谈二次根式学习中的几个重点问题

董喜源

〔关键词〕 数学教学；二次根式；重点问题

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）06—0090—01

二次根式是初中代数中的重要内容，其中蕴含着丰富的数学思想方法，应当引起我们足够的重视.本文以近几年的竞赛题为例，谈谈二次根式学习中的几个重点问题.

一、算术平方根

在二次根式中，要使得根式有意义，就隐含两层含义， 即算数平方根的双重非负性.

1.本身非负

例1 已知实数x、y满足■+（y+1）2=0，则x-y等于（ ）

A . 3 B.-3 C. 1 D.-1

分析： 对于■和（y+1）2而言，两个都是非负数.

即： ■≥0，（y+1）2≥0，

又∵■+（y+1）2=0，

∴■=0且（y+1）2=0，

∴x-2=0且y+1=0.

∴x=2且y=-1，∴x-y=3 故选A.

2.被开方数非负

例2 在函数y=■中，自变量x的取值范围是

分析： 要使原函数有意义，需要满足：①被开方数非负；②分式的分母不为零.两式的公共解即为本题的答案.

即x-1≥0x-2≠0 解得：x≥1且x≠2.

二、 对于■和（■）2的理解与应用

1.■=a （a为全体实数）

例3 已知-1

分析： ∵-1

∴a-b<0

∴■=a-b=-（a-b）=b-a.

2.■2=a （a≥0）.

例4 若■2=3x-2，则x= .

分析： 根据■2=a可得：

2x-1≥02x-1=3x-2 解得：x≥■，x=1.

∴x=1.

三、有关根式的比较

在中学数学的学习中，遇到实数大小比较的题目比较多，但比较的方法主要归纳为以下几种：因式内移法、作商比较法、倒数法、分母有理化、平方法、作差比较法（此法比较简单，此处不列举实例说明）.

作商比较法

原理：若a>0，b>0且■≥1，则a≥b；

若a<0，b<0且■≤1，则a≤b.

例5 比较4-■和 2+■的大小.

解： ∵■ =（4-■）（2-■）=11-6■<1，

∴4-■<2+■.

倒数法

原理：已知a>0，b>0.若■≥■，则a≤b；

若■≤■，则a≥b.

例6 比较2■-■和■-2的大小.

解： ∵■=■，■=■.

又∵■>■，

即■>■.

又∵2■-■>0，■-2>0，

∴2■-■<■-2.

分母有理化

例7 比较■和■的大小.

解： ∵■=■，

■=■.

又∵■>■，∴■>■.

编辑：谢颖丽

〔关键词〕 数学教学；二次根式；重点问题

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）06—0090—01

二次根式是初中代数中的重要内容，其中蕴含着丰富的数学思想方法，应当引起我们足够的重视.本文以近几年的竞赛题为例，谈谈二次根式学习中的几个重点问题.

一、算术平方根

在二次根式中，要使得根式有意义，就隐含两层含义， 即算数平方根的双重非负性.

1.本身非负

例1 已知实数x、y满足■+（y+1）2=0，则x-y等于（ ）

A . 3 B.-3 C. 1 D.-1

分析： 对于■和（y+1）2而言，两个都是非负数.

即： ■≥0，（y+1）2≥0，

又∵■+（y+1）2=0，

∴■=0且（y+1）2=0，

∴x-2=0且y+1=0.

∴x=2且y=-1，∴x-y=3 故选A.

2.被开方数非负

例2 在函数y=■中，自变量x的取值范围是

分析： 要使原函数有意义，需要满足：①被开方数非负；②分式的分母不为零.两式的公共解即为本题的答案.

即x-1≥0x-2≠0 解得：x≥1且x≠2.

二、 对于■和（■）2的理解与应用

1.■=a （a为全体实数）

例3 已知-1

分析： ∵-1

∴a-b<0

∴■=a-b=-（a-b）=b-a.

2.■2=a （a≥0）.

例4 若■2=3x-2，则x= .

分析： 根据■2=a可得：

2x-1≥02x-1=3x-2 解得：x≥■，x=1.

∴x=1.

三、有关根式的比较

在中学数学的学习中，遇到实数大小比较的题目比较多，但比较的方法主要归纳为以下几种：因式内移法、作商比较法、倒数法、分母有理化、平方法、作差比较法（此法比较简单，此处不列举实例说明）.

作商比较法

原理：若a>0，b>0且■≥1，则a≥b；

若a<0，b<0且■≤1，则a≤b.

例5 比较4-■和 2+■的大小.

解： ∵■ =（4-■）（2-■）=11-6■<1，

∴4-■<2+■.

倒数法

原理：已知a>0，b>0.若■≥■，则a≤b；

若■≤■，则a≥b.

例6 比较2■-■和■-2的大小.

解： ∵■=■，■=■.

又∵■>■，

即■>■.

又∵2■-■>0，■-2>0，

∴2■-■<■-2.

分母有理化

例7 比较■和■的大小.

解： ∵■=■，

■=■.

又∵■>■，∴■>■.

编辑：谢颖丽

〔关键词〕 数学教学；二次根式；重点问题

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）06—0090—01

二次根式是初中代数中的重要内容，其中蕴含着丰富的数学思想方法，应当引起我们足够的重视.本文以近几年的竞赛题为例，谈谈二次根式学习中的几个重点问题.

一、算术平方根

在二次根式中，要使得根式有意义，就隐含两层含义， 即算数平方根的双重非负性.

1.本身非负

例1 已知实数x、y满足■+（y+1）2=0，则x-y等于（ ）

A . 3 B.-3 C. 1 D.-1

分析： 对于■和（y+1）2而言，两个都是非负数.

即： ■≥0，（y+1）2≥0，

又∵■+（y+1）2=0，

∴■=0且（y+1）2=0，

∴x-2=0且y+1=0.

∴x=2且y=-1，∴x-y=3 故选A.

2.被开方数非负

例2 在函数y=■中，自变量x的取值范围是

分析： 要使原函数有意义，需要满足：①被开方数非负；②分式的分母不为零.两式的公共解即为本题的答案.

即x-1≥0x-2≠0 解得：x≥1且x≠2.

二、 对于■和（■）2的理解与应用

1.■=a （a为全体实数）

例3 已知-1

分析： ∵-1

∴a-b<0

∴■=a-b=-（a-b）=b-a.

2.■2=a （a≥0）.

例4 若■2=3x-2，则x= .

分析： 根据■2=a可得：

2x-1≥02x-1=3x-2 解得：x≥■，x=1.

∴x=1.

三、有关根式的比较

在中学数学的学习中，遇到实数大小比较的题目比较多，但比较的方法主要归纳为以下几种：因式内移法、作商比较法、倒数法、分母有理化、平方法、作差比较法（此法比较简单，此处不列举实例说明）.

作商比较法

原理：若a>0，b>0且■≥1，则a≥b；

若a<0，b<0且■≤1，则a≤b.

例5 比较4-■和 2+■的大小.

解： ∵■ =（4-■）（2-■）=11-6■<1，

∴4-■<2+■.

倒数法

原理：已知a>0，b>0.若■≥■，则a≤b；

若■≤■，则a≥b.

例6 比较2■-■和■-2的大小.

解： ∵■=■，■=■.

又∵■>■，

即■>■.

又∵2■-■>0，■-2>0，

∴2■-■<■-2.

分母有理化

例7 比较■和■的大小.

解： ∵■=■，

■=■.

又∵■>■，∴■>■.

编辑：谢颖丽