一个向量恒等式的“四渡赤水”

徐兴生

人教A版教材必修四（2007年2月）《2.5.1平面几何中的向图1量方法》中例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图1，AC=AB+AD，DB=AB-AD，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？

解析 不妨设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-b.涉及长度问题常常考虑向量的数量积.我们计算|AC|2与|DB|2.|AC|2=AC·AC=（a+b）·（a+b）=|a|2+2a·b+|b|2. （1）

同理，|DB|2=|a|2-2a·b +|b|2. （2）

观察（1）、（2）两式的特点，我们发现，（1）+（2）得|AC|2+|DB|2=2（|a|2+|b|2）=2（|AB|2+|AD|2），即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

事实上教材中还有一个有用的结论没有点明：（1）-（2）得4a·b=|AC|2-|DB|2=4|AO|2-|DB|2，或4a·b=（a+b）2-（a-b）2.这不由得想起在初中代数中有一个常用的恒等式是：4ab=（a+b）2-（a-b）2，它是两个完全平方公式相减而成，而今在高中向量中有一个类似的恒等式是：4a·b=（a+b）2-（a-b）2或a·b=（a+b2）2-（a-b22）.它在我省有份量的考试中频频出现应用，同一知识点一考再考，深受命题专家的青睐，但考该知识点的载体大相庭径，体现虚虚实实，实实虚虚，颇有点像中国革命史上的“四渡赤水”.

题1 （2012年浙江省高考理科试题15）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则AB·AC=.

解析 此题方法有多种，法一：AB·AC=（AM+MB）·（AM+MC）=AM2+AM·（MB+MC）+MB·AC=|AM|2-|MB|2=-16.图2

法二（特例法）： 既然题目中没有讲什么三角形，不妨假设△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，如图2. 由AM=3，BC=10，得AB=AC=34. cos∠BAC=34+34-1002×34=-817.所以AB·AC=|AB||AC|cos∠BAC=-16.

法三（应用向量恒等式）：AB·AC=（AB+AC2）2-（AB-AC2）2=AM2-14CB2=9-25=-16.

下面2道题都有几种不同特色的解题方法，现只用法三中的向量恒等式来解.

题2 （2013年4月浙江省高中数学竞赛试题5）已知直线AB与抛物线y2=4x交于A、B两点，M为AB的中点，C为抛物线上一个动点，若C0满足C0A·C0B=min{CA·CB}，则下列一定成立的是（ ）.

A.C0M⊥AB B.C0M⊥l，其中l是抛物线过C0的切线

C.C0A⊥C0B D.C0M=12AB

解析 CA·CB=14[（CA+CB）2-（CA-CB）2]=CM2-14BA2.同理：C0A·C0B=C0M2-14BA.要使C0满足C0A·C0B=min{CA·CB}，则C0A·C0B≤CA·CB恒成立，即|C0M|≤|CM|恒成立，四个选择支逐一验证可选项B.

题3 （2013年浙江省高考理科试题7）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=14AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB·PC≥P0B·P0C，则（ ）.

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC D. AC=BC

解析 取BC中点M，则PB·PC=14[PB+PC）2-（PB-PC）2]=PM2-14CB2.同理：P0B·P0C=P0M2-14CB2.要使恒有PB·PC≥P0B·P0C，则PM2≥P0M2恒成立，即|PM|≥|P0M|恒成立.

图3所以P0M恒为直线AB的垂线段，即P0M⊥AB（如图3）.又取AB中点N，则MN=MB，而MN=12AC，MB=12BC，所以AC=BC，选项D.

值得一提的是，题3借助向量的手段考查初中平面几何一个耳熟能详的常用定理 “直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短.”无独有偶，05年浙江省理科第10题就已考过类似的知识点：

（2005年浙江省理科第10题）已知向量，a≠e，|e|=1，满足对任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，则（ ）.

A.a⊥e B.a⊥（a-e）

C.e⊥（a-e）D.（a+e）⊥（a-e）

解析 设AB=e，AC=a，AD=te，则|DC|=|a-te|，|BC|=|a-te|.要使恒有|a-te|≥|a-e|，则|DC|≥|BC|.如图4，可知CB⊥AB，即a⊥（a-e）.同理，若点D在AB的反向延长线上，结论也一样.选C.图4

更巧的是06年全国高中数学竞赛第1小题和上面考题如出一辙：已知△ABC，若对任意t∈R，|BA-tBC|≥|AC|，则△ABC（ ）.

A.必为锐角三角形 B.必为钝角三角形

C.必为直角三角形 D.答案不确定

我们在复习讲评一道题目时，用多种方法有些时候不一定是好事，一方面学生一下难接受，结果一种方法都没学会；另一方面考试时，学生在各种方法之间检索，乱凑方法，凑不到方法反而扰乱心情.其实有时一招走遍天下更好，用数学术语讲就是要抓住数学问题的本质，抓住核心知识点.

人教A版教材必修四（2007年2月）《2.5.1平面几何中的向图1量方法》中例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图1，AC=AB+AD，DB=AB-AD，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？

解析 不妨设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-b.涉及长度问题常常考虑向量的数量积.我们计算|AC|2与|DB|2.|AC|2=AC·AC=（a+b）·（a+b）=|a|2+2a·b+|b|2. （1）

同理，|DB|2=|a|2-2a·b +|b|2. （2）

观察（1）、（2）两式的特点，我们发现，（1）+（2）得|AC|2+|DB|2=2（|a|2+|b|2）=2（|AB|2+|AD|2），即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

事实上教材中还有一个有用的结论没有点明：（1）-（2）得4a·b=|AC|2-|DB|2=4|AO|2-|DB|2，或4a·b=（a+b）2-（a-b）2.这不由得想起在初中代数中有一个常用的恒等式是：4ab=（a+b）2-（a-b）2，它是两个完全平方公式相减而成，而今在高中向量中有一个类似的恒等式是：4a·b=（a+b）2-（a-b）2或a·b=（a+b2）2-（a-b22）.它在我省有份量的考试中频频出现应用，同一知识点一考再考，深受命题专家的青睐，但考该知识点的载体大相庭径，体现虚虚实实，实实虚虚，颇有点像中国革命史上的“四渡赤水”.

题1 （2012年浙江省高考理科试题15）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则AB·AC=.

解析 此题方法有多种，法一：AB·AC=（AM+MB）·（AM+MC）=AM2+AM·（MB+MC）+MB·AC=|AM|2-|MB|2=-16.图2

法二（特例法）： 既然题目中没有讲什么三角形，不妨假设△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，如图2. 由AM=3，BC=10，得AB=AC=34. cos∠BAC=34+34-1002×34=-817.所以AB·AC=|AB||AC|cos∠BAC=-16.

法三（应用向量恒等式）：AB·AC=（AB+AC2）2-（AB-AC2）2=AM2-14CB2=9-25=-16.

下面2道题都有几种不同特色的解题方法，现只用法三中的向量恒等式来解.

题2 （2013年4月浙江省高中数学竞赛试题5）已知直线AB与抛物线y2=4x交于A、B两点，M为AB的中点，C为抛物线上一个动点，若C0满足C0A·C0B=min{CA·CB}，则下列一定成立的是（ ）.

A.C0M⊥AB B.C0M⊥l，其中l是抛物线过C0的切线

C.C0A⊥C0B D.C0M=12AB

解析 CA·CB=14[（CA+CB）2-（CA-CB）2]=CM2-14BA2.同理：C0A·C0B=C0M2-14BA.要使C0满足C0A·C0B=min{CA·CB}，则C0A·C0B≤CA·CB恒成立，即|C0M|≤|CM|恒成立，四个选择支逐一验证可选项B.

题3 （2013年浙江省高考理科试题7）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=14AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB·PC≥P0B·P0C，则（ ）.

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC D. AC=BC

解析 取BC中点M，则PB·PC=14[PB+PC）2-（PB-PC）2]=PM2-14CB2.同理：P0B·P0C=P0M2-14CB2.要使恒有PB·PC≥P0B·P0C，则PM2≥P0M2恒成立，即|PM|≥|P0M|恒成立.

图3所以P0M恒为直线AB的垂线段，即P0M⊥AB（如图3）.又取AB中点N，则MN=MB，而MN=12AC，MB=12BC，所以AC=BC，选项D.

值得一提的是，题3借助向量的手段考查初中平面几何一个耳熟能详的常用定理 “直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短.”无独有偶，05年浙江省理科第10题就已考过类似的知识点：

（2005年浙江省理科第10题）已知向量，a≠e，|e|=1，满足对任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，则（ ）.

A.a⊥e B.a⊥（a-e）

C.e⊥（a-e）D.（a+e）⊥（a-e）

解析 设AB=e，AC=a，AD=te，则|DC|=|a-te|，|BC|=|a-te|.要使恒有|a-te|≥|a-e|，则|DC|≥|BC|.如图4，可知CB⊥AB，即a⊥（a-e）.同理，若点D在AB的反向延长线上，结论也一样.选C.图4

更巧的是06年全国高中数学竞赛第1小题和上面考题如出一辙：已知△ABC，若对任意t∈R，|BA-tBC|≥|AC|，则△ABC（ ）.

A.必为锐角三角形 B.必为钝角三角形

C.必为直角三角形 D.答案不确定

我们在复习讲评一道题目时，用多种方法有些时候不一定是好事，一方面学生一下难接受，结果一种方法都没学会；另一方面考试时，学生在各种方法之间检索，乱凑方法，凑不到方法反而扰乱心情.其实有时一招走遍天下更好，用数学术语讲就是要抓住数学问题的本质，抓住核心知识点.

人教A版教材必修四（2007年2月）《2.5.1平面几何中的向图1量方法》中例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图1，AC=AB+AD，DB=AB-AD，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？

解析 不妨设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-b.涉及长度问题常常考虑向量的数量积.我们计算|AC|2与|DB|2.|AC|2=AC·AC=（a+b）·（a+b）=|a|2+2a·b+|b|2. （1）

同理，|DB|2=|a|2-2a·b +|b|2. （2）

观察（1）、（2）两式的特点，我们发现，（1）+（2）得|AC|2+|DB|2=2（|a|2+|b|2）=2（|AB|2+|AD|2），即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

事实上教材中还有一个有用的结论没有点明：（1）-（2）得4a·b=|AC|2-|DB|2=4|AO|2-|DB|2，或4a·b=（a+b）2-（a-b）2.这不由得想起在初中代数中有一个常用的恒等式是：4ab=（a+b）2-（a-b）2，它是两个完全平方公式相减而成，而今在高中向量中有一个类似的恒等式是：4a·b=（a+b）2-（a-b）2或a·b=（a+b2）2-（a-b22）.它在我省有份量的考试中频频出现应用，同一知识点一考再考，深受命题专家的青睐，但考该知识点的载体大相庭径，体现虚虚实实，实实虚虚，颇有点像中国革命史上的“四渡赤水”.

题1 （2012年浙江省高考理科试题15）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则AB·AC=.

解析 此题方法有多种，法一：AB·AC=（AM+MB）·（AM+MC）=AM2+AM·（MB+MC）+MB·AC=|AM|2-|MB|2=-16.图2

法二（特例法）： 既然题目中没有讲什么三角形，不妨假设△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，如图2. 由AM=3，BC=10，得AB=AC=34. cos∠BAC=34+34-1002×34=-817.所以AB·AC=|AB||AC|cos∠BAC=-16.

法三（应用向量恒等式）：AB·AC=（AB+AC2）2-（AB-AC2）2=AM2-14CB2=9-25=-16.

下面2道题都有几种不同特色的解题方法，现只用法三中的向量恒等式来解.

题2 （2013年4月浙江省高中数学竞赛试题5）已知直线AB与抛物线y2=4x交于A、B两点，M为AB的中点，C为抛物线上一个动点，若C0满足C0A·C0B=min{CA·CB}，则下列一定成立的是（ ）.

A.C0M⊥AB B.C0M⊥l，其中l是抛物线过C0的切线

C.C0A⊥C0B D.C0M=12AB

解析 CA·CB=14[（CA+CB）2-（CA-CB）2]=CM2-14BA2.同理：C0A·C0B=C0M2-14BA.要使C0满足C0A·C0B=min{CA·CB}，则C0A·C0B≤CA·CB恒成立，即|C0M|≤|CM|恒成立，四个选择支逐一验证可选项B.

题3 （2013年浙江省高考理科试题7）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=14AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB·PC≥P0B·P0C，则（ ）.

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC D. AC=BC

解析 取BC中点M，则PB·PC=14[PB+PC）2-（PB-PC）2]=PM2-14CB2.同理：P0B·P0C=P0M2-14CB2.要使恒有PB·PC≥P0B·P0C，则PM2≥P0M2恒成立，即|PM|≥|P0M|恒成立.

图3所以P0M恒为直线AB的垂线段，即P0M⊥AB（如图3）.又取AB中点N，则MN=MB，而MN=12AC，MB=12BC，所以AC=BC，选项D.

值得一提的是，题3借助向量的手段考查初中平面几何一个耳熟能详的常用定理 “直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短.”无独有偶，05年浙江省理科第10题就已考过类似的知识点：

（2005年浙江省理科第10题）已知向量，a≠e，|e|=1，满足对任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，则（ ）.

A.a⊥e B.a⊥（a-e）

C.e⊥（a-e）D.（a+e）⊥（a-e）

解析 设AB=e，AC=a，AD=te，则|DC|=|a-te|，|BC|=|a-te|.要使恒有|a-te|≥|a-e|，则|DC|≥|BC|.如图4，可知CB⊥AB，即a⊥（a-e）.同理，若点D在AB的反向延长线上，结论也一样.选C.图4

更巧的是06年全国高中数学竞赛第1小题和上面考题如出一辙：已知△ABC，若对任意t∈R，|BA-tBC|≥|AC|，则△ABC（ ）.

A.必为锐角三角形 B.必为钝角三角形

C.必为直角三角形 D.答案不确定

我们在复习讲评一道题目时，用多种方法有些时候不一定是好事，一方面学生一下难接受，结果一种方法都没学会；另一方面考试时，学生在各种方法之间检索，乱凑方法，凑不到方法反而扰乱心情.其实有时一招走遍天下更好，用数学术语讲就是要抓住数学问题的本质，抓住核心知识点.