掌握原理,触类旁通

2014-03-11 14:24朱小刚
初中生世界·九年级 2014年2期
关键词:方差中位数数学考试

朱小刚

同学们能不能做到举一反三,触类旁通?这是一个涉及学习方法的问题. 我们在学习的过程中,不能满足于多做题,也不能只是浮在知识的表面. 我们要能深入到各种概念、定理、定律里面去,去搞清楚它的基本原理,掌握它的基本规律. 也就是说,要知其然,更要知其所以然. 如果说,知其然是“举一”,那么知其所以然,就能“反三”了. 下面就初中统计内容的几个主要考查点,通过真题剖析,归纳了常见的答题方法和技巧,以期让同学们做到举一反三,触类旁通.

一、 合理选择统计量

例1 (1) 有一首打油诗:“张村有个张千万,隔壁九个穷光蛋,平均起来算一算,人人都是张百万.”这首诗反映了什么现象?如何选择恰当的统计量来反映该村的收入水平?

(2) 某次数学考试,婷婷得到 78分. 全班共30人,其他同学的成绩为1个100分,4个90分,22个80分,以及1个2分和1个10分. 婷婷计算出全班的平均分为 77分,所以婷婷告诉妈妈说,自己这次的成绩在班上处于“中上水平”. 她说得对吗?如何选择恰当的统计量来反映她的成绩在班上的真实位置?

【分析】在极差较大的情况下,用平均数来反映数据的特征往往出现较大的偏差,具体表现为标准差较大,如打油诗中数据的标准差达到了惊人的3 000 000,而婷婷班上成绩数据的标准差也达到了19.93,所以才会出现基本上都是不名一文的村子却“人人都是百万富翁”以及排名倒数第三的成绩成了“中上水平”的不正常现象.

【解答】上述现象表明:平均数受极端值影响较大,在极差较大的情况下,不宜用平均数来刻画数据的数字特征,可选用众数或中位数.

例2 要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定,那么需要知道他最近几次数学考试成绩的( ).

A. 方差 B. 众数

C. 平均数 D. 中位数

【分析】本题考查方差的意义. 方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.

【解答】要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定,只需要知道他最近几次数学考试成绩的方差即可. 故选A.

二、 从统计图表中提取样本的数字特征

例3 为了解今年全县2 000名初二学生“创新能力大赛”的笔试情况,随机抽取了部分参赛同学的成绩,整理并制作如图所示的图表(部分未完成). 请你根据表中提供的信息,解答下列问题:

(1) 此次调查的样本容量为______;

(2) 在表中:m=______;n=______;

(3) 补全频数分布直方图;

(4) 如果比赛成绩80分以上(含80分)为优秀,那么你估计该县初二学生笔试成绩的优秀人数大约是______名.

【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力. 利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.

(1) 根据第一组的频数是30,频率是0.1,以及频率公式即可求解;

(2) 依据频率公式:频率=即可求解;

(3) 作出第三组对应的矩形即可;

(4) 利用总人数2 000乘以笔试成绩优秀的频率即可求解.

【解答】(1) 样本容量是:30÷0.1=300;(2) m=300×0.4=120,n==0.3;(3) 图略;(4) 2 000×(0.4+0.2)=1 200(人).

例4 四川雅安发生地震后,某校学生会向全校1 900名学生发起了“心系雅安”捐款活动,为了解捐款情况,学生会随机调查了部分学生的捐款金额,并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②,请根据相关信息,解答下列问题:

(1) 本次接受随机抽样调查的学生人数为______,图①中m的值是______;

(2) 求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;

(3) 根据样本数据,估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.

【分析】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识. 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个;平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.

(1) 根据条形统计图即可得出样本容量,根据扇形统计图即可得出m的值;

(2) 利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可;

(3) 根据样本中捐款10元的人数,进而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.

【解答】(1) 根据条形图4+16+12+10

+8=50(人),m=100-20-24-16-8=32.

(2) ∵=(5×4+10×16+15×12+20

×10+30×8)=16,∴这组数据的平均数为:16.

∵在这组样本数据中,10出现次数最多为16次,∴这组数据的众数为:10. ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是15,∴这组数据的中位数为:(15+15)=15.

(3) ∵在50名学生中,捐款金额为10元的学生人数比例为32%,∴由样本数据,估计该校1 900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%,有1 900×32%=608,∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名.

(作者单位:苏州市相城区北桥中学)

同学们能不能做到举一反三,触类旁通?这是一个涉及学习方法的问题. 我们在学习的过程中,不能满足于多做题,也不能只是浮在知识的表面. 我们要能深入到各种概念、定理、定律里面去,去搞清楚它的基本原理,掌握它的基本规律. 也就是说,要知其然,更要知其所以然. 如果说,知其然是“举一”,那么知其所以然,就能“反三”了. 下面就初中统计内容的几个主要考查点,通过真题剖析,归纳了常见的答题方法和技巧,以期让同学们做到举一反三,触类旁通.

一、 合理选择统计量

例1 (1) 有一首打油诗:“张村有个张千万,隔壁九个穷光蛋,平均起来算一算,人人都是张百万.”这首诗反映了什么现象?如何选择恰当的统计量来反映该村的收入水平?

(2) 某次数学考试,婷婷得到 78分. 全班共30人,其他同学的成绩为1个100分,4个90分,22个80分,以及1个2分和1个10分. 婷婷计算出全班的平均分为 77分,所以婷婷告诉妈妈说,自己这次的成绩在班上处于“中上水平”. 她说得对吗?如何选择恰当的统计量来反映她的成绩在班上的真实位置?

【分析】在极差较大的情况下,用平均数来反映数据的特征往往出现较大的偏差,具体表现为标准差较大,如打油诗中数据的标准差达到了惊人的3 000 000,而婷婷班上成绩数据的标准差也达到了19.93,所以才会出现基本上都是不名一文的村子却“人人都是百万富翁”以及排名倒数第三的成绩成了“中上水平”的不正常现象.

【解答】上述现象表明:平均数受极端值影响较大,在极差较大的情况下,不宜用平均数来刻画数据的数字特征,可选用众数或中位数.

例2 要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定,那么需要知道他最近几次数学考试成绩的( ).

A. 方差 B. 众数

C. 平均数 D. 中位数

【分析】本题考查方差的意义. 方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.

【解答】要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定,只需要知道他最近几次数学考试成绩的方差即可. 故选A.

二、 从统计图表中提取样本的数字特征

例3 为了解今年全县2 000名初二学生“创新能力大赛”的笔试情况,随机抽取了部分参赛同学的成绩,整理并制作如图所示的图表(部分未完成). 请你根据表中提供的信息,解答下列问题:

(1) 此次调查的样本容量为______;

(2) 在表中:m=______;n=______;

(3) 补全频数分布直方图;

(4) 如果比赛成绩80分以上(含80分)为优秀,那么你估计该县初二学生笔试成绩的优秀人数大约是______名.

【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力. 利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.

(1) 根据第一组的频数是30,频率是0.1,以及频率公式即可求解;

(2) 依据频率公式:频率=即可求解;

(3) 作出第三组对应的矩形即可;

(4) 利用总人数2 000乘以笔试成绩优秀的频率即可求解.

【解答】(1) 样本容量是:30÷0.1=300;(2) m=300×0.4=120,n==0.3;(3) 图略;(4) 2 000×(0.4+0.2)=1 200(人).

例4 四川雅安发生地震后,某校学生会向全校1 900名学生发起了“心系雅安”捐款活动,为了解捐款情况,学生会随机调查了部分学生的捐款金额,并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②,请根据相关信息,解答下列问题:

(1) 本次接受随机抽样调查的学生人数为______,图①中m的值是______;

(2) 求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;

(3) 根据样本数据,估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.

【分析】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识. 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个;平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.

(1) 根据条形统计图即可得出样本容量,根据扇形统计图即可得出m的值;

(2) 利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可;

(3) 根据样本中捐款10元的人数,进而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.

【解答】(1) 根据条形图4+16+12+10

+8=50(人),m=100-20-24-16-8=32.

(2) ∵=(5×4+10×16+15×12+20

×10+30×8)=16,∴这组数据的平均数为:16.

∵在这组样本数据中,10出现次数最多为16次,∴这组数据的众数为:10. ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是15,∴这组数据的中位数为:(15+15)=15.

(3) ∵在50名学生中,捐款金额为10元的学生人数比例为32%,∴由样本数据,估计该校1 900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%,有1 900×32%=608,∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名.

(作者单位:苏州市相城区北桥中学)

同学们能不能做到举一反三,触类旁通?这是一个涉及学习方法的问题. 我们在学习的过程中,不能满足于多做题,也不能只是浮在知识的表面. 我们要能深入到各种概念、定理、定律里面去,去搞清楚它的基本原理,掌握它的基本规律. 也就是说,要知其然,更要知其所以然. 如果说,知其然是“举一”,那么知其所以然,就能“反三”了. 下面就初中统计内容的几个主要考查点,通过真题剖析,归纳了常见的答题方法和技巧,以期让同学们做到举一反三,触类旁通.

一、 合理选择统计量

例1 (1) 有一首打油诗:“张村有个张千万,隔壁九个穷光蛋,平均起来算一算,人人都是张百万.”这首诗反映了什么现象?如何选择恰当的统计量来反映该村的收入水平?

(2) 某次数学考试,婷婷得到 78分. 全班共30人,其他同学的成绩为1个100分,4个90分,22个80分,以及1个2分和1个10分. 婷婷计算出全班的平均分为 77分,所以婷婷告诉妈妈说,自己这次的成绩在班上处于“中上水平”. 她说得对吗?如何选择恰当的统计量来反映她的成绩在班上的真实位置?

【分析】在极差较大的情况下,用平均数来反映数据的特征往往出现较大的偏差,具体表现为标准差较大,如打油诗中数据的标准差达到了惊人的3 000 000,而婷婷班上成绩数据的标准差也达到了19.93,所以才会出现基本上都是不名一文的村子却“人人都是百万富翁”以及排名倒数第三的成绩成了“中上水平”的不正常现象.

【解答】上述现象表明:平均数受极端值影响较大,在极差较大的情况下,不宜用平均数来刻画数据的数字特征,可选用众数或中位数.

例2 要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定,那么需要知道他最近几次数学考试成绩的( ).

A. 方差 B. 众数

C. 平均数 D. 中位数

【分析】本题考查方差的意义. 方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.

【解答】要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定,只需要知道他最近几次数学考试成绩的方差即可. 故选A.

二、 从统计图表中提取样本的数字特征

例3 为了解今年全县2 000名初二学生“创新能力大赛”的笔试情况,随机抽取了部分参赛同学的成绩,整理并制作如图所示的图表(部分未完成). 请你根据表中提供的信息,解答下列问题:

(1) 此次调查的样本容量为______;

(2) 在表中:m=______;n=______;

(3) 补全频数分布直方图;

(4) 如果比赛成绩80分以上(含80分)为优秀,那么你估计该县初二学生笔试成绩的优秀人数大约是______名.

【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力. 利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.

(1) 根据第一组的频数是30,频率是0.1,以及频率公式即可求解;

(2) 依据频率公式:频率=即可求解;

(3) 作出第三组对应的矩形即可;

(4) 利用总人数2 000乘以笔试成绩优秀的频率即可求解.

【解答】(1) 样本容量是:30÷0.1=300;(2) m=300×0.4=120,n==0.3;(3) 图略;(4) 2 000×(0.4+0.2)=1 200(人).

例4 四川雅安发生地震后,某校学生会向全校1 900名学生发起了“心系雅安”捐款活动,为了解捐款情况,学生会随机调查了部分学生的捐款金额,并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②,请根据相关信息,解答下列问题:

(1) 本次接受随机抽样调查的学生人数为______,图①中m的值是______;

(2) 求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;

(3) 根据样本数据,估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.

【分析】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识. 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个;平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.

(1) 根据条形统计图即可得出样本容量,根据扇形统计图即可得出m的值;

(2) 利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可;

(3) 根据样本中捐款10元的人数,进而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.

【解答】(1) 根据条形图4+16+12+10

+8=50(人),m=100-20-24-16-8=32.

(2) ∵=(5×4+10×16+15×12+20

×10+30×8)=16,∴这组数据的平均数为:16.

∵在这组样本数据中,10出现次数最多为16次,∴这组数据的众数为:10. ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是15,∴这组数据的中位数为:(15+15)=15.

(3) ∵在50名学生中,捐款金额为10元的学生人数比例为32%,∴由样本数据,估计该校1 900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%,有1 900×32%=608,∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名.

(作者单位:苏州市相城区北桥中学)

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