两种图像在摩擦力教学中的应用

黎中明

摩擦力是物理教学中的重点与难点，不少高三学生对运动过程分析处理能力较差，究其原因，摩擦力分析不当是其中之一。一方面是学生无法判断其属于静摩擦力还是滑动摩擦力，另一方面是无法确定摩擦力的方向。教师可在教学过程中用f-t图像结合v-t图像，把更多的抽象思维转化为形象思维，培养学生用图像分析问题的能力，这样不仅能帮助学生分析、理解问题，也能展示学生的思维过程，有助于教师进行针对性的教学。

一、水平面上的问题分析

【例1】（2013·安徽）一物体放在水平地面上，如图1所示，已知物体所受水平拉力F随时间t的变化情况如图2所示，物体相应的速度v随时间t的变化关系如图3所示。求：

（1）0～8s时间内拉力的冲量；

（2）0～6s时间内物体的位移；

（3）0～10s时间内，物体克服摩擦力所做的功。

解析：本题虽考查的知识面较广，但相对比较基础，也是进行摩擦力教学的典型题，此时涉及静摩擦力、滑动摩擦力，对方向要求相对较低。

图4由图3分析可以得出，0～2s物体处于静止状态，2～6s内物体处于匀加速直线运动状态，6～8s内物体处于匀速直线运动状态，8～10s内物体处于匀减速直线运动状态。比较分析得出0～2s时间段内，摩擦力属于静摩擦力，方向与拉力F方向相反，大小与F相同，2～10s属于滑动摩擦力，方向与相对运动方向相反，大小结合图2可知为2N，即如图4所示。

通过图示，学生能较直观地分析出物体各阶段所受合外力情况，问题（3）也就能更直观地得以解答：

W=-fs=-112×[（8-6）+（10-2）]×3×（10-8）=-30（J）。

图5【例2】（2013·全国Ⅱ）一长木板在水平地面上运动，在t=0时刻将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，以后木板运动的速度-时间图像如图5所示。已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦。物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。取重力加速度的大小g=10m/s2求：

（1）物块与木板间，木板与地面间的动摩擦因数。

（2）从t=0时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移大小。

图6解析：（1）由题意结合木板速度与时间图像可以得出，木板受木块与地面所给的两个摩擦力，且两者均为滑动摩擦力，即可以得出：

木块对木板的摩擦力：f1=μ1mg

地面对木板的摩擦力：f2=μ2mg（关键是分析正压力的大小）

在0.5s内，在两个力的作用下木板做匀减速直线运动，能得出：

a1=5-110.5=8（m/s2），a2=110.5=2（m/s2）（假设a1、a2分别表示木板与木块前0.5s内两者的加速度大小）

如果用m表示两者各自的质量，不难分析出：

μ1=0.2，μ2=0.3

图7问题2的关键是木块与木板到底如何运动，为此，需要考虑摩擦力是静摩擦力，还是滑动摩擦力，如果是静摩擦力则有两者相对静止，则两物体成为整体，反之则有相对运动。

从简单入手先考虑两者相对静止（a′1=a′2），则整体摩擦力所产生加速度a′1=μ2g。

f=μ1mg=ma′1比较分析得知，两者存在着相对运动。

由此可得f-t图像如图7所示。

图8由上图可得f1只是改变了方向，大小未变，即v-t图像中木块速度以0.5为分界线左右对称。这样一来

v=1m/s=a′2t=f2-f11mt，则t=0.25s

即木板停下来时为T=0.75s，如图8所示。

两者的位移差，即木板的位移减去木块的位移。得出答案为1.125m。

点评：本例问题（1）相对较为简单，学生在分析摩擦力时也较为方便，但问题（2）对摩擦力的分析往往不知如何下手，通过f-t图像的分析，使学生积极主动地分析它的大小与方向，一旦展示，学生就把思维的过程用图像表达，自我分析、自我检查过程也随之而来，建模过程也正式成功，问题（2）的v-t图像也水到渠成，学生对摩擦力与整个过程的理解也更为深刻。

二、斜面上的问题分析

图9【例3】长直木板的上表面的一端放置一个铁块，木板放置在水平面上，将放置铁块的一端由水平位置缓慢地向上抬起，木板另一端相对水平面的位置保持不变，如图9所示。铁块受到的摩擦力f随木板倾角α变化的图线可能正确的是图10中的（设最大静摩擦力的大小等于滑动摩擦力大小）（）。

图10图11解析：本题首先要考虑的是静摩擦力，还是滑动摩擦力。当倾角α比较小时，mgsinθ小于μmgcosθ，故有f=mgsinθ，随着夹角增大，mgsinθ大于μmgcosθ，产生滑动摩擦力，即此时f=μmgcosθ，也就是说前半段是正弦图像，后半部分是余弦图像，但方向一直不变，如图11，故答案为C。v-t图像上，速度不断增加，铁块做变速直线运动。

点评：滑动摩擦力在斜面上时对F、N的分析，要求比较高，尤其是多物体时，要明确研究对象，用图像分析时多融合数学知识。

三、传送带上物体的分析

【例4】如图12所示，传送带与地面倾角θ=37°，从A→B长度为16m，传送带以10m/s的速率转动。在传送带上端A无初速度地放上一个质量为0.5kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为0.5，求物体从A运动到B所需时间。（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

图12解析：（1）若传送带逆时针转动，沿传送带向下方向为正方向，则物体放到传送带上后，开始的阶段，由于传送带的速度大于物体的速度，传送带给物体一沿传送带向下的滑动摩擦力，滑动摩擦力作为动力之一，大小为μmgcosθ，之后速度不断增大。当物体速度大于传送带速度时，摩擦力方向改变，如果μmgcosθ

图13图14

其中，t1代表与传送带具有相同速度的时刻，t2代表到达B点的时刻，这样问题的分析已经比较明确了，关键是求解两段的加速度，而关联因素是传送带的速度。

第一段：mgsinθ+μmgcosθ=ma1

a1=10×（0.6+0.5×0.8）m/s2=10m/s2

v=a1t1t1=10/10=1（s）

s1=112a1t1=5（m）

第二段：mgsinθ-μmgcosθ=ma2，a2=2m/s2

s2=16-s1=v1（t2-t1）+112a2（t2-t1）2

t2=2（s）

故从A到B物体运动了2s。

（2）若传送带顺时针方向转动，摩擦力向上方向，则必然需μ

摩擦力是物理教学中的重点与难点，不少高三学生对运动过程分析处理能力较差，究其原因，摩擦力分析不当是其中之一。一方面是学生无法判断其属于静摩擦力还是滑动摩擦力，另一方面是无法确定摩擦力的方向。教师可在教学过程中用f-t图像结合v-t图像，把更多的抽象思维转化为形象思维，培养学生用图像分析问题的能力，这样不仅能帮助学生分析、理解问题，也能展示学生的思维过程，有助于教师进行针对性的教学。

一、水平面上的问题分析

【例1】（2013·安徽）一物体放在水平地面上，如图1所示，已知物体所受水平拉力F随时间t的变化情况如图2所示，物体相应的速度v随时间t的变化关系如图3所示。求：

（1）0～8s时间内拉力的冲量；

（2）0～6s时间内物体的位移；

（3）0～10s时间内，物体克服摩擦力所做的功。

解析：本题虽考查的知识面较广，但相对比较基础，也是进行摩擦力教学的典型题，此时涉及静摩擦力、滑动摩擦力，对方向要求相对较低。

图4由图3分析可以得出，0～2s物体处于静止状态，2～6s内物体处于匀加速直线运动状态，6～8s内物体处于匀速直线运动状态，8～10s内物体处于匀减速直线运动状态。比较分析得出0～2s时间段内，摩擦力属于静摩擦力，方向与拉力F方向相反，大小与F相同，2～10s属于滑动摩擦力，方向与相对运动方向相反，大小结合图2可知为2N，即如图4所示。

通过图示，学生能较直观地分析出物体各阶段所受合外力情况，问题（3）也就能更直观地得以解答：

W=-fs=-112×[（8-6）+（10-2）]×3×（10-8）=-30（J）。

图5【例2】（2013·全国Ⅱ）一长木板在水平地面上运动，在t=0时刻将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，以后木板运动的速度-时间图像如图5所示。已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦。物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。取重力加速度的大小g=10m/s2求：

（1）物块与木板间，木板与地面间的动摩擦因数。

（2）从t=0时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移大小。

图6解析：（1）由题意结合木板速度与时间图像可以得出，木板受木块与地面所给的两个摩擦力，且两者均为滑动摩擦力，即可以得出：

木块对木板的摩擦力：f1=μ1mg

地面对木板的摩擦力：f2=μ2mg（关键是分析正压力的大小）

在0.5s内，在两个力的作用下木板做匀减速直线运动，能得出：

a1=5-110.5=8（m/s2），a2=110.5=2（m/s2）（假设a1、a2分别表示木板与木块前0.5s内两者的加速度大小）

如果用m表示两者各自的质量，不难分析出：

μ1=0.2，μ2=0.3

图7问题2的关键是木块与木板到底如何运动，为此，需要考虑摩擦力是静摩擦力，还是滑动摩擦力，如果是静摩擦力则有两者相对静止，则两物体成为整体，反之则有相对运动。

从简单入手先考虑两者相对静止（a′1=a′2），则整体摩擦力所产生加速度a′1=μ2g。

f=μ1mg=ma′1比较分析得知，两者存在着相对运动。

由此可得f-t图像如图7所示。

图8由上图可得f1只是改变了方向，大小未变，即v-t图像中木块速度以0.5为分界线左右对称。这样一来

v=1m/s=a′2t=f2-f11mt，则t=0.25s

即木板停下来时为T=0.75s，如图8所示。

两者的位移差，即木板的位移减去木块的位移。得出答案为1.125m。

点评：本例问题（1）相对较为简单，学生在分析摩擦力时也较为方便，但问题（2）对摩擦力的分析往往不知如何下手，通过f-t图像的分析，使学生积极主动地分析它的大小与方向，一旦展示，学生就把思维的过程用图像表达，自我分析、自我检查过程也随之而来，建模过程也正式成功，问题（2）的v-t图像也水到渠成，学生对摩擦力与整个过程的理解也更为深刻。

二、斜面上的问题分析

图9【例3】长直木板的上表面的一端放置一个铁块，木板放置在水平面上，将放置铁块的一端由水平位置缓慢地向上抬起，木板另一端相对水平面的位置保持不变，如图9所示。铁块受到的摩擦力f随木板倾角α变化的图线可能正确的是图10中的（设最大静摩擦力的大小等于滑动摩擦力大小）（）。

图10图11解析：本题首先要考虑的是静摩擦力，还是滑动摩擦力。当倾角α比较小时，mgsinθ小于μmgcosθ，故有f=mgsinθ，随着夹角增大，mgsinθ大于μmgcosθ，产生滑动摩擦力，即此时f=μmgcosθ，也就是说前半段是正弦图像，后半部分是余弦图像，但方向一直不变，如图11，故答案为C。v-t图像上，速度不断增加，铁块做变速直线运动。

点评：滑动摩擦力在斜面上时对F、N的分析，要求比较高，尤其是多物体时，要明确研究对象，用图像分析时多融合数学知识。

三、传送带上物体的分析

【例4】如图12所示，传送带与地面倾角θ=37°，从A→B长度为16m，传送带以10m/s的速率转动。在传送带上端A无初速度地放上一个质量为0.5kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为0.5，求物体从A运动到B所需时间。（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

图12解析：（1）若传送带逆时针转动，沿传送带向下方向为正方向，则物体放到传送带上后，开始的阶段，由于传送带的速度大于物体的速度，传送带给物体一沿传送带向下的滑动摩擦力，滑动摩擦力作为动力之一，大小为μmgcosθ，之后速度不断增大。当物体速度大于传送带速度时，摩擦力方向改变，如果μmgcosθ

图13图14

其中，t1代表与传送带具有相同速度的时刻，t2代表到达B点的时刻，这样问题的分析已经比较明确了，关键是求解两段的加速度，而关联因素是传送带的速度。

第一段：mgsinθ+μmgcosθ=ma1

a1=10×（0.6+0.5×0.8）m/s2=10m/s2

v=a1t1t1=10/10=1（s）

s1=112a1t1=5（m）

第二段：mgsinθ-μmgcosθ=ma2，a2=2m/s2

s2=16-s1=v1（t2-t1）+112a2（t2-t1）2

t2=2（s）

故从A到B物体运动了2s。

（2）若传送带顺时针方向转动，摩擦力向上方向，则必然需μ

摩擦力是物理教学中的重点与难点，不少高三学生对运动过程分析处理能力较差，究其原因，摩擦力分析不当是其中之一。一方面是学生无法判断其属于静摩擦力还是滑动摩擦力，另一方面是无法确定摩擦力的方向。教师可在教学过程中用f-t图像结合v-t图像，把更多的抽象思维转化为形象思维，培养学生用图像分析问题的能力，这样不仅能帮助学生分析、理解问题，也能展示学生的思维过程，有助于教师进行针对性的教学。

一、水平面上的问题分析

【例1】（2013·安徽）一物体放在水平地面上，如图1所示，已知物体所受水平拉力F随时间t的变化情况如图2所示，物体相应的速度v随时间t的变化关系如图3所示。求：

（1）0～8s时间内拉力的冲量；

（2）0～6s时间内物体的位移；

（3）0～10s时间内，物体克服摩擦力所做的功。

解析：本题虽考查的知识面较广，但相对比较基础，也是进行摩擦力教学的典型题，此时涉及静摩擦力、滑动摩擦力，对方向要求相对较低。

图4由图3分析可以得出，0～2s物体处于静止状态，2～6s内物体处于匀加速直线运动状态，6～8s内物体处于匀速直线运动状态，8～10s内物体处于匀减速直线运动状态。比较分析得出0～2s时间段内，摩擦力属于静摩擦力，方向与拉力F方向相反，大小与F相同，2～10s属于滑动摩擦力，方向与相对运动方向相反，大小结合图2可知为2N，即如图4所示。

通过图示，学生能较直观地分析出物体各阶段所受合外力情况，问题（3）也就能更直观地得以解答：

W=-fs=-112×[（8-6）+（10-2）]×3×（10-8）=-30（J）。

图5【例2】（2013·全国Ⅱ）一长木板在水平地面上运动，在t=0时刻将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，以后木板运动的速度-时间图像如图5所示。已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦。物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。取重力加速度的大小g=10m/s2求：

（1）物块与木板间，木板与地面间的动摩擦因数。

（2）从t=0时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移大小。

图6解析：（1）由题意结合木板速度与时间图像可以得出，木板受木块与地面所给的两个摩擦力，且两者均为滑动摩擦力，即可以得出：

木块对木板的摩擦力：f1=μ1mg

地面对木板的摩擦力：f2=μ2mg（关键是分析正压力的大小）

在0.5s内，在两个力的作用下木板做匀减速直线运动，能得出：

a1=5-110.5=8（m/s2），a2=110.5=2（m/s2）（假设a1、a2分别表示木板与木块前0.5s内两者的加速度大小）

如果用m表示两者各自的质量，不难分析出：

μ1=0.2，μ2=0.3

图7问题2的关键是木块与木板到底如何运动，为此，需要考虑摩擦力是静摩擦力，还是滑动摩擦力，如果是静摩擦力则有两者相对静止，则两物体成为整体，反之则有相对运动。

从简单入手先考虑两者相对静止（a′1=a′2），则整体摩擦力所产生加速度a′1=μ2g。

f=μ1mg=ma′1比较分析得知，两者存在着相对运动。

由此可得f-t图像如图7所示。

图8由上图可得f1只是改变了方向，大小未变，即v-t图像中木块速度以0.5为分界线左右对称。这样一来

v=1m/s=a′2t=f2-f11mt，则t=0.25s

即木板停下来时为T=0.75s，如图8所示。

两者的位移差，即木板的位移减去木块的位移。得出答案为1.125m。

点评：本例问题（1）相对较为简单，学生在分析摩擦力时也较为方便，但问题（2）对摩擦力的分析往往不知如何下手，通过f-t图像的分析，使学生积极主动地分析它的大小与方向，一旦展示，学生就把思维的过程用图像表达，自我分析、自我检查过程也随之而来，建模过程也正式成功，问题（2）的v-t图像也水到渠成，学生对摩擦力与整个过程的理解也更为深刻。

二、斜面上的问题分析

图9【例3】长直木板的上表面的一端放置一个铁块，木板放置在水平面上，将放置铁块的一端由水平位置缓慢地向上抬起，木板另一端相对水平面的位置保持不变，如图9所示。铁块受到的摩擦力f随木板倾角α变化的图线可能正确的是图10中的（设最大静摩擦力的大小等于滑动摩擦力大小）（）。

图10图11解析：本题首先要考虑的是静摩擦力，还是滑动摩擦力。当倾角α比较小时，mgsinθ小于μmgcosθ，故有f=mgsinθ，随着夹角增大，mgsinθ大于μmgcosθ，产生滑动摩擦力，即此时f=μmgcosθ，也就是说前半段是正弦图像，后半部分是余弦图像，但方向一直不变，如图11，故答案为C。v-t图像上，速度不断增加，铁块做变速直线运动。

点评：滑动摩擦力在斜面上时对F、N的分析，要求比较高，尤其是多物体时，要明确研究对象，用图像分析时多融合数学知识。

三、传送带上物体的分析

【例4】如图12所示，传送带与地面倾角θ=37°，从A→B长度为16m，传送带以10m/s的速率转动。在传送带上端A无初速度地放上一个质量为0.5kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为0.5，求物体从A运动到B所需时间。（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

图12解析：（1）若传送带逆时针转动，沿传送带向下方向为正方向，则物体放到传送带上后，开始的阶段，由于传送带的速度大于物体的速度，传送带给物体一沿传送带向下的滑动摩擦力，滑动摩擦力作为动力之一，大小为μmgcosθ，之后速度不断增大。当物体速度大于传送带速度时，摩擦力方向改变，如果μmgcosθ

图13图14

其中，t1代表与传送带具有相同速度的时刻，t2代表到达B点的时刻，这样问题的分析已经比较明确了，关键是求解两段的加速度，而关联因素是传送带的速度。

第一段：mgsinθ+μmgcosθ=ma1

a1=10×（0.6+0.5×0.8）m/s2=10m/s2

v=a1t1t1=10/10=1（s）

s1=112a1t1=5（m）

第二段：mgsinθ-μmgcosθ=ma2，a2=2m/s2

s2=16-s1=v1（t2-t1）+112a2（t2-t1）2

t2=2（s）

故从A到B物体运动了2s。

（2）若传送带顺时针方向转动，摩擦力向上方向，则必然需μ