六种求三角函数最值的思维方法

张建禄

摘 要 三角函数是数学中重要的函数概念，它和其它数学知识有着密切的联系，且常常在学习和研究其他数学知识时有着广泛的应用。在三角函数的学习中，三角函数最值的求法有着重要的地位。在求三角函数最值时的正确思维方法对学好三角函数知识是有意义的。

关键词 三角函数 最值 思维方法

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

Six Thinking Methods to Get the Most Value of Trigonometric Function

ZHANG Jianlu

（Yangquan Vocational Secondary School，Yangquan，Shanxi 045000）

Abstract Trigonometric function is an important function in Mathematics， it is closely linked with other mathematical knowledge， and there is often a wide range of applications in the study and research of other mathematical knowledge. In the study of trigonometric function， method for the best values of trigonometric function plays an important role. The correct thinking method in calculating the trigonometric function most value is meaningful to learn the knowledge of the trigonometric function.

Key words Trigonometric function； the most value； thinking method

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。三角函数是函数的一种重要的函数，三角函数的最值问题包括了对三角函数的概念、图像、性质及诱导公式、同角三角函数间基本关系式、两角和差以及倍角公式的考查，是函数思想的具体体现，有广泛的实际应用，一直是高考命题的热点。我们从以下六个方面举例介绍求三角函数的最值。

1 将已知函数转化为 = （ + ） + 的形式，其中“ ”表示“” “”等，再求已知函数的最值

求三角函数的最值问题的主要依据就是正弦、余弦函数的值域。求三角函数的最值时，常常通过恒等变换，使它转化为反含同名函数的各项。而恒等变换，一般要综合运用同角三角函数间的关系、和角、半角、半角的三角函数及和差化积、积化和差公式等转化为 = （ + ） + 的形式，只要能转化，问题就迎刃而解。

求 = + 的最值。

解： = （ + ）（ + ）

= （ + ）23 = 1

= 1 （1 ） = +

当 = （）时 = 1，当 = + （）时 = 。

2 应用平均值定理求最值

求函数 = （为锐角）的最大值。

解：∵ = >0

∴ = = 4·≤4（）3 =

∴当 = ，即 = 时， = 。

应用平均值定理求函数最值的基本思路就是建立不等式 （）≤或 （）≥，即通过分析将 （）放大或缩小成一个常数，这就是求最值的基本思维方法——放缩法，平均值定理是放缩法的一种极好手段。

3 应用二次函数判别式求最（极）值

求 = （，，其中为三角形内角）的最大值。

解：原函数化为 = [ ]

∴ + 2 = 0

= 8 ≥0∴ ≤≤

当 = 时， = = ，

所以当 = = 时， = 。

此题也可用放缩法解

= · ≤

= - （ ）2 + ≤。

注意在用放缩法时，等号必须成立。

4 应用函数的有界性

求 = 的值域。

解：由已知得：（） + （） = ——①

令 = ， =

①式化为 （ + ） =

∴∣∣≤

解得≤ - 或≥1，所求值域为（，- ]∪[1，）。

5 应用函数的单调性

已知 = + ， （0，），求的最小值。

解：令 = = ，则（0，）。∴ = + 。

6 利用数形结合

求函数 = 的最值。

图1

解：原函数变形为 = 这可看作点（）和（-2，0）的直线的斜率，而是单位圆 + = 1上的动点，由图1可知，过（-2，0）作圆的切线时，斜率有最值，由几何性质得 = ， = - 。

前面介绍了六种常见的求三角函数最值的思维方法，但在解题中并不固定于一种方法。如

求 = 的极值，用什么方法好呢？

解：

方法一：原式化为（） + - 4（）（）≥0 ≤≤8。显然≠，所以用 求出最小值。

方法二：用第一种方法化为 = （ + ） + 的形式，

原式化为 = + · = 0时， = 8。

当 = 1时， = 4。

方法三：利用函数的有界性，原式化为 = ，∵0≤≤1，∴0≤≤1解得4≤≤8，∴ = 8， = 4。

由上述例题可知数学问题形式多样，千姿百态，不要墨守成规，往往用多种方法互相配合使用解答同一道数学题，不仅能更牢固地掌握和运用所学知识，而且，通过多种方法实现一题多解，分析比较，寻找解题的最佳途径和方法，这样能够提高自身思维能力。