谈谈数学概念的形成

胡春艳

数学概念的教学一般都要经历概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的应用（包括概念所涉及的数学思想方法的运用）等阶段。在数学概念的教学中，一些教师往往不注重概念的形成过程，只重视概念的运用，忽视数学知识的产生与形成的重要阶段，强行将一些新的数学概念灌输给学生，这会严重影响学生形成正确的数学观，阻碍学生能力的增强。造成这种现象的原因，一方面是由于教师的教学观念比较陈旧，在教学中不重视学生的思维活动，不能使学生的认知过程成为一个再发现、再创造的过程。另一方面是许多教师不知如何创设数学概念形成的问题情境，循序渐进地引导学生开展探索活动。

一

在数学概念教学中，如何构建数学概念的形成过程呢？

1.回顾已有的相似概念，类比发现新的概念。

中学数学中有许多概念具有相似的属性，对于这些概念的教学，教师可先引导学生研究已学过的概念属性，然后创设类比发现的问题情境，引导学生发现，尝试给新概念下定义，这样新的概念容易在原有的认知结构中得以同化与构建。

例如在异面直线的距离的教学中可以先引导学生回顾过去学过的有关距离的概念（点与点间的距离、点到直线的距离、平行线之间的距离），并概括它们的共同点：各种距离概念都归结为点与点间的距离；每种距离都是确定的而且是最小的。通过引导学生研究已有“距离”概念的本质特点，即产生新的概念的“生长点”，以类比方法获得异面直线距离的概念，让学生觉得这一概念是已有距离概念的一种自然发展，不感到突然。这样的概念还有很多，如复数的模与实数的绝对值类比、二次方程与一次方程的类比等。

这类数学概念形成的问题情境创设一定要抓住新旧概念的相似点，为新的数学概念的形成提供必要的“认知基础”，通过与熟悉的概念类比（类比的形式多样，如平面与空间的类比、高维与低维的类比、有限与无限的类比，还有方法类比、结构类比、形式类比等），可使学生更好地认识、理解、掌握新的数学概念。当然要注意类比得出的结论不一定正确，应引导学生修正错误的类比设想，直到得出正确的结果。

2.与已有的相关概念进行比较，归纳总结出新的数学概念。

有些数学概念是已有概念的扩充，若能揭示概念的扩充规律，便可以水到渠成地引入新概念。例如复数概念的引入，可以先回顾已经历过的几次数集扩充的事实：

正整数→自然数→非负有理数→有理数→实数，然后教师提出问题：上述数集扩充的原因及其规律如何？

实际问题的需要使得在已有的数集内有些运算无法进行，数集的扩充过程体现了如下规律：①每次扩充都增加规定了新元素；②在原数集内成立的运算规律，在数集扩充后的更大范围内仍然成立；③扩充后的新数集里能解决原数集不能解决的问题。

有了上述准备后，教师提出问题：负数不能开平方的事实说明实数集不够完善，因而提出将实数集扩充为一个更为完整的数集的必要性。那么，怎样解决这个问题呢？从而水到渠成地完成复数的概念的引入。

这类数学概念形成的问题情境创设的关键是揭示相关概念的扩充发展的背景及其规律，从而引发新的数学概念的产生。

3.联想相关数学概念，引导学生合理猜想得到新的数学概念。

许多数学概念间存在一定的联系，教师若能将新旧概念间的联系点创设成问题情境，引导学生建立起新旧概念间的联系，便可以使学生牢固地掌握新的概念。

4.联系生活，抽象与概括出新的数学概念。

有些数学概念源于现实生活，是从生产、生活实际问题中抽象出来的，对于这些概念的教学要通过一些感性材料，创设生活情境，引导学生提炼数学概念的本质属性。

例如在数轴概念的教学中可以创设下面的问题情境：从小李家向东走20米是书店，向西走30米是学校。若规定向西走为正，向东走为负，那么，小张从家出发，走到书店应记作什么？走到学校记作什么？接着要求学生将上述问题用简单形象的图示方法描述它们，并进一步引导学生提炼出它们的共同属性：（1）可以用图线表示事物的数量特征（可用同一直线上的线段来刻画）（2）度量的起点（小李家）；（3）度量的单位（一个单位表示十米）；（4）有表示相反意义的方向（向西为正，向东为负）。

这样就启发学生用直线上的点表示数，对于“表示相反意义的方向”用箭头“→”表示正方向，从而引进“数轴”的概念。这样做符合学生的认识规律，给学生留下深刻的印象，同时也有助于激发学生的学习兴趣，促使他们积极参与教学活动，有利于学生思维能力和素质的提高。

这类数学概念的教学一定要遵循认识规律，从感性到理性，从具体到抽象，从特殊到一般。通过学生熟悉的实际例子，恰当地设计一些问题，让学生从中找出一类事物的本质属性，最后通过概括得出新的数学概念。

二

选择适当的方法创设问题情境，引导学生用已有的知识和经验自己构建新的知识体系，在教学过程中我们有什么要注意的地方呢？

1.注意问题的呈示方式。

有了合适的问题情景，还必须注意问题的呈示方式。我们认为：问题的呈现要以学生主体的充分发挥为前提，重视知识的发现和探索过程，重视学生的内心体验。通过问题的呈现，学生充分地展开思维活动（包括动手、动脑），教师应留给学生一定的思考时间和空间，不要急于将答案告诉学生，应把发现问题的机会提供給学生，让学生的思维得到充分暴露。教师根据学生出现的一些问题，有针对性地组织讨论、辨析，并在关键处予以点拨，真正使学生体验到新的数学概念的形成过程。

2.教学形式要多样化。

课堂教学从本质上说是一种“沟通”与“合作”的活动，是教师主导与学生主体相互作用以实现学生有意义学习的过程，要使这个过程顺利进行，必须充分调动师生双方的积极性和主动性。为了充分调动学生的积极性，教学形式应尽可能地多样化。教学不能只是教师的讲授，还应包括学生的独立自主探究，集体研究，小组讨论或先学生独立研究再相互交流，或带着问题自学等多种方式。这样有利于调动学生的学习积极性。至于如何确定教学形式，这就要考虑所研究问题的难易程度及学生的知识和思维水平。一般来说，要尽可能地让学生参与数学活动，只要学生有能力通过活动解决的问题，就应该让学生独立完成。对有一定难度的问题，可先让学生独立研究，再组织小组交流（教师参与小组研究，并在关键处作适当点拨），最后师生一起探索得出结论。

3.渗透数学思想方法。

数学概念是思维的细胞，是浓缩的知识点，是感性认识飞跃到理性认识的结果，而飞跃的实现要依据数学思想方法，经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工而成。因此教师应注意将在解决问题的过程中所涉及的数学思想方法显化，对解决问题的思维策略进行提炼，让学生学会思维，提高自我探索、发现创造的能力。要让学生通过不断实验、观察，进而得到发现的“科研”方法并逐步掌握。学生掌握这些方法将受益终身。

在教学过程中教师应积极鼓励学生独立提出问题、独立分析、解决问题，还要鼓励学生之间互相研讨问题，大胆向教师提问题或提出创见性的观点，努力营造师生之间平等共同研讨、分析解决问题的民主气氛，建立师生间和谐良好的人际关系，使课堂教学充满活力。