掌握原理，触类旁通

朱小刚

同学们能不能做到举一反三，触类旁通？这是一个涉及学习方法的问题. 我们在学习的过程中，不能满足于多做题，也不能只是浮在知识的表面. 我们要能深入到各种概念、定理、定律里面去，去搞清楚它的基本原理，掌握它的基本规律. 也就是说，要知其然，更要知其所以然. 如果说，知其然是“举一”，那么知其所以然，就能“反三”了. 下面就初中统计内容的几个主要考查点，通过真题剖析，归纳了常见的答题方法和技巧，以期让同学们做到举一反三，触类旁通.

一、 合理选择统计量

例1 （1） 有一首打油诗：“张村有个张千万，隔壁九个穷光蛋，平均起来算一算，人人都是张百万.”这首诗反映了什么现象？如何选择恰当的统计量来反映该村的收入水平？

（2） 某次数学考试，婷婷得到 78分. 全班共30人，其他同学的成绩为1个100分，4个90分，22个80分，以及1个2分和1个10分. 婷婷计算出全班的平均分为 77分，所以婷婷告诉妈妈说，自己这次的成绩在班上处于“中上水平”. 她说得对吗？如何选择恰当的统计量来反映她的成绩在班上的真实位置？

【分析】在极差较大的情况下，用平均数来反映数据的特征往往出现较大的偏差，具体表现为标准差较大，如打油诗中数据的标准差达到了惊人的3 000 000，而婷婷班上成绩数据的标准差也达到了19.93，所以才会出现基本上都是不名一文的村子却“人人都是百万富翁”以及排名倒数第三的成绩成了“中上水平”的不正常现象.

【解答】上述现象表明：平均数受极端值影响较大，在极差较大的情况下，不宜用平均数来刻画数据的数字特征，可选用众数或中位数.

例2 要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近几次数学考试成绩的（ ）.

A. 方差 B. 众数

C. 平均数 D. 中位数

【分析】本题考查方差的意义. 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

【解答】要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，只需要知道他最近几次数学考试成绩的方差即可. 故选A.

二、 从统计图表中提取样本的数字特征

例3 为了解今年全县2 000名初二学生“创新能力大赛”的笔试情况，随机抽取了部分参赛同学的成绩，整理并制作如图所示的图表（部分未完成）. 请你根据表中提供的信息，解答下列问题：

（1） 此次调查的样本容量为______；

（2） 在表中：m=______；n=______；

（3） 补全频数分布直方图；

（4） 如果比赛成绩80分以上（含80分）为优秀，那么你估计该县初二学生笔试成绩的优秀人数大约是______名.

【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力. 利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

（1） 根据第一组的频数是30，频率是0.1，以及频率公式即可求解；

（2） 依据频率公式：频率=即可求解；

（3） 作出第三组对应的矩形即可；

（4） 利用总人数2 000乘以笔试成绩优秀的频率即可求解.

【解答】（1） 样本容量是：30÷0.1=300；（2） m=300×0.4=120，n==0.3；（3） 图略；（4） 2 000×（0.4+0.2）=1 200（人）.

例4 四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1 900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

（1） 本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中m的值是______；

（2） 求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

（3） 根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.

【分析】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识. 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.

（1） 根据条形统计图即可得出样本容量，根据扇形统计图即可得出m的值；

（2） 利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可；

（3） 根据样本中捐款10元的人数，进而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.

【解答】（1） 根据条形图4+16+12+10

+8=50（人），m=100-20-24-16-8=32.

（2） ∵=（5×4+10×16+15×12+20

×10+30×8）=16，∴这组数据的平均数为：16.

∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次，∴这组数据的众数为：10. ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，∴这组数据的中位数为：（15+15）=15.

（3） ∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%，∴由样本数据，估计该校1 900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%，有1 900×32%=608，∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名.

（作者单位：苏州市相城区北桥中学）

同学们能不能做到举一反三，触类旁通？这是一个涉及学习方法的问题. 我们在学习的过程中，不能满足于多做题，也不能只是浮在知识的表面. 我们要能深入到各种概念、定理、定律里面去，去搞清楚它的基本原理，掌握它的基本规律. 也就是说，要知其然，更要知其所以然. 如果说，知其然是“举一”，那么知其所以然，就能“反三”了. 下面就初中统计内容的几个主要考查点，通过真题剖析，归纳了常见的答题方法和技巧，以期让同学们做到举一反三，触类旁通.

一、 合理选择统计量

例1 （1） 有一首打油诗：“张村有个张千万，隔壁九个穷光蛋，平均起来算一算，人人都是张百万.”这首诗反映了什么现象？如何选择恰当的统计量来反映该村的收入水平？

（2） 某次数学考试，婷婷得到 78分. 全班共30人，其他同学的成绩为1个100分，4个90分，22个80分，以及1个2分和1个10分. 婷婷计算出全班的平均分为 77分，所以婷婷告诉妈妈说，自己这次的成绩在班上处于“中上水平”. 她说得对吗？如何选择恰当的统计量来反映她的成绩在班上的真实位置？

【分析】在极差较大的情况下，用平均数来反映数据的特征往往出现较大的偏差，具体表现为标准差较大，如打油诗中数据的标准差达到了惊人的3 000 000，而婷婷班上成绩数据的标准差也达到了19.93，所以才会出现基本上都是不名一文的村子却“人人都是百万富翁”以及排名倒数第三的成绩成了“中上水平”的不正常现象.

【解答】上述现象表明：平均数受极端值影响较大，在极差较大的情况下，不宜用平均数来刻画数据的数字特征，可选用众数或中位数.

例2 要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近几次数学考试成绩的（ ）.

A. 方差 B. 众数

C. 平均数 D. 中位数

【分析】本题考查方差的意义. 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

【解答】要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，只需要知道他最近几次数学考试成绩的方差即可. 故选A.

二、 从统计图表中提取样本的数字特征

例3 为了解今年全县2 000名初二学生“创新能力大赛”的笔试情况，随机抽取了部分参赛同学的成绩，整理并制作如图所示的图表（部分未完成）. 请你根据表中提供的信息，解答下列问题：

（1） 此次调查的样本容量为______；

（2） 在表中：m=______；n=______；

（3） 补全频数分布直方图；

（4） 如果比赛成绩80分以上（含80分）为优秀，那么你估计该县初二学生笔试成绩的优秀人数大约是______名.

【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力. 利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

（1） 根据第一组的频数是30，频率是0.1，以及频率公式即可求解；

（2） 依据频率公式：频率=即可求解；

（3） 作出第三组对应的矩形即可；

（4） 利用总人数2 000乘以笔试成绩优秀的频率即可求解.

【解答】（1） 样本容量是：30÷0.1=300；（2） m=300×0.4=120，n==0.3；（3） 图略；（4） 2 000×（0.4+0.2）=1 200（人）.

例4 四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1 900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

（1） 本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中m的值是______；

（2） 求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

（3） 根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.

【分析】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识. 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.

（1） 根据条形统计图即可得出样本容量，根据扇形统计图即可得出m的值；

（2） 利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可；

（3） 根据样本中捐款10元的人数，进而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.

【解答】（1） 根据条形图4+16+12+10

+8=50（人），m=100-20-24-16-8=32.

（2） ∵=（5×4+10×16+15×12+20

×10+30×8）=16，∴这组数据的平均数为：16.

∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次，∴这组数据的众数为：10. ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，∴这组数据的中位数为：（15+15）=15.

（3） ∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%，∴由样本数据，估计该校1 900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%，有1 900×32%=608，∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名.

（作者单位：苏州市相城区北桥中学）

同学们能不能做到举一反三，触类旁通？这是一个涉及学习方法的问题. 我们在学习的过程中，不能满足于多做题，也不能只是浮在知识的表面. 我们要能深入到各种概念、定理、定律里面去，去搞清楚它的基本原理，掌握它的基本规律. 也就是说，要知其然，更要知其所以然. 如果说，知其然是“举一”，那么知其所以然，就能“反三”了. 下面就初中统计内容的几个主要考查点，通过真题剖析，归纳了常见的答题方法和技巧，以期让同学们做到举一反三，触类旁通.

一、 合理选择统计量

例1 （1） 有一首打油诗：“张村有个张千万，隔壁九个穷光蛋，平均起来算一算，人人都是张百万.”这首诗反映了什么现象？如何选择恰当的统计量来反映该村的收入水平？

（2） 某次数学考试，婷婷得到 78分. 全班共30人，其他同学的成绩为1个100分，4个90分，22个80分，以及1个2分和1个10分. 婷婷计算出全班的平均分为 77分，所以婷婷告诉妈妈说，自己这次的成绩在班上处于“中上水平”. 她说得对吗？如何选择恰当的统计量来反映她的成绩在班上的真实位置？

【分析】在极差较大的情况下，用平均数来反映数据的特征往往出现较大的偏差，具体表现为标准差较大，如打油诗中数据的标准差达到了惊人的3 000 000，而婷婷班上成绩数据的标准差也达到了19.93，所以才会出现基本上都是不名一文的村子却“人人都是百万富翁”以及排名倒数第三的成绩成了“中上水平”的不正常现象.

【解答】上述现象表明：平均数受极端值影响较大，在极差较大的情况下，不宜用平均数来刻画数据的数字特征，可选用众数或中位数.

例2 要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近几次数学考试成绩的（ ）.

A. 方差 B. 众数

C. 平均数 D. 中位数

【分析】本题考查方差的意义. 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

【解答】要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，只需要知道他最近几次数学考试成绩的方差即可. 故选A.

二、 从统计图表中提取样本的数字特征

例3 为了解今年全县2 000名初二学生“创新能力大赛”的笔试情况，随机抽取了部分参赛同学的成绩，整理并制作如图所示的图表（部分未完成）. 请你根据表中提供的信息，解答下列问题：

（1） 此次调查的样本容量为______；

（2） 在表中：m=______；n=______；

（3） 补全频数分布直方图；

（4） 如果比赛成绩80分以上（含80分）为优秀，那么你估计该县初二学生笔试成绩的优秀人数大约是______名.

【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力. 利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

（1） 根据第一组的频数是30，频率是0.1，以及频率公式即可求解；

（2） 依据频率公式：频率=即可求解；

（3） 作出第三组对应的矩形即可；

（4） 利用总人数2 000乘以笔试成绩优秀的频率即可求解.

【解答】（1） 样本容量是：30÷0.1=300；（2） m=300×0.4=120，n==0.3；（3） 图略；（4） 2 000×（0.4+0.2）=1 200（人）.

例4 四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1 900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

（1） 本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中m的值是______；

（2） 求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

（3） 根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.

【分析】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识. 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.

（1） 根据条形统计图即可得出样本容量，根据扇形统计图即可得出m的值；

（2） 利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可；

（3） 根据样本中捐款10元的人数，进而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.

【解答】（1） 根据条形图4+16+12+10

+8=50（人），m=100-20-24-16-8=32.

（2） ∵=（5×4+10×16+15×12+20

×10+30×8）=16，∴这组数据的平均数为：16.

∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次，∴这组数据的众数为：10. ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，∴这组数据的中位数为：（15+15）=15.

（3） ∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%，∴由样本数据，估计该校1 900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%，有1 900×32%=608，∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名.

（作者单位：苏州市相城区北桥中学）