非线性系统基于李雅普诺夫第一方法的控制律设计

雷 靖，黄俊娇

(1.云南民族大学 数学与计算机科学学院，云南 昆明 650500；2.云南大学 云南省软件工程重点实验室，云南 昆明 650091)

在现实世界中,任何物理系统都具有非线性特性,非线性现象无处不在.鉴于非线性系统的多样性、复杂性以及与线性系统的本质差别，非线性控制系统的分析与设计已经成为挑战性很强的研究课题[1].近年来在非线性系统控制领域出现了一些有价值的研究，如Isidon[2]侧重于微分几何方法；文献[3]中介绍了非线性系统的无源性、耗散性、增益稳定性等问题；文献[4]中系统地介绍了应用递归设计思想；文献[5-6]侧重于跟踪控制和自适应方法；文献[7]从应用角度介绍了若干非线性控制方法.与此同时，非线性系统的控制律设计也引起了控制界的极大注意.几何技术的引入，特别是反馈线性化方法促进了非线性系统控制律设计的发展；一些研究者引入了自适应调节技术去控制参数不确定系统使其稳定,例如模型参考自适应控制[8]，对于复杂的工业对象和过程,引入自适应策略能够提高控制精度,提高生产效率,降低成本.

对非线性控制系统的研究，到20世纪40年代，已取得一些明显的进展，主要的分析方法有：相平面法、李雅普诺夫法和描述函数法等，这些方法都已经被广泛用来解决实际的非线性系统问题.但是这些方法都有一定的局限性，都不能成为分析非线性系统的通用方法.例如，用相平面法虽然能够获得系统的全部特征，如稳定性、过渡过程等，但大于三阶的系统无法应用.李雅普诺夫法则仅限于分析系统的绝对稳定性问题，而且要求非线性元件的特性满足一定条件.虽然这些年来，国内外有不少学者一直在这方面进行研究，也研究出一些新的方法，如频率域的波波夫判据、广义圆判据、输入输出稳定性理论等.但总的来说，非线性控制系统理论目前仍处于发展阶段，远非完善，很多问题都还有待研究解决，领域十分宽广.

1 问题描述

考虑非线性控制系统

(1)

其中，f:D→Rn是从D⊂Rn到Rn的连续可微映射.假设原点x=0在D内，且为系统的一个平衡点，即f(0)=0.根据均值定理

(2)

其中zi是连接x与原点之间的线段上的一点.前面的等式对于任意一点x∈D都成立，从而使连接x到原点的线段全部在D内.由f(0)=0可写出

(3)

因此

f(x)=Ax+Bu+g(x).

(4)

其中

函数gi(x)满足

(5)

(6)

这就是说在原点的一个小邻域内，可以用对系统在原点的线性化方程

(7)

其中

(8)

2 李雅普诺夫第一方法控制律设计

2.1 反馈控制

对于非线性系统(1)经过线性化后得到的线性系统(6)设计基于李雅普诺夫第一方法的控制律u，加入控制u使系统变得稳定或渐近稳定.

反馈控制：在自动控制系统中将被控量以负反馈的形式与输入量进行比较，并利用偏差来不断消除偏差的控制过程.反馈控制通常可以分为状态反馈与输出反馈2种形式.图1为状态反馈的闭环系统结构图.

状态反馈控制是采用状态控制律：

u=-Kx.

(9)

其中K∈Rm×n为反馈增益矩阵，则状态反馈后的闭环系统状态空间表达式为

(10)

式中：AK=A-BK.本文以状态反馈为例对系统(1)的线性化方程(7)设计控制律，使其稳定或渐近稳定.

2.2 李雅普诺夫第二方法稳定性判据

稳定是一个系统正常运行的首要条件.若系统不稳定，则必须运用外部控制设法让其稳定.本文的目的是确定增益矩阵K，使闭环系统(10)渐近稳定.首先，我们需要介绍李雅普诺夫稳定性定理以便证明闭环系统渐近稳定.

设连续时间非线性时变自治系统：

(11)

其中，x为n维状态.并且，对所有t∈[t0,∞)成立f(0,t)=0，即状态空间原点x=0为系统孤立平衡状态.

引理[9-10](李雅普诺夫稳定性定理) 对于定常系统(11),如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x)，V(0)=0，并且对于状态空间X中的一切非零x满足如下条件：

1)V(x)为正定；

则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的.

由此，若选择李雅普诺夫函数

V(x)=xTPx.

(12)

其中P为待定的对称正定矩阵，则根据李雅普诺夫稳定性定理，系统(11)渐近稳定的充要条件是李雅普诺夫函数(12)对时间的导数为负定，即

(13)

这样，我们可以通过确定P和K,使得标量函数V(x)=xTPx对时间的导数是负定的来确定控制律(9).

2.3 控制律设计

对李雅普诺夫函数(12)沿着闭环系统(10)求导，得到

(14)

根据李雅普诺夫稳定性定理，欲使闭环系统(11)渐近稳定，式(14)需满足条件(13)，也即存在一个正定对称矩阵P，使得

(A-BK)TP+P(A-BK)<0.

(15)

由于不等式方程(15)为P和K耦合的非线性矩阵方程，通常难以求解.为此，我们利用线性矩阵不等式方法先将(15)式展开写成

PA+ATP-KTBTP-PBK<0.

(16)

对(16)式两边左乘P-1、右乘P-1，则得到对称矩阵

AP-1+P-1AT-(P-1KT)BT-B(KP-1)<0.

(17)

记

X=P-1>0，Y=KP-1.

(18)

得到

AX+XAT-YΤBT-BY<0.

(20)

不等式(20)是一个关于矩阵变量X、Y的线性矩阵不等式.

如果能从(20)式确定X、Y(X是正定对称矩阵)，则Y=KP-1是系统(7)的一个镇定状态反馈增益矩阵，X-1=P>0是闭环系统(11)相应的一个李雅普诺夫矩阵.这样，我们得到本文的主要结果：

定理考虑非线性定常系统(1)，则状态反馈控制(9)能够使非线性系统(1)在原点渐近稳定，其中反馈增益K和李雅普诺夫矩阵P由(20)确定.

证明将状态反馈控制(9)代入系统(1)，根据(4)得到原点线性化闭环系统

(21)

由(21)确定反馈增益K及李雅普诺夫矩阵P.则李雅普诺夫函数(12)沿(21)的导数为

(22)

由(15)可知(A-BK)TP+P(A-BK)<0，令(A-BK)TP+P(A-BK)=-Q，其中Q为正定矩阵，则(22)为

(23)

3 仿真示例

考虑非线性系统

(24)

其开环系统状态轨迹如图2所示.设计控制律u=-2x2对系统(21)进行状态反馈控制后的状态运动轨迹图如图3所示.

从图2我们可以看出，系统在没有施加控制时(即开环系统)，其状态呈发散趋势，系统为不稳定.但从状态反馈控制律作用下闭环系统的状态响应图3可以看到，此时的系统状态随时间的增加逐渐趋向于0，系统是渐近稳定的.由此说明本文提出的非线性连续系统基于李雅普诺第一方法的控制律设计是有效的.

4 结语

本文研究了基于李雅普诺夫第一方法对非线性连续系统进行了线性化，然后利用李雅普诺夫稳定性定理、运用求解矩阵不等式的方法设计了状态反馈控制律.仿真示例表明，该控制律有效镇定了原不稳定系统，从而证明了该方法的有效性和简便性.

参考文献:

[1] 冯纯伯，张倪健.非线性系统鲁棒控制[M].北京：科学出版社，2004.

[2] ISIDON A. Nonlinear control systems[M]. New York:Springer-Verlag，1995.

[3] NIJMEIJER H, VAN DER SCHAFT A. Nonlinear dynamical control systems[M]. New York:Springer, 1990.

[4] KRSTIC M, MODESTINO J W, DENG H, et al. Stabilization of nonlinear uncertain systems[M]. New York：Springer-Verlag, 1998.

[5] MARINO R, TOMEI P. Nonlinear control design：geometric, adaptive and robust[M]. London:Prentice Hall International (UK) Ltd, 1996.

[6] NARENDRA K, ANNASWAMY A. Stable adaptive systems[M]. New York：DoverPublications, 2012.

[7] SLOTINE J J E, LI W. Applied nonlinear control[M]. New Jersey：Prentice hall, 1991.

[8] 韩曾晋.自适应控制[M].北京：清华大学出版社，1995.

[9] 郑大钟.线性系统理论[M].2版.北京：清华大学出版社，2012.

[10] 胡寿松.自动控制原理[M].4版.北京：科学出版社，2008.