巧用不等式证明小题

肖云霞

摘 要：对于不等式的证明题，可以从多种角度去看待，运用均值不等式、柯西不等式、排序不等式等巧妙进行证明，证明的方法多种多样，下面就两个证明题的多种证明方法进行探讨。

关键词：排序不等式；柯西；均值；证明

中图分类号：G642.0 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）02-017-02

知识背景：

⑴ 排序不等式：

设有两组数；； 满足，，其中是的任一排列，则有

即 同序和≥乱序和≥逆序和；当且仅当 或 时，等号成立，即同序和=乱序和=逆序和.

⑵ 柯西不等式：

设有两组数；； 有不等式当且仅当时，等号成立.

（3）均值不等式：设﹥0； （调和平均）； （几何平均）； （算术平均）；（平方平均）； 有

当且仅当时，等号成立.

1. 已知a，b，c>0，求证：.

解决此题有多种方法：

方法一：（析：可以运用排序不等式求解）

解：不妨设a≥b≥c>0，则a+b≥a+c≥b+c ①，分别取倒数有 ②，

③

④

③+④得到：≥=1+1+1=3，则， 得证.

方法二 （析：运用柯西不等式证明）

解： []≥ ①，

又 =2 ②

=； 则≥3 ③ ； 将②、③代入①得到

得证.

方法三： （ 分析： 拼凑法）

解+3===（a+b+c）= ①；利用均值不等式 ； 则有 ； 代入

①得：+3≥[×3×]×[3×]= ×=； 则有 得证.

2. 已知a，b，c>0，求证： .

方法一： （分析，运用排序不等式证明）

解： 不妨设a≥b≥c>0，则 ①， a+b≥a+c≥b+c ，分别取倒数有 ②，则有

③

④

③+④得到 ⑤

又由柯西不等式： 即有，得到

⑥，同理有： ⑦； ⑧； 将⑥、⑦、⑧代入⑤得到 ： ≥==a+b+c

则有： 得证.

方法二： （分析运用柯西不等式）

解 ≥

则有≥， 化简得： ≥= 得证

方法三： （平均不等式求解）

解 ① ； ②； ③；

①+②+③得到 ≥a+b+c

化简得 ≥（a+b+c）—= 得证.

方法四： （ 拼凑法 ）

解 ==

= ①

由1题知： 代入 ① 得

≥ 化简得

得证.

方法五： 巧用排序不等式

不妨设a≥b≥c>0， 则a+b≥a+c≥b+c ①，分别取倒数有 ②； 又有 ③

④

⑤

④+⑤ 得到=

= ；化简得到

得证.

摘 要：对于不等式的证明题，可以从多种角度去看待，运用均值不等式、柯西不等式、排序不等式等巧妙进行证明，证明的方法多种多样，下面就两个证明题的多种证明方法进行探讨。

关键词：排序不等式；柯西；均值；证明

中图分类号：G642.0 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）02-017-02

知识背景：

⑴ 排序不等式：

设有两组数；； 满足，，其中是的任一排列，则有

即 同序和≥乱序和≥逆序和；当且仅当 或 时，等号成立，即同序和=乱序和=逆序和.

⑵ 柯西不等式：

设有两组数；； 有不等式当且仅当时，等号成立.

（3）均值不等式：设﹥0； （调和平均）； （几何平均）； （算术平均）；（平方平均）； 有

当且仅当时，等号成立.

1. 已知a，b，c>0，求证：.

解决此题有多种方法：

方法一：（析：可以运用排序不等式求解）

解：不妨设a≥b≥c>0，则a+b≥a+c≥b+c ①，分别取倒数有 ②，

③

④

③+④得到：≥=1+1+1=3，则， 得证.

方法二 （析：运用柯西不等式证明）

解： []≥ ①，

又 =2 ②

=； 则≥3 ③ ； 将②、③代入①得到

得证.

方法三： （ 分析： 拼凑法）

解+3===（a+b+c）= ①；利用均值不等式 ； 则有 ； 代入

①得：+3≥[×3×]×[3×]= ×=； 则有 得证.

2. 已知a，b，c>0，求证： .

方法一： （分析，运用排序不等式证明）

解： 不妨设a≥b≥c>0，则 ①， a+b≥a+c≥b+c ，分别取倒数有 ②，则有

③

④

③+④得到 ⑤

又由柯西不等式： 即有，得到

⑥，同理有： ⑦； ⑧； 将⑥、⑦、⑧代入⑤得到 ： ≥==a+b+c

则有： 得证.

方法二： （分析运用柯西不等式）

解 ≥

则有≥， 化简得： ≥= 得证

方法三： （平均不等式求解）

解 ① ； ②； ③；

①+②+③得到 ≥a+b+c

化简得 ≥（a+b+c）—= 得证.

方法四： （ 拼凑法 ）

解 ==

= ①

由1题知： 代入 ① 得

≥ 化简得

得证.

方法五： 巧用排序不等式

不妨设a≥b≥c>0， 则a+b≥a+c≥b+c ①，分别取倒数有 ②； 又有 ③

④

⑤

④+⑤ 得到=

= ；化简得到

得证.

摘 要：对于不等式的证明题，可以从多种角度去看待，运用均值不等式、柯西不等式、排序不等式等巧妙进行证明，证明的方法多种多样，下面就两个证明题的多种证明方法进行探讨。

关键词：排序不等式；柯西；均值；证明

中图分类号：G642.0 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）02-017-02

知识背景：

⑴ 排序不等式：

设有两组数；； 满足，，其中是的任一排列，则有

即 同序和≥乱序和≥逆序和；当且仅当 或 时，等号成立，即同序和=乱序和=逆序和.

⑵ 柯西不等式：

设有两组数；； 有不等式当且仅当时，等号成立.

（3）均值不等式：设﹥0； （调和平均）； （几何平均）； （算术平均）；（平方平均）； 有

当且仅当时，等号成立.

1. 已知a，b，c>0，求证：.

解决此题有多种方法：

方法一：（析：可以运用排序不等式求解）

解：不妨设a≥b≥c>0，则a+b≥a+c≥b+c ①，分别取倒数有 ②，

③

④

③+④得到：≥=1+1+1=3，则， 得证.

方法二 （析：运用柯西不等式证明）

解： []≥ ①，

又 =2 ②

=； 则≥3 ③ ； 将②、③代入①得到

得证.

方法三： （ 分析： 拼凑法）

解+3===（a+b+c）= ①；利用均值不等式 ； 则有 ； 代入

①得：+3≥[×3×]×[3×]= ×=； 则有 得证.

2. 已知a，b，c>0，求证： .

方法一： （分析，运用排序不等式证明）

解： 不妨设a≥b≥c>0，则 ①， a+b≥a+c≥b+c ，分别取倒数有 ②，则有

③

④

③+④得到 ⑤

又由柯西不等式： 即有，得到

⑥，同理有： ⑦； ⑧； 将⑥、⑦、⑧代入⑤得到 ： ≥==a+b+c

则有： 得证.

方法二： （分析运用柯西不等式）

解 ≥

则有≥， 化简得： ≥= 得证

方法三： （平均不等式求解）

解 ① ； ②； ③；

①+②+③得到 ≥a+b+c

化简得 ≥（a+b+c）—= 得证.

方法四： （ 拼凑法 ）

解 ==

= ①

由1题知： 代入 ① 得

≥ 化简得

得证.

方法五： 巧用排序不等式

不妨设a≥b≥c>0， 则a+b≥a+c≥b+c ①，分别取倒数有 ②； 又有 ③

④

⑤

④+⑤ 得到=

= ；化简得到

得证.