时变竞争种群模型的反射函数及其周期解

潘颖昕, 刘文俊

(1.如皋高等师范学校 数理与信息技术系， 江苏 如皋 226500；2.扬州大学 数学科学学院， 江苏 扬州 225002)

我们知道时变竞争种群模型可以用来刻画生物种群的变化规律，对于自治的时变竞争种群模型，通过广大数学家的深入研究已取得了丰富的成果[1-4]．然而对于非自治的情形，由于模型的复杂性，往往很困难.在本文中我们首次应用MIRONENKO[5-7]反射函数法来研究时变竞争种群模型周期解的形态，由于方法的新颖，因此必将得出许多新的成果．为方便起见，我们首先简单介绍有关反射函数的概念．

1 基本概念及基本定理

假设微分系统

x′=X(t,x),t∈R,x∈Rn

(1)

右端连续可微，满足解的存在唯一性定理的条件．

定义1[5]设F(t,x)为n维连续可微的向量函数，并满足

(2)

则称F(t,x)为微分系统(1)的反射函数．

引理1[5]若X(t+2ω)=X(t)，且F(t,x)为式(1)的反射函数，则式(1)的Pincaré映射为T(x)=F(-ω,x)，从而式(1)在[-ω,ω]有定义的解x=φ(t;-ω,x0)为2ω-周期解当且仅当F(-ω,x0)=x0．

定义2[5]若函数F(t,x)满足F(-t,F(t,x))=F(0,x)，则称微分系统

x′=-(Fx(t,x)+E)-1Ft(t,x)

(3)

为以F(t,x)为反射函数的简单微分系统．由文献[5]知，微分系统

(4)

与微分系统(3)具有相同的反射函数F(t,x)，从而当它们为t的2ω-周期系统时，这些微分系统(4)的周期解的形态相同，这里R(t,x)为任意连续可微函数．

考虑时变竞争种群模型

(5)

这里ai(t),i=0,1,2,bj(t),j=0,1,2,3,4,5为连续可微函数，并保证微分系统(5)的初值问题的解存在唯一．由于a2(t)≡0时，系统(5)为可积系统，从而其解的形态是已知的，所以这里假设a2(t)不恒为零．

假设F(t,x,y)=(F1(t,x,y),F2(t,x,y,))T为微分系统(5)的反射函数．我们首先讨论当微分系统(5)为以F(t,x,y)为反射函数的简单微分系统时，函数F(t,x,y)的结构形式，接着讨论微分系统(5)具有某些函数为反射函数的充分条件，并应用所得结论讨论微分系统(5)的周期解的形态．

2 主要结果

若微分系统(5)为简单系统，则由文献[5]得

(6)

(7)

这里及下文中记

F1∶=F1(t,x,y),F2∶=F2(t,x,y).

由假设a2(t)≠0，则由式(6)得

(8)

将式(8)代入式(7)得

(9)

式中

引理2若微分系统(5)为以F(t,x,y)为反射函数的简单微分系统且A6≠0，则F(t,x,y)为x,y的有理分式．

证明因为A6≠0，所以式(9)可改写为

(10)

(11)

式中

B0=Dλ0+λ1P,B1=Dλ1-2λ2P,B2=Dλ2-3λ3P,

B3=Dλ3-4λ4P,B4=Dλ4-5λ5P,B5=Dλ5-6P,

Dλi=λit+λixP+λiyQ,i=0,1,2,3,4,5.

由于λ5为t的函数，而P为关于t,x,y的函数，故B5≠0，则式(11)可改写为

(12)

(13)

式中

C0=λ0-λ5μ0+μ0μ4,C1=λ1-λ5μ1+μ1μ4-μ0,C2=λ2-λ5μ2+μ2μ4-μ1,

情形1若C4≠0，则由式(13)得

(14)

(15)

式中

D0=Dk0-k1P,D1=Dk1-2k2P,D2=Dk2-3k3P,D3=Dk3-4P,

Dki=kit+kixP+kiyQ,i=0,1,2,3.

1)若D3≠0，则式(15)可改写为

(16)

(17)

式中

(1)若E2≠0，则由式(17)得

(18)

G0+G1F1=0

(19)

式中

(b)若G1≡0,则由式(19)得G0≡0，整理得

(20)

又对方程(16)作变换F1=Z-v2可得

(21)

(3)若E2≡0,E1≡0则由式(17)得E0≡0，整理得

(22)

对式(14)作变换F1=G-k3可得

(23)

2)若D3≡0,D2≠0或D3≡0,D2≡0,D1≠0，易得定理结论成立.

δ0+δ1H+δ2H2+H4=0

(24)

式中

因此，将式(24)中t用-t替代可得

(25)

情形2若C4≡0，与情形Ⅰ同理可得定理的结论成立．

与引理2同理可得

引理3若微分系统(5)为以F(t,x,y)为反射函数的简单微分系统且A6≡0，则F(t,x,y)为x,y的有理分式．

由引理2及引理3可得

定理1若微分系统(5)为以F(t,x,y)为反射函数的简单微分系统，则F(t,x,y)为x,y的有理分式．

下面我们讨论微分系统(5)何时具有线性和一次有理分式形式的反射函数．

F(t,x,y)=(α(t)x,β(t)y)T

(26)

证明在定理的条件下容易验证函数(26)为Cauchy问题(2)的解，从而函数(26)为微分系统(5)的反射函数．再由引理1及文献[5]可得定理的结论成立．

(27)

式中

此外，若微分系统(5)为t的2ω-周期系统，则

证明在定理的条件下容易验证函数(27)为Cauchy问题(2)的解，从而函数(27)为微分系统(5)的反射函数．当微分系统(5)为2ω-周期系统时，由文献[5]知，此时该周期系统的Poincaré映射为T(x,y)=F(-ω,x,y),由引理1可得该定理的结论成立．

例1微分系统

以F(t,x,y)=(x,y)T为反射函数，由于F(-π,x,y)=(x,y)T，故该微分系统在[-π,π]上有定义的解皆为2π-周期解.

例2微分系统

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