导数能让参数问题迎刃而解

王吉全

导数，作为解决与高次函数有关问题的一种工具，有着无可比拟的优越性，越来越受到各省命题专家的“青睐”.导数的应用是高中数学的新增知识点，它是研究函数性质的先进工具，特别是使用导数的简单求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等，关键是建立恰当的数学模型（函数关系）.如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值.甚至可以说导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具.

对众多的导数应用中，围绕高考的命题特点，我谈谈应用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略，与大家共勉.

一、分离变量法

解决问题的关键：是通过将两个变量构成的不等式（方程）变形到不等号（等号）两端，使两端变量各自相同，解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题，我们有不同的理论依据可以遵循.以下结论均为已知x的范围，求a的范围.

结论一：不等式f（x）≥g（a）恒成立？圳[f（x）]■≥g（a）（求解f（x）的最小值）；不等式f（x）≤g（a）恒成立？圳[f（x）]■≤g（a）（求解f（x）的最大值）.

结论二：不等式f（x）≥g（a）存在解？圳[f（x）]■≥g（a）（求解的最大值）；不等式f（x）≤g（a）恒成立？圳[f（x）]■≤g（a）（即求解f（x）的最小值）.

结论三：方程f（x）=g（a）有解？圳g（a）的范围=f（x）的值域（求解f（x）的值域）.

（2008年江苏卷）设函数f（x）=ax■-3x+1（x∈R），若对于任意x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为？摇 ？摇.

解：当x=0，则不论a取何值，f（x）≥0显然成立；

当0

令g（x）=■-■，则g′（x）=■，

所以g（x）在区间（0，■]上单调递增，在区间[■，1]上单调递减，

因此g（x）■=g（■）=4，从而a≥4；当-1≤x<0时，f（x）=ax■-3x+1≥0可化为a≤■-■，g′（x）=■>0，g（x）在区间[-1，0）上单调递增，因此g（x）■=g（-1）=4，从而a≤4.综上，a=4.

分离变量法是近几年高考考查和应用最多的一种.解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.高三复习过程中，很多题目都需要用到分离变量的思想，除了基础题目可以使用分离变量外，很多压轴题也可以用这种方法求解.

二、数形结合法

（2010年山西）若不等式3x■-log■x<0在（0，■）内恒成立，求实数a的取值范围.

解：由题意知：3x■

观察两函数图像，当x∈（0，■）时，若a>1函数y=log■x的图像显然在函数y=3x■图像的下方，所以不成立；

当0a≥■，综上得：1>a≥■.

三、构造新函数法

对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用构造函数的方法，再借助新函数的图像、性质等求解，可以开拓解题思路、化难为易.

（2013年新课标全国Ⅰ）已知函数f（x）=x■+ax+b，g（x）=e■（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2.

（Ⅰ）求a，b，c，d的值；

（Ⅱ）若x≥-2时，f（x）≤kgf（x），求k的取值范围.

分析：（Ⅰ）利用所给的点及切线方程列出方程组求解字母的取值.

由已知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，a=4，b=2，c=2，d=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=x■+4x+2，g（x）=2e■（x+1），

构造函数F（x）=kg（x）-f（x）=2ke■（x+1）-x■-4x-2，

则F′（x）=2ke■（x+2）-2x-4=2（x+2）（ke■-1），

由题设可得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0得，x■=-lnk，x■=-2.

（ⅰ）若1≤k0，即F（x）在（-2，x■）上单调递减，在（x■，+∞）上单调递增，故F（x）在[-2，+∞）上的最小值为F（x■）=2x■+2-x■■-4x■-2=-x■（x■+2）≥0.故当x≥-2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立.

（ⅱ）若k=e■，则F′（x）=2e■（x+2）（e■-e■）.从而当x>-2时，F′（x）>0，即F（x）在（-2，+∞）内单调递增，而F（-2）=0，故当x≥-2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立.

（ⅲ）若k>e■，则F（-2）=-2ke■+2=-2e■（k-e■）<0，从而当x≥-2时，f（x）≤kg（x）不可能恒成立.

综上，k的取值范围是[1，e■].

通过适时构造新的函数，简化了问题，把求参数的范围转化为函数的最值问题，对解题起到了画龙点睛的作用.

导数是研究函数的重要工具，借助导数，可以对函数进行更加透彻的研究.在利用导数求参数的取值范围问题时，分离变量、主次元变换、极值法、构造新函数等都是行之有效的方法.在教学中要充分穿插、渗透，并及时加以总结、应用和巩固，促进知识的网络化、系統化，才能增强我们解决数学中常见问题的能力，逐步提高教学能力.