在实践中培养兴趣在探究中提高能力

陈康金

[摘 要] 本文从“图形计数”“数字排列”“裁剪拼接”三类问题入手，分析如何组织活动引导学生归纳猜想，让学生获取成就感的同时，产生更大的动力去发现和创新.

[关键词] 归纳猜想；创新实践；初中数学

美国著名数学教育家乔治·波利亚曾指出：在我们证明一个数学定理之前，我们必须猜想到这个定理，在我们搞清楚证明细节之前，我们必须猜想出证明的主导思想. 数学猜想是指人们从已有知识经验的基础上对数学问题进行试探，从而形成某种假设的一种比较抽象的思维活动. 实践经验表明：在数学学习中，对研究的问题进行观察、比较联想等一系列非逻辑推理之后，再依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的合理猜想，不仅可使问题化难为易，还有助于培养学生良好的思维品质，促进智力的发展，从而提高解题能力. 本人在教学过程中，尝试从以下几类归纳猜想问题入手，组织学生参与数学活动，锻炼学生的观察动手能力，培养学生的创新意识.

图形计数问题

此类问题往往给出具有一定规律、逐渐变化的图形，要求探索该数学对象所具有的规律或不变的数学性质. 解决过程中需要大胆地进行猜想、分析、归纳、比较和推理，为学生创设探索、想象、创造的空间.

探究过程 学生四人一组，每组准备若干围棋子. 先动手尝试，再分组讨论，最后各组总结自己发现的规律和结论.

（1）观察：图①的棋子数为1，图②的棋子数为6，图③的棋子数为16……

（2）分析：图①为1；图②为6=1+5；图③为16=1+5+10……由此可以推知，图④有1+5+10+15颗棋子，图⑤有1+5+10+15+20颗棋子，图⑥有1+5+10+15+20+25颗棋子.

（3）结论：图⑥中棋子的颗数为1+5+10+15+20+25=76颗.

解决图形计数问题往往应从图形规律和数据特征两方面探求解题突破口，关键是让学生学会将发现的规律归纳成与序号有关的公式. 通过以上活动，很容易让学生体会到获取规律的乐趣，并充分感受到从特殊到一般、从简单到复杂的知识推理过程.

数字排列问题

此类问题重在发现数字特征，分析排列规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.

解析 为了找出数字排列规律，我们可先将前8行前8列的数字全部写出并用表格呈现. 从表格中我们发现：以第1行、第2行、第1列、第2列上的数字构成一个正方形，其中位于正方形的左下顶点，即第2行、第1列交叉处的数字是4（22）；以第1行、第3行、第1列、第3列上的数字构成一个正方形，其中位于正方形的右上顶点，即第1行、第3列交叉处的数字是9（32）；以第1行、第4行、第1列、第4列上的数字构成一个正方形，其中位于正方形的左下顶点，即第4行、第1列交叉处的数字是16（42）；以第1行、第5行、第1列、第5列上的数字构成一个正方形，其中位于正方形的右上顶点，即第1行、第5列交叉处的数字是25（52）；…，所以可以得到行的数字排列规律为，位于偶数行第1列的数是行的平方，且第n（偶数）行的前n个数是从n2开始的连续递减的自然数；列的数字排列规律为，位于奇数列第1行的数字是列的平方，第n（奇数）列的前n个数是从n2开始的连续递减的自然数.

如果从行的数字排列规律入手推算，由于第6行的第一个数是62=36，所以第6行的前六个数分别是36，35，34，

33，32，31，无从得知第7个数及其以后的数字.

如果从列的数字排列规律入手推算，由于第45列的第一个数是452=2025，所以第45列前45行的数分别是2025，2024，2023，2022，2021，2020，2019，

2018，…，所以位于第6行第45列的数是2020.

数字排列的问题，关键在于由数的位置分析数的大小规律，既培养阅读观察能力，又提高计算分析能力. 更重要的是，能让学生发现生活中的数原来这么有趣味、有规律，还有更多的奥秘等待他们去探索、去发现.

裁剪拼接问题

此类问题要求学生有较强的动手能力和观察能力，还能有效培养学生的空间想象能力. 解决此类问题，第一，要注意挖掘图形的特征；第二，要注意根据特征寻找其中变化的规律；第三，要根据规律大胆地进行尝试性猜想；第四，要注意对已作出的猜想进行验证并得出结论.

例3 阅读下列材料：小文遇到这样一个问题：有2个同样大小的正方形纸片，排列形式如图2所示，将它们分割后拼成一个新的正方形.

小文是这样做的：沿对角线剪开，按图3表示的方法，就可以拼接成一个新的正方形DENB.

（1）请你也参考小文的作法解决下面问题：

现在有两个边长分别为2和1的正方形纸片，排列形式如图4所示，请将其分割后也拼成一个新的正方形. 要求：在图4和图5中分别画出两个拼接成的新正方形.

（2）求出拼接后正方形的面积.

（3）如图6所示，已知点E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的中点，如果想使中间阴影小正方形的面积是5，那么大正方形ABCD的边长应该是多少？

探究过程留给读者自己完成.

在整个探索过程中，由特殊到一般的思想方法引领我们认真观察、分析，先由特例蕴涵的特点出发，探寻规律，再得出一般结论，完成创造过程. 所以，活动过程中，不仅要关注学生是否找到了规律，更应关注学生是否进行了思考，教师尤其应鼓励学生相互合作、交流，进一步探索.

在初中数学学习中，归纳法扮演着很重要的角色，它启发我们思考，帮助我们猜想，从中发现规律. 尽管某些个别情况下成立的结论在一般情况下不一定成立，因为“我们用最简单的归纳方法所得到的真理，并不总是完全的，因为经验可能是不完备的”，但我们决不能低估这种归纳和猜想在数学学习或今后从事科学研究中的重要作用. 就人类的认识顺序来说，总是先认识个别的、特殊的事物，再逐步地扩大到认识一般的事物，这就是由特殊到一般的认识过程. 大数学家高斯说过：“如果没有大胆而放肆的猜想，那么我们就可能无法谈科学的发现. ”归纳法虽不能证明真理，却是探索真理的有力钥匙，能提供发现真理的线索.

作为初中数学教师，应积极地创设问题情境，引导学生进行发现式的探究学习，并运用观察、归纳、猜想、类比、验证等手段，进行数学猜想，使学生体验到探究的乐趣，逐步增强数学实践能力和探索能力，这些都能为今后的创新发明打下坚实的基础.