指数保费原理下的广义线性模型信度估计

赵 珍, 吴黎军

(新疆大学 数学与系统科学学院， 新疆 乌鲁木齐 830046)

信度保费定价是保险公司对保费的一个合理定价过程，依赖于保单组合的过去索赔经历.最经典的信度理论是Buhlmann[1]信度理论，他建立了任意分布下的信度理论.同时，在保险精算中，许多信度理论都建立在指数分布族框架上，详细内容可参考文献[2-4].但是在这些信度理论中得到的保费没有正的安全负荷性，是纯保费，所以保险公司为了避免破产，必须引入恰当的保费原理来解决这一问题，也就是将经典信度模型中的平方损失函数修改为其他损失函数，文献[5]给出了分位数损失函数、幂加权损失函数等许多损失函数下的保费原理.文献[6]指出了指数损失函数下对应的指数保费原理的信度估计.

但是，在广义线性模型中，对多水平费率的厘定同样是信度理论定价的一个重要内容,也是非寿险精算中最普遍用的技术,即在给定水平下的保费可以用当前水平下的经验数据来估计[7].Nelder和Verrall[8]首次把信度理论扩展到广义线性模型框架下，他们证明了对于多水平因子的费率厘定具有相似的Buhlmann估计.与此同时，Nelder和Verrall还推导出了在具有普通费率因子时，单个多水平费率因子也能得到相似的信度估计.自20世纪90年代后期以来，关于多水平费率因子的信度估计受到了越来越多的精算学者的关注. Kass[9]等推广了除多水平外还有普通费率因子的情况,得到了加权观测值下的精确信度模型.Ohlsson 和Johansson[10]讨论了基于指数分布族模型与广义线性混合模型中随机效应之间的关系；与此同时，Ohlsson 和Johansson[11]还使用另外一种方法，即在信度模型框架下引入固定效应，得到了相同的信度估计.Garrido和Zhou[12]首次把古典信度理论与广义线性模型相结合，建立了相应的信度模型.但是以上这些广义线性模型的信度估计都是在平方损失函数下建立的,所以对模型而言得到的保费同样都是纯保费,不具有正的安全负荷性,这样保险公司注定会破产.为了解决这一问题,本文在考虑指数保费原理的基础上,进一步利用指数损失函数的方法，把古典信度理论与广义线性模型相结合来讨论相应的信度估计．

1 模型的准备与假设

1.1 广义线性模型

在古典线性回归模型中，假设因变量服从正态分布，方差为常数，解释变量通过线性相加关系直接影响因变量本身.而广义线性模型假设因变量来自于指数分布族，其方差随着均值而变化，解释变量通过线性相加关系对因变量的期望值的某种变换产生影响.若Yi是第i个观测值且服从指数分布族，则其密度函数可以表示为

式中：b(θi)，c(yi,φ,wi)为已知函数，φ>0对所有的观察值具有相同的形式，wi为权重，b(θi)的二阶导数存在且大于零.c(yi,φ,wi)与参数θi无关.观察值Yi的均值和方差分别为

E(Yi)=b′(θi)，var(Yi)=φυ(μi)/wi

(1)

其中υ(μi)=b″(b′-1(μi))是方差函数.

1.2 信度模型

多水平因子的费率厘定是应用信度理论定价的一个重要内容. 给定水平下的保费可以用当前水平下的经验数据来估计，这一过程主要借用广义线性模型来实现.首先，我们只考虑一个单一的多水平因子的费率厘定.

设Yjt是在多水平j下的第t个观察值的关键费率，j=1,2,…,J.Uj是在多水平j下的随机效应.则基本模型为

E(eαYjt|Uj)=μαUj

(2)

其中E(Uj)=1，E(eαYjt)=μα，α>0为已知参数.

为了计算方便，令Vj=μαUj，E(Vj)=μα，则

E(eαYjt|Vj)=Vj

(3)

(4)

因此得到下面的假设.

假设1(a)随机向量(Yjt,Vj)，j=1,…,J是独立的.

(c)在Vj的条件下，Yjt相互独立，均值和方差满足(3)和(4)式.

定义1 指数损失函数为

L(x,p)=(eαY-eαp)

(5)

其中α>0是已知参数.

2 信度理论

2.1 信度估计

类似于经典的信度理论，信度估计可以定义为：将估计限定在某些线性函数类中.在损失函数(5)式下，求解下面的最小化问题

minE(c0+∑tcteαYt-eαp)2

(6)

为求上述最小化问题，我们先给出下面的引理.

(7)

(8)

证明令Xt=eαYt，求解最小化问题(6)式就是求解minE(c0+∑tctXt-V)2.

令h(X)=c0∑tctXt，则

[E(h(X)-V)]2

则

有最小值.

定理1在假设1成立时，求解最优化问题(6)得到的最优估计为

证明根据引理1，只需证明

满足(7)和(8)式.因

cov(Vj,eαYjt=cov[Vj,E(eαYjt|Vj)]=

当s≠t时，cov(eαYjs,eαYjt)=E[cov(eαYjs,eαYjt|Vj)]+cov[E(eαYjs|Vj),E(eαYjt|Vj)]=0+

当s=t时，cov(eαYjs,eαYjt=var(eαYjt=

因此

2.2 结构参数的估计

因此

则

3 乘法模型中的信度估计

下面考虑如何把广义线性模型和信度理论联合起来同时得到普通费率因子和多水平因子的估计.在这里，我们只考虑一个单一的多水平因子，普通费率因子可以是任意多个.例如房屋保险，考虑房子的类型、建筑面积和地理区域.把房子的类型、建筑面积作为普通费率因子，地理区域作为多水平因子，则(2)式可以推广为

(9)

设Yijt是关键费率，则(9)式可以被推广到有R个普通费率因子的情形，即

(10)

E(eαYijt|Vj)=γiVj

(11)

(12)

则得到下面假设.

假设2(a)随机向量(Yijt,Vj)，j=1,…,J独立.

(b)Vj，j=1, …,J是同分布.E(Vj)=μα，

(c)对于任何j，在Vj的条件下，Yijt是相互独立的，且均值和方差满足(11)和(12)式.

令

(13)

则

(14)

定理4在假设2成立时，保费p的估计为

随机效应为

4 结束语

本文利用信度理论的方法，考虑在指数保费原理下信度理论与广义线性模型中随机效应之间的关系来讨论相应的信度估计，分别得到了在该指数保费原理下多水平因子以及普通费率因子与多水平因子相结合的信度保费估计，并且给出了结构参数的估计. 结果表明，所得的信度公式具有经典的信度形式，这一结果推广了经典的信度模型．

[1] Bühlmann H． Experience rating and credibility [J]． Astin Bulletin，1967,4(3)：199-207．

[2] Bühlmann H, Gisler A．A course in credibility theory and its applications [M]. Netherlands: Springer,2005.

[3] Sundt B．An introduction to non-life insurance mathematics [M]. 3rd version. Ann Arbor: University of Michigan, 1999.

[4] Virginia A. Effective actuarial methods [C]// Zimmermann. Proceedings of the 6th International Conference on Knowledge Management: Projects, Systems and Technologies. Bucharest: Economic Research Department, Federal Reserve Bank of St. Louis, 2011：39-44.

[5] Heilmann W R. Decision theoretic foundations of credibility theory [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 1989,8:77-95.

[6] 温利民，吴贤毅.指数保费原理下的经验厘定[J]. 中国科学，2011，41(10)：861-876.

[7] Nelder J A，Wedderbum R W M. Generalized linear models [J]．Journal of the Royal Statistical Society, 1972, 135(3): 370-384．

[8] Nelder J A，Verrall R J．Credibility theory and generalized linear models [J]. Astin Bulletin，1997，27(1)：71-82.

[9] Kass R, Dannenburg D, Goovaerts M J . Exact credibility for weighted observations [J]. Astin Bulletin, 1997, 27(3): 287-295.

[10] Ohlsson E, Johansson B．Combining generalized linear and models and credibility models in practice[J]．Scandinavian Actuarial Journal，2003, 4: 301-314．

[11] Ohlsson E，Johansson B．Credibility rating in a multiplicative tariff [J]．Astin Colloquium International Actuarial Association Brussels, 2004, 34(7)：1-15.

[12] Garrido J, Zhou J. Credibility theory for generalized linear and mixed models [R]. No.5/06, Montreal, Quebec: Concordia University, 2006.