热传导方程的修正C-N格式及稳定性分析

何巧玲， 阿布都热西提·阿布都外力

(新疆大学 数学与系统科学学院， 新疆 乌鲁木齐 830046)

1 热传导方程及差分格式的构造

考虑热传导方程

(1)

式中：u=u(x,t)是扩散过程中某种物质的浓度，或者固体产热过程中在x处t时刻的温度；f(x),g(t),h(t)是已知函数.

(2)

2 新差分格式的引入

热传导方程的显示格式为

即得

(3)

由(3)式可得

(4)

(1)1

(5)

此法为热传导方程显示的五点差分格式.

3 五点差分格式的稳定性

即

即

(1+r)vn+1=[r2cos2kh+2(r-r2)coskh+1-r+r2]vn

令coskh=t,t∈[-1,1]，则

(1+r)vn+1=(2r2t2+2(r-r2)t+1-r)vn

于是格式(5)的稳定性条件为r≤3.

4 关于收敛性定理

证明格式(5)U(xj,tn)在(xj,tn)对时间变量t进行泰勒展开

(6)

5 数值实验

对定解问题

(i)τ=0.008,h=0.0 167,从图(1)可以看到C-N格式(2)虽然是无条件稳定的，但在不连续的边界附近有振动.当然，理论上讲，C-N格式对某些参数的选取会出现计算不稳定、编程复杂、计算量大等缺点.

(ii)τ=0.008,h=0.0 334，从图(2)可以看到修正C-N格式(5)满足稳定性条件为r≤3，在不连续的边界附近图像很光滑且没有任何振动，修正C-N格式不会出现不稳定的现象，节省计算工作量而且利用格式本身就可以计算出第一时间层上的值，这就克服了隐格式解线性方程组的缺点.求解热传导方程的显修正C-N格式丰富了数值求解热传导方程的理论方法.

图1 t=0.01时，C-N格式的计算结果和准确值比较 图2 t=0.01时，修正C-N格式的计算结果和准确值比较

本文提出了一种修正Crank-Nicolson法，是r≤3显格方法．结果表明，该方法具有计算简单、稳定性好的优点，是求解热传导方程的有效实用方法．

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