轨道交通荷载下饱和地基中波阻板主动隔振研究

高广运， 王 非， 陈功奇， 张 博

(1.同济大学地下建筑与工程系， 上海 200092；2．同济大学岩土及地下工程教育部重点实验室， 上海 200092；3.北京方兴地产有限公司， 北京 100022)

引 言

近年来，多层的高架道路、地下铁道、轻轨交通正日益形成一个立体空间交通体系。铁路“十二五”规划表明，中国将有30个左右的城市有发展城市轨道交通的可能，投入运营的城市轨道交通线路可能达到2 000～2 500 km。列车运行引起的振动对周围环境的影响为成为人们关注的问题。

列车荷载引起的沿地面传播的振动，可以采用不同隔振和减振措施。其中屏障隔振较为常见，高广运将屏障分为两类[1]：连续屏障(空沟、填充沟、钢筋混凝土墙等)和非连续屏障(孔列、桩列和板桩等)。Woods在大量试验的基础上[2]，提出有关屏障隔振设计的基本准则，并给出了衡量屏障隔振效果的参数——振幅衰减系数。

一种可供选择的隔振措施是在振源或被保护结构下一定深度内埋置波阻板进行隔振。研究表明，基岩上单一土层的振动存在截止频率，当地表作用的简谐线荷载的频率低于这个截止频率时，土层中没有波的传播；仅当激振频率大于截止频率时，土层中才会出现波的传播现象。根据土层中波的传播存在截止频率这个现象，Chouw等建议人工设置一个有限尺寸的人工基岩来进行隔振[3]，并称之为波阻板(简写为WIB)。Peplow等采用边界积分方程法研究了二维双层地基波阻板主动隔振的隔振效果[4]。Takemiya提出了采用蜂窝形柱状波阻屏障(Honeycomb WIB)[5]，对高架铁路桩基振动Honeycomb WIB隔振进行了现场试验，得到了令人满意的隔振效果。李伟采用薄层法-边界元建立三维层状地基模型[6]，分析了波阻板的隔振。高广运和李宁等对波阻板进行了现场模型试验[7]，得出了一些有益的结论。

上述研究均假设土体为单相介质，忽略了孔隙水的影响，实际上孔隙水的存在对列车荷载作用下土体内波的传播有很大影响。因此采用饱和多孔土体模型比线弹性模型更符合实际。高广运等采用2.5维有限元法对饱和地基上列车运行引起的地面振动进行了分析[8]。徐斌采用积分方程法分析了饱和地基上移动荷载引起的排桩隔振效果[9]。

本文对列车-轨道子结构进行简化计算，求得车辆对地基的激振力，对饱和土三维Biot波动方程进行积分变换，求解获得饱和半空间表面位移的积分解答，最终得到饱和层状地基的薄层法基本解答。同时运用旁轴近似原理，对饱和空间频域-波数域内的刚度矩阵进行二阶Taylor级数展开，获得适应于薄层法底部边界的旁轴近似解答。将轨道交通荷载作用下薄层法基本解作为格林函数，代入饱和土半解析边界元中，编制相应的程序，针对饱和均质地基WIB隔振体系，详细研究了影响隔振效果的主要参数(波阻板宽度、厚度、埋深和弹性模量)，得到了轨道交通荷载作用下饱和地基WIB主动隔振的规律。

1 列车激振荷载的计算

轨道道床体系由钢轨、轨枕、连接零件、道床、防爬设备及道渣等部件组成，直接承受由车轮传来的巨大压力，并将其传递给路基，故是十分复杂的系统。本文基于环境振动预测的需要，采用一种基于实测结果确定轨道交通荷载的方法，通过简单的运算即可获取列车通过轨道时的激振荷载。井上賸夫等在现场实测的基础上提出了轨道激振力的合成方法[10]，即通过对不同列车以不同车速通过无缝钢轨时作用在道床上动力荷载的实测结果，得到以下主要结论：列车车轮对轨道产生的激振荷载主要由两部分组成——随列车移动的低频竖向准静荷载和车-轨共振产生的高频动荷载。基于这两部分动力荷载合成所得的作用在道床上的动力荷载与实测结果表明，二者在50 Hz以内十分接近。蒋通等同样利用该法[11]，对上海市轨道交通列车激振力进行计算，得到一些有益的结论。故本文采用文献[10]的列车激振力的合成方法生成轨道交通的列车激振荷载。

根据文献[10]可知单轮通过轨道时作用在道床上的激振力时程

P1(t)=P1msin(2πf1t)+P2msin(2πf2t)

(1)

当n个轮子的列车通过轨道时，作用在道床上的激振荷载可以叠加求得。

设xi为第i个轮子与第一个轮子的距离，x1=0。则n个轮子的列车通过轨道时在激振点处作用在道床上的激振荷载为

(2)

式中P1(t)为式(1)所示单轮通过轨道时作用在道床上的激振力时程。

2 饱和地基的薄层法基本解答

薄层法属于一种半解析半数值方法，即对波动微分方程在竖向进行与有限单元法(或采用其它数值逼近方法)类似的离散，将土层划分为有限个薄层，而在其余坐标方向进行解析求解。

考虑简谐运动(eiωt)的形式， 以孔压和土骨架位移为基本量的Biot方程为

(3)

考虑水平面上的应力，并定义水平面上的“等效力”T={τrz,τθz,σz,qz}T，qz为孔隙流体的流量，故有

(4)

首先对竖向坐标z进行有限元离散，将半空间地基离散为ns个水平薄层。当每一层的厚度较小时，对于该层内的位移可采用线形插值模拟。假定沿薄层厚度方向的位移为二次分布，即对层内位移采用二次插值。第i层内的土体位移ur，uθ，uz，p为

(5)

(6a)

(6b)

式(6)可以通过振型叠加法求解，得频域波数域内力和位移的关系式。对给定的力P先进行切向坐标的Fourier分解，然后进行轴向坐标r的Hankel变换，可得频域波数域内的位移表达式，再对该表达式进行Hankel逆变换和Fourier综合，可求得频域笛卡儿坐标系内的位移表达式，即薄层法的基本解。

以上推导和计算是在柱坐标系下进行的，根据坐标变换有

(7)

通过坐标变换即可求出直角坐标系下薄层法基本解。

对竖向坐标z进行的有限元离散，仅能将半空间离散为一定深度的有限个薄层，若这些薄层的总深度较小，则会产生较大的误差。为了提高计算精度，且采用较少数量的离散结点，需要采取某些方法模拟底层半空间。旁轴近似是Kausel和Seale为解决薄层法模拟半空间的难题而提出的一种精度较高的措施[12]，但仅给出了适用于弹性介质中底层半空间的旁轴近似解答。时刚等结合类似上述的推导[13]，对饱和半空间波数域内的刚度矩阵进行二阶Taylor级数展开，得到适合于薄层法的底层半空间的近似解答，提高了薄层法的计算效率。推导方法见文献[13]。

3 饱和地基半解析边界元法

研究饱和土地基的波动问题时，常规边界元法一般采用全空间动力Green函数。因此，在进行边界单元划分时，不仅需要在结构-土体交界面上进行离散，还需要在半空间表面及不同土层的交界面上进行离散，从而大大增加了未知自由度的个数，导致计算时间和计算成本急剧增加，计算效率较低。为了减少未知量的个数，提高边界元的计算效率，采用饱和半空间的位移、孔压基本解答作为饱和土边界元法的Green函数。这样，在分析上述问题时，只需要在土与结构物的表面进行离散，而不需要在半空间表面和土层交界面上划分单元，从而使边界元法更好的适用于饱和半空间的情况。将饱和地基的薄层法基本解答与饱和土边界元法结合起来，就构成了半解析边界元法。所谓的半解析，就是指边界元中采用的土骨架位移、孔压、面力和流量的基本解是由薄层法所获得的数值解答。

首先，将边界Γ离散成E个单元，单元中任意点的位移、孔压、面力和流量可以用单元节点对应量通过形函数来进行近似：

(8)

将式(8)代入边界积分方程中，最终得到边界元方程如下

(9)

(10)

利用给定的边界条件，即将给定的边界节点上的位移、面力、孔压和流量带入上述方程组中，分离已知量与未知量及其相应的系数，得到可以求解的线性代数方程组，求解这个方程组即可得到所有边界节点上的未知量。最后，可利用边界单元的插值函数及各节点上的位移、面力、孔压和流量来获得边界上任意点的对应量。

若饱和土的ρf→0和n→0时，则退化成弹性介质。因此可以采取退化的方法对饱和土半解析边界元法进行验证。为验证薄层法基本解的正确性，这里选取Lamb问题进行对比分析[14]。王贻荪利用突加力问题的闭合解求得了Lamb问题的精确解答[15]。针对Lamb问题，运用本文的算法与王贻荪的解答进行了对比，如图1示，计算结果较接近，因此验证了本文的薄层算法。为了验证半解析边界元法的正确性，选取文献[16]进行对比分析。Ahmad采用了常规边界单元法求解出了均质地基中的三维空沟隔振问题[16]。从图2中可以看出，两者结果非常接近。

图1 SH荷载激振地表位移解答对比

图2 空沟隔振结果对比

4 列车荷载下饱和地基波阻板主动隔振分析

利用本文推导的结果，可以对轨道交通荷载作用下三维饱和地基中波阻板隔振效果进行分析。波阻板隔振计算模型如图3所示。

图3 波阻板隔振示意图

考虑上海市轨道交通列车通过轨道时对道床产生的激振荷载，每节车厢有2个轮对，各轮对质量为2 808 kg，空车质量为24 t，载重12.3 t(考虑定员的一半)，车厢的长度为22.8 m，转向架的间距为15.7 m，轮距为2.5 m，车速取60 km/h。轨道为60 kg/m的无缝钢轨，取轨道结构计算宽度为3.0 m，钢轨弹性模量取2.06×105MPa，轨道的弯曲刚度EI=6.627×106N·m2，将其代入式(2)即可得到列车激振荷载。饱和土体计算参数如下：土骨架密度为1 800 kg/m3，剪切波速为100 m/s，材料阻尼为0.05，泊松比为0.40，动力渗透系数为1×10-7m2，孔隙率为0.47，孔隙流体密度为1 000 kg/m3，流体体积模量为2×109Pa。假定下边界为不透水基岩，则土骨架位移为零。考虑基础为无质量的刚性基础，WIB的宽度和厚度分别记为w，h；WIB顶面埋深为d，WIB的弹性模量记为E。WIB密度取ρb=2 000 kg/m3，泊松比取νb=0.20，WIB的粘滞阻尼比取ξb=0.05。

在分析某一模型参数时，其余参数则固定不变。用振幅衰减系数评价隔振效果[2]

(11)

4.1 WIB弹性模量对隔振效果的影响

图4表示h=0.667B，w=6B，d=0.333B，B=3 m，为列车荷载作用宽度。WIB的弹性模量E变化时，地表水平向和竖向隔振效果随距离的变化曲线。 由图可知， 在轨道交通荷载作用下，竖向隔振效果略优于水平向隔振效果。随着WIB弹性模量的增加，其隔振效果增加；即使当波阻板的弹性模量趋近于地基土的弹性模量时，其隔振效果也大于30%；当WIB的弹性模量E≥200 MPa时，竖向隔振效果可达50%以上。

图4 波阻板弹性模量对隔振效果的影响

4.2 WIB宽度对隔振效果的影响

图5表示h=0.667B，d=0.333B，E=20 000 MPa，WIB的宽度w变化时，地表水平向和竖向隔振效果随距离的变化。由图可知，饱和地基采用WIB可取得理想的隔振效果。在轨道交通荷载作用下，竖向隔振效果略优于水平向隔振效果。如图示，水平向随WIB宽度的增加隔振效果增大；竖向的隔振效果略为复杂，当WIB的宽度较小(w≤6B)时，随WIB宽度的增加，隔振效果增大，当WIB的宽度较大(w=9B和12B)时，隔振效果反而小于w=6B的工况，距轨道中心15 m外又小于w=4B的工况，但是总体来说，隔振效果均可达50%以上。

图5 波阻板宽度对隔振效果的影响

4.3 WIB厚度对隔振效果的影响

图6为w=6B，d=0.333B，E=20 000 MPa，WIB的厚度h变化时，地表水平向和竖向隔振效果随距离的变化。由图可知，在轨道交通荷载作用下，随着WIB厚度的增加，隔振效果明显增加；当WIB的厚度较小(h=0.333B)时，水平向和竖向位移隔振效果分别达40%和45%；当h≥0.667B时，竖向隔振效果增幅明显减小，而水平向仍保持好的增幅。

图6 波阻板厚度对隔振效果的影响

4.4 WIB埋深对隔振效果的影响

图7为h=0.667B，w=6B，E=20 000 MPa，WIB的埋深d变化时，地表水平向和竖向隔振效果随距离的变化。由图可知，在轨道交通荷载作用下，随WIB埋深的增加，其隔振效果逐渐变差。当WIB的埋深较小(d≤0.667B)时，水平向和竖向隔振效果均可达60%，当WIB的埋深为0.667B

图7 波阻板埋深对隔振效果的影响

5 结 论

本文首先建立了列车-轨道子结构进行了简化计算，得到了列车的激振荷载，在饱和土频域半解析边界元法的基础上详细分析了轨道交通荷载作用下饱和地基WIB隔振体系的主动隔振效果，研究了参数变化时WIB的隔振性状，结论如下：

(1)利用薄层法基本解答建立的半解析边界单元法，是分析土与结构动力相互作用的一种有效方法。在求解饱和三维地基中WIB隔振问题时，只需在土与WIB交界面进行离散，与常规边界元法和有限元法相比，可以大大提高计算效率。

(2)增加WIB弹性模量和厚度均可增大其隔振效果。计算表明当WIB的弹性模量和厚度较小时，WIB也会达到理想的隔振效果。

(3)随WIB宽度的增加，隔振效果增大；竖向隔振效果较复杂，设计时应充分考虑。分析表明，即使WIB宽度取小值时，隔振效果也可达50%以上。

(4)WIB埋深越小，隔振效果越好。计算表明当WIB的埋深较小时，水平向和竖向隔振效果均可达60%，当WIB的埋深变大时，隔振效果稍差。

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