Sen’s斜率估计与Mann-Kendall法在设备运行趋势分析中的应用

汪 攀, 刘毅敏

(武汉科技大学信息科学与工程学院，湖北 武汉，430081)

设备故障严重影响企业的市场竞争力。在设备发生故障后才进行维修，不但增加了检修时间，还提高了备件成本，给生产带来很大影响，而基于设备状态监测的预防性维修则可以有效地避免过剩维修或维修不足[1]。

设备运行状态的趋势分析是基于状态监测的预防性维修的重要基础。设备出现故障前都会有一些可以观察到的信号(如温度、振动、噪声等)变化，这些信号属于时间序列。时间序列的趋势分析通常采用线性回归算法，但这种算法的斜率受异常值的影响较大[2]。而在实际生产中，设备运行状态数据的分布特征不明确，且在设备运行过程中受环境等因素的影响，其可能存在部分异常值，因此采用线性回归算法不能得到精确的分析结果。非参数检验法Sen’s斜率估计法和Mann-Kendall法则不受异常值的影响，更适宜于存在异常值的时间序列的趋势分析。Sen’s斜率估计法计算的是序列斜率对的中值，抗噪性强，但不能实现序列趋势的显著性判断。非参数检验Mann-Kendall法不需要样本遵从一定的分布，可以实现序列趋势的显著性判断，但不能得到序列的斜率[2]。因此，本文采用Sen’s斜率估计与Mann-Kendall法相结合的方法来分析设备的运行趋势。

1 预防性维修系统框图

预防性维修系统采用离线数据来评估设备的状态，其流程如图1所示。

图1 预防性维修系统流程Fig.1 Flow chart of the preventive maintenance system

2 Sen’s斜率估计

采用Sen’s斜率估计法计算序列的斜率β。斜率β表示此序列的平均变化率以及时间序列的趋势，当β>0时，序列呈上升趋势；当β=0时，序列趋势不明显；当β<0时，序列呈下降趋势。

对于时间序列xt=(x1,x2,…,xn)，Sen’s斜率的计算公式为

∀j>i

(1)

式中：Median为取中值函数。

3 Mann-Kendall法检验

采用Mann-Kendall法判断序列的突变点以及每段区间的趋势情况，实现序列的显著性判断。

3.1 检验序列的趋势

对时间序列xt=(x1,x2,…,xn)作如下假设[3]：

(1)H0假设。假设序列中的数据为独立同分布随机样本，即无显著趋势。

(2)H1假设。假设序列存在上升或下降单调趋势。

在H0假设下，定义检验统计量S为

(2)

式(2)中，当n≥10时，统计量S近似服从正态分布。将S标准化得到Z，利用统计检验值Z进行显著性检验，其公式如下:

(3)

其中，

var(S)=(n(n-1)(2n+5)-

(4)

式中：n为序列中数据的个数；m为序列中结(重复出现的数据组)的个数；ti为结的宽度(第i组重复数据组中的重复数据个数)。

采用双边趋势检验，在给定显著水平α下，当|Z|≤Z1-α/2时，接受H0假设，即趋势不显著；否则接受H1假设，即Z>Z1-α/2表明序列呈显著上升趋势，Z<-Z1-α/2表明序列呈显著下降趋势。

3.2 检验序列的突变点

构造一个序列[4]：

(5)

定义统计变量：

(6)

其中，UF1=0，E(Sk)=(k(k+1))/4，var(Sk)=(k(k-1)(2k+5))/72。

UFk为标准正态分布，是按时间序列x的顺序(x1,x2,…,xn)计算出的统计量序列。给定显著性水平α，查正态分布表，若|UFk|>Uα，则表明序列存在明显的趋势变化。按时间序列x的逆序(xn,…,x2,x1)，重复上述过程，同时使UBk=-UFk，k=(n,n-1,…,1) ，UB1=0。通过分析序列x可以进一步分析序列的变化趋势。当UFk或UBk的值大于0时，则表明序列呈上升趋势，其值小于0则表明呈下降趋势。当统计量UFk或UBk的值超过显著性水平范围时，表明上升或下降趋势显著。当UFk和UBk两条曲线出现交点，且交点在临界线之间，那么交点对应的时刻便是突变开始的时刻。

4 设备运行趋势分析实例

4.1 数据来源

某企业有一套设备运行状态监测系统，负责全厂2000余台设备状态数据的采集。本文使用的数据来自该企业某个油泵2013年12月1日至2013年12月30日期间设备运行时的轴承前端L值、轴承前端水平振动值和轴承前端温度值(以下分别简称为L值、振动值和温度值)的记录。其中，L值是指由瑞典Vibrationsteknik AB公司生产的VTM36轴承状态检测仪所特有的L-方法测定的轴承状态值。

4.2 一元线性回归分析

首先对轴承L值、振动值、温度值的时间序列进行一元线性拟合，结果如图2～图4所示。从图2～图4可以看出，轴承L值、振动值、温度值均呈上升趋势。

线性拟合结果的斜率k表示各值的平均变化率。定义趋势幅度p为

p=(n-1)k

(7)

图2 轴承L值一元线性拟合曲线Fig.2 Linear fitting curves of the L value for the bearing

图3 轴承振动值一元线性拟合曲线

Fig.3Linearfittingcurvesofvibrationvalueforthebearing

图4 轴承温度值一元线性拟合曲线Fig.4 Linear fitting curves of temperature for the bearing

序列的一元线性回归分析结果如表1所示。

表1轴承L值、振动值和温度值的一元线性回归分析结果

Table1LinearregressionanalysisresultsofLvalue,vibrationvalueandtemperatureforthebearing

一元线性回归方程斜率k30天趋势幅度p趋势L值y=0.0084x+0.55080.00840.243上升振动值y=0.0285x+2.78290.02850.827上升温度值y=0.157x+32.39050.15704.553上升

4.3 Sen’s斜率估计与Mann-Kendall法分析

本实例中时间序列长度为30，采用统计量Z来进行趋势检验，检验中取显著性水平α=0.05,Z1-α/2=Z0.975=1.96。

由Sen’s斜率估计计算得到斜率β的值。

定义趋势幅度为

p=(n-1)β

(8)

采用Mann-Kendall法对该序列进行仿真，结果如图5～图7所示。观察图5～图7的UFk统计量曲线可知轴承L值、振动值和温度值在每个时间段的变化趋势，大于零的区域为上升趋势，小于零的区域为下降趋势。UFk与UBk曲线在显著水平线以内的交点便是序列的突变点。

从图5可以看出，L值在第8个测量点(2013年12月8日)开始突变，从第14个测量点(2013年12月14日)开始呈显著上升趋势。

图5 轴承L值的Mann-Kendall 统计曲线

Fig.5Mann-KendallstatisticalcurvesofLvalueforthebearing

图6 轴承振动值的Mann-Kendall 统计曲线

Fig.6Mann-Kendallstatisticalcurvesofvibrationvalueforthebearing

图7 轴承温度值的Mann-Kendall 统计曲线

Fig.7Mann-Kendallstatisticalcurvesoftemperatureforthebearing

从图6可以看出，振动值在第3个测量点(2013年12月3日)开始突变，并从此时开始，呈上升趋势 。从第6个测量点(2013年12月6日)到第15个测量点(2013年12月15日)间，序列呈显著上升趋势。

从图7可以看出，温度值在第1个测量点(2013年12月1日)到第14个测量点(2013年12月14日)间，序列呈下降趋势，尤其在第6和第7个测量点(2013年12月6日、7日)，序列呈显著下降趋势；从第15个测量点(2013年12月15日)开始，序列呈上升趋势。

Sen’s斜率估计和Mann-Kendall检验的结果如表2所示。

表2 轴承L值、振动值和温度值的Sen’s斜率估计与Mann-Kendall分析结果Table 2 Analysis results based on Mann-Kendall and Sen’s slope methods of L value,vibration value and temperature for the bearing

注：*表示通过了0.05显著性检验。

比较表1和表2可知， Sen’s斜率估计与Mann-Kendall法相结合的方法用于分析设备运行趋势时，得到的趋势结果与一元线性回归得到的趋势结果一致，轴承L值、振动值、温度值均呈上升趋势，其中L值呈显著上升;L值、振动值、温度值在30 d内的增幅分别为0.240、0.362、4.260，与一元线性回归得到的相应值仅分别相差0.003、0.465、0.293，差值较小，表明本文方法具有可行性。

4.4 设备运行趋势分析

采用本文方法对设备运行趋势进行分析。定义幅度变化率R为

R=p/E

(9)

式中：E为该序列的平均值。

式(9)中，R>0表示序列呈上升趋势，R<0表示序列呈下降趋势。该企业根据设备维修历史数据以及长期的维修经验，总结出了设备出现或者将要出现问题时的轴承L值、振动值和温度值的幅度变化率阈值分别约为20%、20%和30%，幅度变化率超过阈值时，表明设备运行趋势差。

轴承L值、振动值和温度值中，只要有一个指标的趋势结果为差，就进入逻辑分析模块，依据一系列逻辑分析，判断该设备是否需要检修，并最终生成检修报表。由Sen’s斜率估计和Mann-Kendall法对该企业油泵的运行趋势进行分析，结果如表3所示。由表3可知，该设备轴承振动值、温度值的幅度变化率均在正常范围内，但轴承L值趋势幅度变化率达到了36.41%，超过了其阈值(20%)，故该设备须进入逻辑分析模块，对其需要进行何种检修进行决策。

表3 设备趋势分析结果Table 3 Results of equipment trend analysis

5 结语

将Sen’s斜率估计与Mann-Kendall法相结合用于设备运行趋势的分析，由Sen’s斜率估计法计算时间序列的斜率，实现序列的趋势幅度估计，由Mann-Kendall法获得序列的突变时间及实现序列趋势的显著性分析，既可获得与一元线性回归法一致的结果，又可避免一元线性回归法受设备运行参数异常值影响的缺陷，适用于设备运行状态的趋势分析，可在基于状态监测的预防性维修工作中推广应用。

[1] 秦涛.基于状态监测的铁路线路预防性维修策略研究[D].北京：清华大学，2012:8-9．

[2] 陈水蓉．趋势分析在水质管理中的应用研究[D]．天津：天津师范大学，2010：16-19.

[3] 张爱静．东北地区流域径流对气候变化与人类活动的响应特征研究[D]．大连：大连理工大学，2013：30-32．

[4] 魏凤英．现代气候统计诊断与预测技术[M]．北京：气象出版社，1999:69-71．