常见二次函数考点分析

杨群

二次函数属于人教版全日制义务教育课程标准实验教科书《数学》中“数与代数”领域内容，既是近几年中考数学的一个重要知识点，同时也是一个难点。这道题目考查的知识点多，综合性较强，解题灵活多变。许多同学在学习这部分章节知识的时候都很难从本质上去理解、掌握，在教学中要教给学生一定的方法，只要掌握方法，就能灵活解决。下面通过具体问题的二次函数探讨其常考点。

考点1：二次函数的对称轴

函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，a、b、c的正负将确定抛物线的开口方向；对称轴位置，对称轴两边函数随自变量的变化情况；顶点坐标及与y轴交点的位置，抛物线在坐标平面内平移与顶点式y=a（x-h）2+k的变化关系。这些函数的性质，不仅要记忆而且要理解和会运用。例1：抛物线y=x2-2x+1的对称轴是（ ）

A.直线x=1 B.直线x=-1

C.直线x=2 D.直线x=-2

另一种方法：可将抛物线配方为y=a（x-h）2+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=（x-1）2，所以对称轴为x=1，应选A。

图形的性质、判定、函数的性质，在复习时，要做好基础知识的理解，加强记忆、理解和运用，。在具体问题中，会根据条件判断出图形具有什么特征，可以由这些特征确定求对称轴思路。 考点2：二次函数的最值问题

大家知道，对于二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）（其中h为函数图像顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标）来说，当a>0时，顶点（h，k）为图像的最低点，即当x=h时，y的值最小，最小值为k；当a<0时，顶点（h，k）为图像的最高点，即当x=h时，y的值最大，最大值为k.利用二次函数的这一性质可解决一些与最值有关的问题。例2：求二次函数y=x2-2x-3的最小值。

解：配方得y=x2-2x-3=（x-1）2-4.

∴顶点坐标为（1，-4）

∴该二次函数的最小值为-4.

另外，如果二次函数在一个实际问题中求最大最小值，除了考虑顶点坐标外，还要考虑自变量的端点值。

考点3：二次函数的平移问题

例3 若抛物线y=a（x-h）2+k向下平移一个单位后，再向左平移3个单位，所得到新抛物线的顶点坐标为（-2，0），且a+h+k=4.求原抛物线的解析式。

解析：抛物线平移，主要抓住顶点的平移，由于平移中a不变，只要变动顶点就行了.对于这类已知平移后的顶点坐标，求原顶点坐标的问题，采用逆推法更易获解。

原抛物线顶点坐标（h，k）向下平移1个单位后为（h，k-1），再向左平移3个单位后为（h-3，k-1）。依题意，得h-3=-2，k-1=0，所以h=1，k=1.又a+h+k=4，所以a=2。所以y=2（x-1）2+1，即y=2x2-4x+3。

二次函数平移，不改变二次函数的开口方向和大小即二次项系数a不变，只改变顶点的位置，所以先求原抛物线的顶点，通过配方转化为y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，其图象可以由y=ax2（a≠0）经过适当的平移得到。

考点4：求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点

在初中二次函数教学中，数形结合思想方法得到进一步渗透并被广泛运用。学生从类似“一元二次方程ax2+bx+c=0的实根和二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交点的关系”、“二次函数y=ax2+bx+c的图象分布情况与一元二次不等式ax2+bx+c>0（或ax2+bx+c<0，或ax2+bx+c≠0等）解集的关系，开始由具体的形象的数形结合发展到具有一定的数形结合思想，并在具体的数学内容中渗透和贯穿数学思想，解决数学问题，从根本上提高数学素质。例4：已知抛物线y=4x2-11x-3，求它与x轴、y轴的交点坐标。

解：由x=0得y=-3，所以抛物线与y轴交点坐标为（0，-3）。由y=0，得4x2-11x-3=0可以求得所以抛物线与x轴交点坐标。

考点5：用待定系数法求二次函数的解析式

用待定系数法求二次函数的解析式是我们求解析式时最有效的常规方法，常见的有一般式、顶点式、交点式（或两根式）等方法，选用恰当的方法求二次函数解析式，常能简化计算，达到又快又准的效果。学习二次函数必须掌握二次函数的三种表达形式：一般式y=ax2+bx+c，交点式y=a（x-x1）（x-x2），顶点式y=a（x-h）2+k。在具体问题中要根据问题中条件，结合二次函数的图象与性质及其它综合知识，选择恰当方法，就可能比较容易的解出二次函数的解析式，达到又快又准的效果。

例5：已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于点B（1，0）、C（5，0）两点，求此抛物线的解析式.

思路点拨：由于已知三点，所以本题可以采用一般式求抛物线的解析式.但考虑到已知与x轴交点，所以用交点式更简单.

解：设此抛物线为y=a（x-x1）（x-x2）。（a≠0），则x1=1，x2=5。

所以可设y=a（x-1）（x-5）。把C（5，0）代人即可求出a。

总之，二次函数教学中所蕴含的数形结合思想，这是帮助学生深入了解数形关系，并运用数形结合思想解决数学问题的契机。学生在考试中解这类题时，加强审题，由条件推断函数具有何种特性，图形具有什么特征。利用这些特性和特征结合图像和图形，综合分析，确定出合理的解题方法。特别是在具体的解题过程中灵活运用函数与方程思想进行各种变换，从而达到解决问题的目的。