时间分数阶中立型时滞微分方程的数值解法

张艳敏

(青岛理工大学 琴岛学院， 山东 青岛 266106)

分数阶微分方程比较于整数阶的微分方程来说，能更好的描述自然科学和工程领域现象发生.随着大量分数阶方程在各个领域的出现，对此类方程的研究已经引起了学者们的广泛关注.由于这些方程的精确解很难获得，所以对数值方法的研究就非常重要.目前对分数阶时滞微分方程的研究相关文献还较少[1-4]，数值方法的研究就更少了[3-4]，所以研究此类方程的数值解法就尤其重要.

本文将考虑如下初边值时间分数阶时滞抛物方程的数值解：

0<α<1,0<α，函数g(x,t)，f(x,t),φ0(t),φ1(t)已知且连续，L>0,T>0，分数阶导数为Caputo分数阶导数[5].

1差分格式的构造

(2)

(3)

(4)

对式(3)分解成：

(5)

(6)

2稳定性的证明

定理1差分格式(5)、(6)无条件稳定.

ωk=(k+1)1-α-k1-α，所以有1=ω0>ω1>…>ωk>ωk+1>…>0.

由差分格式(5)、(6)得误差方程：

(7)

(8)

(9)

(10)

3收敛性的证明

定理2差分格式(5)、(6)无条件收敛.

由式(5)、(6)和局部截断误差得

(11)

(12)

(13)

(14)

4 数值算例

u(x,t)=tex，0≤x≤1,-1≤t≤0；u(0,t)=t,u(1,t)=et，0

精确解u(x,t)=tex，τ=1，Δt=0.005，h=0.1，数值计算结果如下：

表1 数值解的相对误差

因此该数值解法是有效的.

[1] 伊婕.变分迭代法关于Caputo分数阶常微分方程和中立型比例延迟微分方程的收敛性分析[D].长沙：湘潭大学,2010.

[2] 杨水平.关于分数阶多阶延迟微分方程的解的存在性[J]. 惠州学院学报：自然科学版,2011,31(3):29-31.

[3] 潘新元.两类分数阶延迟微分方程及其数值方法的渐近稳定性[D].长沙：湘潭大学,2009.

[4] 冯日月.分数阶延迟微分方程数值方法的研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学, 2009.

[5] Podlubny I. Frcational Differential Equations[M]. San Diego：Academic Press,1999.

[6] 马亮亮.时间分数阶扩散方程的数值解法[J].数学的实践与认识，2013，43(10):248-253.

[7] 金承日,潘有思.时间分数阶色散方程的有限差分法[J].黑龙江大学：自然科学学报,2011,28(3):291-294.