拼一拼、折一折拼一拼等方法，在折一折拼一拼中，学生得出了两种方法，第一种将三个角折拼成平角，第二种方法是将两个锐角叠在直角上，这样两个直角加起来就是180度（如图4）。

而在研究锐角三角形、钝角三角形用折一折拼一拼的方法时只能用第一种，第二种不能用了，让学生根据操作结果说一说原因（如图5）。

在综合练习中出现了这道抽象性很强的判断题：一个三角形中∠1+∠2=∠3，这个三角形一定是直角三角形。学生指着课中的操作结果很自信地判断正确，而且能有条有理地说出理由。

对事物进行判断推理，就是从最初的感性经验开始的，因此通过操作不断丰富学生的感性知识和经验，使推理能力在感性经验上升为理性经验的过程中得以发展。

四、说理，能力的彰显

语言的表达是由思维决定的，反之，语言也能促进思维的发展，让思维更富有逻辑性，有条理有根据地进行语言表达能提高思维的敏捷性和灵活性。说理更多用到的是演绎推理，学习和生活中随处可见演绎推理，只是学生很少能正规系统地去推理。不可否认，学生的推理能力存在着很大的差异，一些学生思维活跃，条理清晰，分析问题头头是道，可有些学生却没有逻辑性。要“通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认”。同时在教学中应规范推理的程序，多进行追问，让学生有条理地进行说理，养成推理有序、有据的良好习惯，促进其演绎推理能力的发展。

演绎推理的标准格式为“大前提+小前提+结论”，也就是常说的“三段论式”。在教学中可有意识地引导学生按照这种格式进行说理训练。

例如，在“认识周长”一课中，出现了这样一道题：在周长是6厘米的长方形中加一条线段后（如图6），这个长方形的周长是多少厘米？

学生出现了两种意见：6厘米和7厘米，在争辩中，有意识地引导学生这样论述：（1）因为封闭图形一周的长度是它的周长，也就是从起点绕一周回到起点；（2）从A点出发就要沿长方形的四条边绕一周回到A点；（3）所以周长还是6厘米。

又如，教学“三角形内角和”一课，让学生对命题“一个三角形内不可能有两个直角或钝角”进行说理，学生会出现知道但说不清的现象，可启发学生从“三角形内角和是180度去思考表述，于是有了这样的回答：（1）三角形的内角和是180度；（2）假设一个三角形内有两个直角或两个钝角，那内角和就超过180度；（3）所以一个三角形中不可能有两个直角或钝角。

数学是一门具有高度科学性与严密逻辑性的学科，数学教学也是数学语言的教学。经常进行逻辑推理范式语言的训练，不仅能提高学生言语的条理性，而且有利于学生演绎推理能力的发展。

从数学本身看，数学推理反映的是一种基本的数学思想，也是一种主要的数学方法，它与数学证明紧密关联，共同构成了数学最重要的基础。当然，小学数学的学习离不开推理，而且随知识的积累、年级的升高，运用已知获得新知识的成分会逐步增加，所以要让学生在数学学习中，逐步体验领悟推理的方法、积累推理的经验，逐步发展推理能力，形成推理意识。

（浙江省宁波市北仑区教育局教研室 315800）endprint

推理是数学三大基本思维方式之一，是“科学发现的金钥匙”，培养学生的推理能力是“数学思考”这一过程性目标中的重要组成部分。在教学中重视强化学生的推理意识、培养学生的推理能力，既有利于帮助学生形成言必有据、有条有理的良好习惯，也有利于学生掌握科学的思维方法、积累思维经验，提高学习的兴趣、解决问题和创造的能力，即增加数学学习的正能量。那么，如何培养学生的推理能力？对此，笔者谈一些自己的体会。

一、猜想，发现的本源

许多伟大的数学发现均来自于大胆的猜想。“合情推理是指从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果”，其实质是“发现——猜想”。猜想是运用非逻辑手段进行推理的一种数学想象，能获得数学发现的机会，为学生提出问题、解决问题创造条件。因此，教师要创设有效的问题情境，使学生陷于愤悱，引发他们的认知冲突，从而让其产生强烈的求知欲，自始至终主动参与数学知识的探索过程。

然后提问：正方形的周长与什么有关？圆呢？进行第一次猜想。学生猜到圆的周长与直径（半径）有关，那是怎样的关系呢？让学生进行第二次猜想。学生1想到圆周长是直径的2倍多，而且有理有据：将圆对折一次，圆的上半个曲线比直径长，下半个曲线也比直径长，所以圆的周长比直径2倍还长（如图2）。

随即教师充分发挥其主导作用，表扬生1进行了有依据的猜想，然后追问：比2倍多多少呢？可能是3倍？4倍？5倍？马上有学生提出了异议，认为不可能超出4倍。生2认为4条直径接在一起就成了正方形，比圆的周长长（如图1）。生3将圆对折再对折，认为a+b>c，a+b=直径，4个c才是整个圆的周长，所以也不可能超过4倍（如图3）。

通过猜想确定范围后，学生进入了非常主动的探究过程中。教师引导学生作出有依据的猜想，很好地锻炼了学生的合情推理能力，同时教师巧妙地引导学生在各具个性的方法和理性思维之间往返穿梭，逐渐使思路清晰。

与以前认识的平面图形不同，圆是曲线图形，圆的周长与直径之间的倍数关系需要学生有更好的空间观念和抽象思维能力，因此引导学生进行“有根据”的猜想是有必要、有价值的。“学起于思，思源于疑”。有疑才能激发学生的求知欲望，使学生的思维处于主动积极、愉快获知的状态，唤起他们学习的兴趣。学生在生疑中主动探究，在探究中议疑、释疑，既习得了新知、悟得了方法，也促进了推理能力、创新能力的培养。所以当面临新情况时，教师就可以引导学生从进行有依据的猜想开始。

二、示范，方法的领悟

波利亚指出，“有效地应用合情推理是一种实际技能”，“要通过模仿和实践来学习它，在实践中发展合情推理能力”。模仿是实践，尝试是实践，创造也是实践，根据小学生学习模仿性大的特点，教师在教学中有意识地结合数学内容为学生示范如何进行正确的推理，在范例中让学生学会像数学猜想、枚举归纳、类比等似真推理的方法。

又如，归纳推理是学生合情推理的另一种重要方式。一位教师在教学“三角形内角和”时，对猜想进行验证的过程就是对学生进行了归纳推理的示范，为学生今后研究类似问题做了很好的示范。当学生猜想出“三角形内角和是180度”后，教师抛出问题：三角形有这么多，怎么进行验证？引导学生得出因为是研究内角，所以就研究根据角分成的三类三角形，然后教师组织学生用各种方法先研究特殊的直角三角形的内角和，再研究钝角三角形和锐角三角形的内角和，让学生将研究结果“直角三角形内角和是180度，钝角三角形内角和是180度，锐角三角形内角和是180度”这三句话并成一句话，即得出结论。随后，教师让学生小结了“三角形内角和”的准确完整的答案，更重要的是引导学生回顾推理来探讨问题。数学教学中，很多知识和方法都要进行归纳总结，将教学流程设计为归纳总结的过程就是培养学生归纳推理能力的过程，也为学生示范如何进行正确的推理，这样学生既受到科学思维方式的训练，又能领悟到所用的推理方法。

三、操作，感性的积累

教师在教学时进行操作的过程中，需要让学生认真观察、思考，对整个过程能进行总结，也就是从动作思维上升到表象，最终形成抽象思维。所以组织学生进行实践操作、参与推理过程，既有利于学生的思维由直观向抽象转化，又为推理积累感性经验。

例如，要让四年级学生判断“在一个三角形中，如果∠1+∠2=∠3，这个三角形一定是直角三角形”。如果没有操作作支撑，学生是很难理解的。教学“三角形内角和”，在验证三角形内角和是180度时，教师引导学生从特殊的直角三角形入手，得出了量一量算一算、撕一撕拼一拼、折一折拼一拼等方法，在折一折拼一拼中，学生得出了两种方法，第一种将三个角折拼成平角，第二种方法是将两个锐角叠在直角上，这样两个直角加起来就是180度（如图4）。

而在研究锐角三角形、钝角三角形用折一折拼一拼的方法时只能用第一种，第二种不能用了，让学生根据操作结果说一说原因（如图5）。

在综合练习中出现了这道抽象性很强的判断题：一个三角形中∠1+∠2=∠3，这个三角形一定是直角三角形。学生指着课中的操作结果很自信地判断正确，而且能有条有理地说出理由。

对事物进行判断推理，就是从最初的感性经验开始的，因此通过操作不断丰富学生的感性知识和经验，使推理能力在感性经验上升为理性经验的过程中得以发展。

四、说理，能力的彰显

语言的表达是由思维决定的，反之，语言也能促进思维的发展，让思维更富有逻辑性，有条理有根据地进行语言表达能提高思维的敏捷性和灵活性。说理更多用到的是演绎推理，学习和生活中随处可见演绎推理，只是学生很少能正规系统地去推理。不可否认，学生的推理能力存在着很大的差异，一些学生思维活跃，条理清晰，分析问题头头是道，可有些学生却没有逻辑性。要“通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认”。同时在教学中应规范推理的程序，多进行追问，让学生有条理地进行说理，养成推理有序、有据的良好习惯，促进其演绎推理能力的发展。

演绎推理的标准格式为“大前提+小前提+结论”，也就是常说的“三段论式”。在教学中可有意识地引导学生按照这种格式进行说理训练。

例如，在“认识周长”一课中，出现了这样一道题：在周长是6厘米的长方形中加一条线段后（如图6），这个长方形的周长是多少厘米？

学生出现了两种意见：6厘米和7厘米，在争辩中，有意识地引导学生这样论述：（1）因为封闭图形一周的长度是它的周长，也就是从起点绕一周回到起点；（2）从A点出发就要沿长方形的四条边绕一周回到A点；（3）所以周长还是6厘米。

又如，教学“三角形内角和”一课，让学生对命题“一个三角形内不可能有两个直角或钝角”进行说理，学生会出现知道但说不清的现象，可启发学生从“三角形内角和是180度去思考表述，于是有了这样的回答：（1）三角形的内角和是180度；（2）假设一个三角形内有两个直角或两个钝角，那内角和就超过180度；（3）所以一个三角形中不可能有两个直角或钝角。

数学是一门具有高度科学性与严密逻辑性的学科，数学教学也是数学语言的教学。经常进行逻辑推理范式语言的训练，不仅能提高学生言语的条理性，而且有利于学生演绎推理能力的发展。

从数学本身看，数学推理反映的是一种基本的数学思想，也是一种主要的数学方法，它与数学证明紧密关联，共同构成了数学最重要的基础。当然，小学数学的学习离不开推理，而且随知识的积累、年级的升高，运用已知获得新知识的成分会逐步增加，所以要让学生在数学学习中，逐步体验领悟推理的方法、积累推理的经验，逐步发展推理能力，形成推理意识。

（浙江省宁波市北仑区教育局教研室 315800）endprint

推理是数学三大基本思维方式之一，是“科学发现的金钥匙”，培养学生的推理能力是“数学思考”这一过程性目标中的重要组成部分。在教学中重视强化学生的推理意识、培养学生的推理能力，既有利于帮助学生形成言必有据、有条有理的良好习惯，也有利于学生掌握科学的思维方法、积累思维经验，提高学习的兴趣、解决问题和创造的能力，即增加数学学习的正能量。那么，如何培养学生的推理能力？对此，笔者谈一些自己的体会。

一、猜想，发现的本源

许多伟大的数学发现均来自于大胆的猜想。“合情推理是指从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果”，其实质是“发现——猜想”。猜想是运用非逻辑手段进行推理的一种数学想象，能获得数学发现的机会，为学生提出问题、解决问题创造条件。因此，教师要创设有效的问题情境，使学生陷于愤悱，引发他们的认知冲突，从而让其产生强烈的求知欲，自始至终主动参与数学知识的探索过程。

然后提问：正方形的周长与什么有关？圆呢？进行第一次猜想。学生猜到圆的周长与直径（半径）有关，那是怎样的关系呢？让学生进行第二次猜想。学生1想到圆周长是直径的2倍多，而且有理有据：将圆对折一次，圆的上半个曲线比直径长，下半个曲线也比直径长，所以圆的周长比直径2倍还长（如图2）。

随即教师充分发挥其主导作用，表扬生1进行了有依据的猜想，然后追问：比2倍多多少呢？可能是3倍？4倍？5倍？马上有学生提出了异议，认为不可能超出4倍。生2认为4条直径接在一起就成了正方形，比圆的周长长（如图1）。生3将圆对折再对折，认为a+b>c，a+b=直径，4个c才是整个圆的周长，所以也不可能超过4倍（如图3）。

通过猜想确定范围后，学生进入了非常主动的探究过程中。教师引导学生作出有依据的猜想，很好地锻炼了学生的合情推理能力，同时教师巧妙地引导学生在各具个性的方法和理性思维之间往返穿梭，逐渐使思路清晰。

与以前认识的平面图形不同，圆是曲线图形，圆的周长与直径之间的倍数关系需要学生有更好的空间观念和抽象思维能力，因此引导学生进行“有根据”的猜想是有必要、有价值的。“学起于思，思源于疑”。有疑才能激发学生的求知欲望，使学生的思维处于主动积极、愉快获知的状态，唤起他们学习的兴趣。学生在生疑中主动探究，在探究中议疑、释疑，既习得了新知、悟得了方法，也促进了推理能力、创新能力的培养。所以当面临新情况时，教师就可以引导学生从进行有依据的猜想开始。

二、示范，方法的领悟

波利亚指出，“有效地应用合情推理是一种实际技能”，“要通过模仿和实践来学习它，在实践中发展合情推理能力”。模仿是实践，尝试是实践，创造也是实践，根据小学生学习模仿性大的特点，教师在教学中有意识地结合数学内容为学生示范如何进行正确的推理，在范例中让学生学会像数学猜想、枚举归纳、类比等似真推理的方法。

又如，归纳推理是学生合情推理的另一种重要方式。一位教师在教学“三角形内角和”时，对猜想进行验证的过程就是对学生进行了归纳推理的示范，为学生今后研究类似问题做了很好的示范。当学生猜想出“三角形内角和是180度”后，教师抛出问题：三角形有这么多，怎么进行验证？引导学生得出因为是研究内角，所以就研究根据角分成的三类三角形，然后教师组织学生用各种方法先研究特殊的直角三角形的内角和，再研究钝角三角形和锐角三角形的内角和，让学生将研究结果“直角三角形内角和是180度，钝角三角形内角和是180度，锐角三角形内角和是180度”这三句话并成一句话，即得出结论。随后，教师让学生小结了“三角形内角和”的准确完整的答案，更重要的是引导学生回顾推理来探讨问题。数学教学中，很多知识和方法都要进行归纳总结，将教学流程设计为归纳总结的过程就是培养学生归纳推理能力的过程，也为学生示范如何进行正确的推理，这样学生既受到科学思维方式的训练，又能领悟到所用的推理方法。

三、操作，感性的积累

教师在教学时进行操作的过程中，需要让学生认真观察、思考，对整个过程能进行总结，也就是从动作思维上升到表象，最终形成抽象思维。所以组织学生进行实践操作、参与推理过程，既有利于学生的思维由直观向抽象转化，又为推理积累感性经验。

例如，要让四年级学生判断“在一个三角形中，如果∠1+∠2=∠3，这个三角形一定是直角三角形”。如果没有操作作支撑，学生是很难理解的。教学“三角形内角和”，在验证三角形内角和是180度时，教师引导学生从特殊的直角三角形入手，得出了量一量算一算、撕一撕拼一拼、折一折拼一拼等方法，在折一折拼一拼中，学生得出了两种方法，第一种将三个角折拼成平角，第二种方法是将两个锐角叠在直角上，这样两个直角加起来就是180度（如图4）。

而在研究锐角三角形、钝角三角形用折一折拼一拼的方法时只能用第一种，第二种不能用了，让学生根据操作结果说一说原因（如图5）。

在综合练习中出现了这道抽象性很强的判断题：一个三角形中∠1+∠2=∠3，这个三角形一定是直角三角形。学生指着课中的操作结果很自信地判断正确，而且能有条有理地说出理由。

对事物进行判断推理，就是从最初的感性经验开始的，因此通过操作不断丰富学生的感性知识和经验，使推理能力在感性经验上升为理性经验的过程中得以发展。

四、说理，能力的彰显

语言的表达是由思维决定的，反之，语言也能促进思维的发展，让思维更富有逻辑性，有条理有根据地进行语言表达能提高思维的敏捷性和灵活性。说理更多用到的是演绎推理，学习和生活中随处可见演绎推理，只是学生很少能正规系统地去推理。不可否认，学生的推理能力存在着很大的差异，一些学生思维活跃，条理清晰，分析问题头头是道，可有些学生却没有逻辑性。要“通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认”。同时在教学中应规范推理的程序，多进行追问，让学生有条理地进行说理，养成推理有序、有据的良好习惯，促进其演绎推理能力的发展。

演绎推理的标准格式为“大前提+小前提+结论”，也就是常说的“三段论式”。在教学中可有意识地引导学生按照这种格式进行说理训练。

例如，在“认识周长”一课中，出现了这样一道题：在周长是6厘米的长方形中加一条线段后（如图6），这个长方形的周长是多少厘米？

学生出现了两种意见：6厘米和7厘米，在争辩中，有意识地引导学生这样论述：（1）因为封闭图形一周的长度是它的周长，也就是从起点绕一周回到起点；（2）从A点出发就要沿长方形的四条边绕一周回到A点；（3）所以周长还是6厘米。

又如，教学“三角形内角和”一课，让学生对命题“一个三角形内不可能有两个直角或钝角”进行说理，学生会出现知道但说不清的现象，可启发学生从“三角形内角和是180度去思考表述，于是有了这样的回答：（1）三角形的内角和是180度；（2）假设一个三角形内有两个直角或两个钝角，那内角和就超过180度；（3）所以一个三角形中不可能有两个直角或钝角。

数学是一门具有高度科学性与严密逻辑性的学科，数学教学也是数学语言的教学。经常进行逻辑推理范式语言的训练，不仅能提高学生言语的条理性，而且有利于学生演绎推理能力的发展。

从数学本身看，数学推理反映的是一种基本的数学思想，也是一种主要的数学方法，它与数学证明紧密关联，共同构成了数学最重要的基础。当然，小学数学的学习离不开推理，而且随知识的积累、年级的升高，运用已知获得新知识的成分会逐步增加，所以要让学生在数学学习中，逐步体验领悟推理的方法、积累推理的经验，逐步发展推理能力，形成推理意识。

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