“规律推广类”课的“预学后教”策略

陈芳

运算定律与性质是计算教学中的一个特殊的学习内容，是四则运算的“等价变化”规律，一般在整数四则运算中探究相应的定律与性质，在小数、分数四则运算中进行推广。运算定律与性质是四则运算中客观存在的规律，而在简便运算时体现了它的价值，因此，由整数四则运算中获得的运算定律与性质、形成的简算意识，在小数四则运算中是否能够自觉灵活地应用，是检测学生的数感和运算能力的重要指标。下面以“整数加、减法运算定律推广到小数”的教学为例，阐述“规律推广类”课的“预学后教”策略下的课堂教学样式。

一、课内预学，促进学生的迁移能力

一般地，教材在把整数运算定律与性质推广到小数、分数四则运算的编排中，都会出示一组小数或分数四则运算定律或性质的“等价变换”的题目，通过计算结果相等，推导出“整数的运算定律（或性质）在小数（或分数）四则运算中也适用”。如下图，是人教版五年级上册“乘法运算定律推广到小数”的教材编排。在此基础上再提出“利用乘法运算定律可以使一些计算简便”，并出示例8：0.25×4.78×4和0.65×201。

这样的编排，人为地把乘法运算定律分为“整数乘法运算定律”“小数乘法运算定律”和“分数乘法运算定律”，实际上，在整数乘法教学时推导乘法运算定律时，并没有专门指出它只适合于整数乘法，学生完全可以随着数系的扩展，自觉地拓展运算定律的应用。

基于这样的思考，笔者在教学四年级下册“整数加法运算定律推广到小数”时，没有刻意地让学生从整数加法的“等价变换”中得出“整数加法运算定律在小数加法中也适用”这个结论，然后再学习小数加法中的简便计算，而是直接安排一个“预学”活动，结合具体情境，在解答的过程中，自觉进行简便运算，并说明理由。对此，笔者依据教材的例题，设计了如下的“预学单”。

“整数加法运算定律推广到小数”预学单

同学们，前几节课我们学习了“小数的加、减法”和“小数加、减混合运算”，它们的计算方法与运算顺序都和整数加、减法有联系，小数加、减法中还有哪些也是和整数加、减法有联系的呢？让我们带着这样的思考开始新的学习。

一般情况下，教师为了能更清楚地知道学生的学情和自学情况，常常把预学作业安排在课前完成，然后教师收集学生的学习情况，再根据学生的“预学”情况设计教学。但是，由于本节课的预学作业相对简单，预计学生解决问题的方式相对集中，教师可以在学生完成预学作业时，通过巡视收集信息。因此，笔者把本节课的预学作业安排在课内：课始，请学生用5分钟左右的时间完成“预学单”。

二、交流反思，发现定律的通用性

独立思考，自主预学，给学生充分思考的机会。教师通过巡视，收集学生中的一些典型做法，组织学生交流，通过辨析，明晰加法运算定律的拓展应用，优化解题方法。

（一）收集典型例子

在预学的过程中，学生会有不同的解答方法。为了呈现学生的不同解答方法，笔者不是只指名让个别学生发表意见或直接小组讨论，而是在巡视的过程中收集典型例子，并把过程展示在黑板上（如下图）。

以上三种解答方法，在学生中所占的比例并不相同，用方法1的占8%左右，用方法2的占80%左右，用方法3的只有一个学生，还有10%左右的学生用事先交换好凑整的顺序列式后计算的方法。

以上数据是笔者完成本课教学后所做的统计，在实际教学中笔者只板书了上述四类情况的前三类，因为最后一类情况可以包括在第二类计算之中，最后一类虽然只有一个学生，是第二类方法的变式，作为典型例子进行比较，可以拓展全体学生的解题思路。

同时，从上面的数据统计中也可以发现，绝大部分学生已经能够在小数加法中数据可以凑整的情况下，自觉地应用加法运算定律优化计算方法，这符合《数学课程标准（2011年版）》中提出的“寻求合理简洁的运算途径解决问题”的要求。

（二）组织小组交流

教师有针对性地选择学生在预学作业中的典型例子，为接下来的小组交流提供了具体的材料，使得小组交流更有针对性，有利于集体反馈时有共同的话题。

教师展示上面三种方法后，谈话提出小组交流的任务：

1.说一说三种方法有哪些相同的地方。

2.有哪些不同的地方？它们各自的运算依据是什么？

3.你认为哪一种方法最好？为什么？

之所以选择这三个典型例子展开讨论，是因为这三个例子既体现了数学思维的层层递进关系，同时也可以根据计算结果达成相互验证的作用。通过小组交流，主要的目的是以此为例子，进一步反思提炼，概括出更为一般的规律。

（三）进行集体汇报

集体汇报是展示小组交流成果、优化数学思考的重要环节。汇报时以小组为单位进行，汇报者要表达小组的讨论结果。一般地，小组汇报后，教师不做即时评价，让别的小组有更加自由的表达空间，最后教师对各个小组的汇报做必要的点评与提炼。这节课中，在小组交流时教师提出了三个讨论任务，学生可以围绕这三个方面进行汇报。

小组1：我们通过讨论后认为，这三种方法都是对的，它们的列式相同，计算结果也一样。不同的地方是第一种方法是从左往右按（运算）顺序算的；第二种方法我们组认为是凑成整数的先相加，依据是加法的交换律与结合律；第三种方法是因为（四个加数的）整数部分都是8，“4×8”就是4个8相加，后面做的方法实际上与第二种方法是一样的。我们组6位同学中有2位同学用第一种方法，4位同学用第2种方法，没有同学用第3种方法。我们讨论后认为是第2种方法较好，少数服从多数。

小组2：我们组同意前一组说的意见，但不同意他们说的少数服从多数。我们认为第2种方法的优点是凑成整数计算起来比第一种方法简便，所以还是第二种方法好。

小组3：我们组对第3个问题有不同的意见，我们认为最简便的方法应该是第3种，因为它在做整数部分的时候用了乘法，比原来的加法简便。

学生在小组汇报时，并不是一定要求每一个小组完整地汇报，除第一个组外，其余各个组只有当与前面组的汇报内容不同时，才需要汇报，这样促使每一个组都要认真地聆听前面各个组的汇报内容，理清哪些是与自己组交流讨论的内容相同的，哪些内容其他组还没有想到，可以进行集体汇报。

学生集体汇报时，教师作为聆听者、欣赏者参与其中。当各个组汇报结束后，教师可以根据汇报情况，进行点评总结：刚才有3个小组汇报了自己组的讨论内容，都汇报得很好，我赞同第2组的观点，第2种计算方法比较简便。当然第3组的观点也有道理，这道题目的整数部分相同，所以整数部分先相加，并且用乘法算，这样的想法也很好，我们班级傅钲楠就想到了这种方法，我们用掌声感谢他为我们提供了一种很好的想法（学生鼓掌）。我们在第三单元学习了加法交换律与结合律，当时我们做的计算题中的数都是整数（教师课件出示教材第28至30页的内容，引导学生回顾），这道题目中出的是小数，看来加法交换律和结合律在小数加法中同样也适合（板书： 加法运算定律→小数）。

三、分层练习，提升规律的应用能力

提升规律的应用能力，需要教师设计有层次的练习，通过基本练习巩固规律，通过变式练习深化规律，通过综合练习活用规律。在有层次的练习中，不断地完善与丰富对规律的认识，挖掘规律的应用空间。

（一）基本练习中再次推广

规律的应用包括两个方面，一是对总结出的规律的直接应用，二是对总结规律过程的进一步迁移，加法运算定律在小数加法的推广，自然地有减法性质在小数减法中的推广。

总之，“预学后教”策略下的“规律推广类”课的教学，教师只要有相应的学习材料，让学生根据已有知识基础尝试解决，形成多元的解决问题的思路，再通过分析比较，发现规律的生长点与变化处，自觉地丰富与拓展规律的应用范围。当然，预学的时间安排可以根据实际情况进行合理的调整。

（浙江省湘湖师范附属小学 311201）endprint

运算定律与性质是计算教学中的一个特殊的学习内容，是四则运算的“等价变化”规律，一般在整数四则运算中探究相应的定律与性质，在小数、分数四则运算中进行推广。运算定律与性质是四则运算中客观存在的规律，而在简便运算时体现了它的价值，因此，由整数四则运算中获得的运算定律与性质、形成的简算意识，在小数四则运算中是否能够自觉灵活地应用，是检测学生的数感和运算能力的重要指标。下面以“整数加、减法运算定律推广到小数”的教学为例，阐述“规律推广类”课的“预学后教”策略下的课堂教学样式。

一、课内预学，促进学生的迁移能力

一般地，教材在把整数运算定律与性质推广到小数、分数四则运算的编排中，都会出示一组小数或分数四则运算定律或性质的“等价变换”的题目，通过计算结果相等，推导出“整数的运算定律（或性质）在小数（或分数）四则运算中也适用”。如下图，是人教版五年级上册“乘法运算定律推广到小数”的教材编排。在此基础上再提出“利用乘法运算定律可以使一些计算简便”，并出示例8：0.25×4.78×4和0.65×201。

这样的编排，人为地把乘法运算定律分为“整数乘法运算定律”“小数乘法运算定律”和“分数乘法运算定律”，实际上，在整数乘法教学时推导乘法运算定律时，并没有专门指出它只适合于整数乘法，学生完全可以随着数系的扩展，自觉地拓展运算定律的应用。

基于这样的思考，笔者在教学四年级下册“整数加法运算定律推广到小数”时，没有刻意地让学生从整数加法的“等价变换”中得出“整数加法运算定律在小数加法中也适用”这个结论，然后再学习小数加法中的简便计算，而是直接安排一个“预学”活动，结合具体情境，在解答的过程中，自觉进行简便运算，并说明理由。对此，笔者依据教材的例题，设计了如下的“预学单”。

“整数加法运算定律推广到小数”预学单

同学们，前几节课我们学习了“小数的加、减法”和“小数加、减混合运算”，它们的计算方法与运算顺序都和整数加、减法有联系，小数加、减法中还有哪些也是和整数加、减法有联系的呢？让我们带着这样的思考开始新的学习。

一般情况下，教师为了能更清楚地知道学生的学情和自学情况，常常把预学作业安排在课前完成，然后教师收集学生的学习情况，再根据学生的“预学”情况设计教学。但是，由于本节课的预学作业相对简单，预计学生解决问题的方式相对集中，教师可以在学生完成预学作业时，通过巡视收集信息。因此，笔者把本节课的预学作业安排在课内：课始，请学生用5分钟左右的时间完成“预学单”。

二、交流反思，发现定律的通用性

独立思考，自主预学，给学生充分思考的机会。教师通过巡视，收集学生中的一些典型做法，组织学生交流，通过辨析，明晰加法运算定律的拓展应用，优化解题方法。

（一）收集典型例子

在预学的过程中，学生会有不同的解答方法。为了呈现学生的不同解答方法，笔者不是只指名让个别学生发表意见或直接小组讨论，而是在巡视的过程中收集典型例子，并把过程展示在黑板上（如下图）。

以上三种解答方法，在学生中所占的比例并不相同，用方法1的占8%左右，用方法2的占80%左右，用方法3的只有一个学生，还有10%左右的学生用事先交换好凑整的顺序列式后计算的方法。

以上数据是笔者完成本课教学后所做的统计，在实际教学中笔者只板书了上述四类情况的前三类，因为最后一类情况可以包括在第二类计算之中，最后一类虽然只有一个学生，是第二类方法的变式，作为典型例子进行比较，可以拓展全体学生的解题思路。

同时，从上面的数据统计中也可以发现，绝大部分学生已经能够在小数加法中数据可以凑整的情况下，自觉地应用加法运算定律优化计算方法，这符合《数学课程标准（2011年版）》中提出的“寻求合理简洁的运算途径解决问题”的要求。

（二）组织小组交流

教师有针对性地选择学生在预学作业中的典型例子，为接下来的小组交流提供了具体的材料，使得小组交流更有针对性，有利于集体反馈时有共同的话题。

教师展示上面三种方法后，谈话提出小组交流的任务：

1.说一说三种方法有哪些相同的地方。

2.有哪些不同的地方？它们各自的运算依据是什么？

3.你认为哪一种方法最好？为什么？

之所以选择这三个典型例子展开讨论，是因为这三个例子既体现了数学思维的层层递进关系，同时也可以根据计算结果达成相互验证的作用。通过小组交流，主要的目的是以此为例子，进一步反思提炼，概括出更为一般的规律。

（三）进行集体汇报

集体汇报是展示小组交流成果、优化数学思考的重要环节。汇报时以小组为单位进行，汇报者要表达小组的讨论结果。一般地，小组汇报后，教师不做即时评价，让别的小组有更加自由的表达空间，最后教师对各个小组的汇报做必要的点评与提炼。这节课中，在小组交流时教师提出了三个讨论任务，学生可以围绕这三个方面进行汇报。

小组1：我们通过讨论后认为，这三种方法都是对的，它们的列式相同，计算结果也一样。不同的地方是第一种方法是从左往右按（运算）顺序算的；第二种方法我们组认为是凑成整数的先相加，依据是加法的交换律与结合律；第三种方法是因为（四个加数的）整数部分都是8，“4×8”就是4个8相加，后面做的方法实际上与第二种方法是一样的。我们组6位同学中有2位同学用第一种方法，4位同学用第2种方法，没有同学用第3种方法。我们讨论后认为是第2种方法较好，少数服从多数。

小组2：我们组同意前一组说的意见，但不同意他们说的少数服从多数。我们认为第2种方法的优点是凑成整数计算起来比第一种方法简便，所以还是第二种方法好。

小组3：我们组对第3个问题有不同的意见，我们认为最简便的方法应该是第3种，因为它在做整数部分的时候用了乘法，比原来的加法简便。

学生在小组汇报时，并不是一定要求每一个小组完整地汇报，除第一个组外，其余各个组只有当与前面组的汇报内容不同时，才需要汇报，这样促使每一个组都要认真地聆听前面各个组的汇报内容，理清哪些是与自己组交流讨论的内容相同的，哪些内容其他组还没有想到，可以进行集体汇报。

学生集体汇报时，教师作为聆听者、欣赏者参与其中。当各个组汇报结束后，教师可以根据汇报情况，进行点评总结：刚才有3个小组汇报了自己组的讨论内容，都汇报得很好，我赞同第2组的观点，第2种计算方法比较简便。当然第3组的观点也有道理，这道题目的整数部分相同，所以整数部分先相加，并且用乘法算，这样的想法也很好，我们班级傅钲楠就想到了这种方法，我们用掌声感谢他为我们提供了一种很好的想法（学生鼓掌）。我们在第三单元学习了加法交换律与结合律，当时我们做的计算题中的数都是整数（教师课件出示教材第28至30页的内容，引导学生回顾），这道题目中出的是小数，看来加法交换律和结合律在小数加法中同样也适合（板书： 加法运算定律→小数）。

三、分层练习，提升规律的应用能力

提升规律的应用能力，需要教师设计有层次的练习，通过基本练习巩固规律，通过变式练习深化规律，通过综合练习活用规律。在有层次的练习中，不断地完善与丰富对规律的认识，挖掘规律的应用空间。

（一）基本练习中再次推广

规律的应用包括两个方面，一是对总结出的规律的直接应用，二是对总结规律过程的进一步迁移，加法运算定律在小数加法的推广，自然地有减法性质在小数减法中的推广。

总之，“预学后教”策略下的“规律推广类”课的教学，教师只要有相应的学习材料，让学生根据已有知识基础尝试解决，形成多元的解决问题的思路，再通过分析比较，发现规律的生长点与变化处，自觉地丰富与拓展规律的应用范围。当然，预学的时间安排可以根据实际情况进行合理的调整。

（浙江省湘湖师范附属小学 311201）endprint

运算定律与性质是计算教学中的一个特殊的学习内容，是四则运算的“等价变化”规律，一般在整数四则运算中探究相应的定律与性质，在小数、分数四则运算中进行推广。运算定律与性质是四则运算中客观存在的规律，而在简便运算时体现了它的价值，因此，由整数四则运算中获得的运算定律与性质、形成的简算意识，在小数四则运算中是否能够自觉灵活地应用，是检测学生的数感和运算能力的重要指标。下面以“整数加、减法运算定律推广到小数”的教学为例，阐述“规律推广类”课的“预学后教”策略下的课堂教学样式。

一、课内预学，促进学生的迁移能力

一般地，教材在把整数运算定律与性质推广到小数、分数四则运算的编排中，都会出示一组小数或分数四则运算定律或性质的“等价变换”的题目，通过计算结果相等，推导出“整数的运算定律（或性质）在小数（或分数）四则运算中也适用”。如下图，是人教版五年级上册“乘法运算定律推广到小数”的教材编排。在此基础上再提出“利用乘法运算定律可以使一些计算简便”，并出示例8：0.25×4.78×4和0.65×201。

这样的编排，人为地把乘法运算定律分为“整数乘法运算定律”“小数乘法运算定律”和“分数乘法运算定律”，实际上，在整数乘法教学时推导乘法运算定律时，并没有专门指出它只适合于整数乘法，学生完全可以随着数系的扩展，自觉地拓展运算定律的应用。

基于这样的思考，笔者在教学四年级下册“整数加法运算定律推广到小数”时，没有刻意地让学生从整数加法的“等价变换”中得出“整数加法运算定律在小数加法中也适用”这个结论，然后再学习小数加法中的简便计算，而是直接安排一个“预学”活动，结合具体情境，在解答的过程中，自觉进行简便运算，并说明理由。对此，笔者依据教材的例题，设计了如下的“预学单”。

“整数加法运算定律推广到小数”预学单

同学们，前几节课我们学习了“小数的加、减法”和“小数加、减混合运算”，它们的计算方法与运算顺序都和整数加、减法有联系，小数加、减法中还有哪些也是和整数加、减法有联系的呢？让我们带着这样的思考开始新的学习。

一般情况下，教师为了能更清楚地知道学生的学情和自学情况，常常把预学作业安排在课前完成，然后教师收集学生的学习情况，再根据学生的“预学”情况设计教学。但是，由于本节课的预学作业相对简单，预计学生解决问题的方式相对集中，教师可以在学生完成预学作业时，通过巡视收集信息。因此，笔者把本节课的预学作业安排在课内：课始，请学生用5分钟左右的时间完成“预学单”。

二、交流反思，发现定律的通用性

独立思考，自主预学，给学生充分思考的机会。教师通过巡视，收集学生中的一些典型做法，组织学生交流，通过辨析，明晰加法运算定律的拓展应用，优化解题方法。

（一）收集典型例子

在预学的过程中，学生会有不同的解答方法。为了呈现学生的不同解答方法，笔者不是只指名让个别学生发表意见或直接小组讨论，而是在巡视的过程中收集典型例子，并把过程展示在黑板上（如下图）。

以上三种解答方法，在学生中所占的比例并不相同，用方法1的占8%左右，用方法2的占80%左右，用方法3的只有一个学生，还有10%左右的学生用事先交换好凑整的顺序列式后计算的方法。

以上数据是笔者完成本课教学后所做的统计，在实际教学中笔者只板书了上述四类情况的前三类，因为最后一类情况可以包括在第二类计算之中，最后一类虽然只有一个学生，是第二类方法的变式，作为典型例子进行比较，可以拓展全体学生的解题思路。

同时，从上面的数据统计中也可以发现，绝大部分学生已经能够在小数加法中数据可以凑整的情况下，自觉地应用加法运算定律优化计算方法，这符合《数学课程标准（2011年版）》中提出的“寻求合理简洁的运算途径解决问题”的要求。

（二）组织小组交流

教师有针对性地选择学生在预学作业中的典型例子，为接下来的小组交流提供了具体的材料，使得小组交流更有针对性，有利于集体反馈时有共同的话题。

教师展示上面三种方法后，谈话提出小组交流的任务：

1.说一说三种方法有哪些相同的地方。

2.有哪些不同的地方？它们各自的运算依据是什么？

3.你认为哪一种方法最好？为什么？

之所以选择这三个典型例子展开讨论，是因为这三个例子既体现了数学思维的层层递进关系，同时也可以根据计算结果达成相互验证的作用。通过小组交流，主要的目的是以此为例子，进一步反思提炼，概括出更为一般的规律。

（三）进行集体汇报

集体汇报是展示小组交流成果、优化数学思考的重要环节。汇报时以小组为单位进行，汇报者要表达小组的讨论结果。一般地，小组汇报后，教师不做即时评价，让别的小组有更加自由的表达空间，最后教师对各个小组的汇报做必要的点评与提炼。这节课中，在小组交流时教师提出了三个讨论任务，学生可以围绕这三个方面进行汇报。

小组1：我们通过讨论后认为，这三种方法都是对的，它们的列式相同，计算结果也一样。不同的地方是第一种方法是从左往右按（运算）顺序算的；第二种方法我们组认为是凑成整数的先相加，依据是加法的交换律与结合律；第三种方法是因为（四个加数的）整数部分都是8，“4×8”就是4个8相加，后面做的方法实际上与第二种方法是一样的。我们组6位同学中有2位同学用第一种方法，4位同学用第2种方法，没有同学用第3种方法。我们讨论后认为是第2种方法较好，少数服从多数。

小组2：我们组同意前一组说的意见，但不同意他们说的少数服从多数。我们认为第2种方法的优点是凑成整数计算起来比第一种方法简便，所以还是第二种方法好。

小组3：我们组对第3个问题有不同的意见，我们认为最简便的方法应该是第3种，因为它在做整数部分的时候用了乘法，比原来的加法简便。

学生在小组汇报时，并不是一定要求每一个小组完整地汇报，除第一个组外，其余各个组只有当与前面组的汇报内容不同时，才需要汇报，这样促使每一个组都要认真地聆听前面各个组的汇报内容，理清哪些是与自己组交流讨论的内容相同的，哪些内容其他组还没有想到，可以进行集体汇报。

学生集体汇报时，教师作为聆听者、欣赏者参与其中。当各个组汇报结束后，教师可以根据汇报情况，进行点评总结：刚才有3个小组汇报了自己组的讨论内容，都汇报得很好，我赞同第2组的观点，第2种计算方法比较简便。当然第3组的观点也有道理，这道题目的整数部分相同，所以整数部分先相加，并且用乘法算，这样的想法也很好，我们班级傅钲楠就想到了这种方法，我们用掌声感谢他为我们提供了一种很好的想法（学生鼓掌）。我们在第三单元学习了加法交换律与结合律，当时我们做的计算题中的数都是整数（教师课件出示教材第28至30页的内容，引导学生回顾），这道题目中出的是小数，看来加法交换律和结合律在小数加法中同样也适合（板书： 加法运算定律→小数）。

三、分层练习，提升规律的应用能力

提升规律的应用能力，需要教师设计有层次的练习，通过基本练习巩固规律，通过变式练习深化规律，通过综合练习活用规律。在有层次的练习中，不断地完善与丰富对规律的认识，挖掘规律的应用空间。

（一）基本练习中再次推广

规律的应用包括两个方面，一是对总结出的规律的直接应用，二是对总结规律过程的进一步迁移，加法运算定律在小数加法的推广，自然地有减法性质在小数减法中的推广。

总之，“预学后教”策略下的“规律推广类”课的教学，教师只要有相应的学习材料，让学生根据已有知识基础尝试解决，形成多元的解决问题的思路，再通过分析比较，发现规律的生长点与变化处，自觉地丰富与拓展规律的应用范围。当然，预学的时间安排可以根据实际情况进行合理的调整。

（浙江省湘湖师范附属小学 311201）endprint