基于频率测量的两端弹性固定等截面梁纵向受压弹性失稳载荷近似估算方法

杜 玲，李范春

（大连海事大学 交通运输装备与海洋工程学院，辽宁 大连 116026）

基于频率测量的两端弹性固定等截面梁纵向受压弹性失稳载荷近似估算方法

杜 玲，李范春

（大连海事大学 交通运输装备与海洋工程学院，辽宁 大连 116026）

文章以动力学方程为基础，得出关于两端弹性固定纵向受压梁的横向固有频率与压力荷载的精确表达式；通过变分得出其近似表达式。两端弹性固定端选取四种典型刚性系数为例，辅以图示法将精确解与近似解进行比较，得到自由端附有质量的轴压悬臂梁的固有频率的平方与轴向力呈近似线性关系的结论。通过计算，近似解与精确数值解相差很小，精度满足工程上的要求。以此为依据，只要能够测出两种不同载荷下的固有频率，就可以通过近似线性的结论识别出两端弹性固定受压结构的弹性失稳荷载，因此文中提出了一种无损检测的分析方法。

轴压梁；固有频率；变分；弹性失稳；荷载识别

1 引 言

随着近年来海洋开发“热”的升温，特别是专属经济区资源勘探和开发的实施，海洋工程技术得到了迅猛发展，21世纪人类将全面步入海洋经济时代，海洋开发和利用需要先进的海洋工程技术和各种海洋工程结构物的支撑。对于深潜工作船、海洋工作平台等水中工作结构，其结构复杂，体积庞大，造价昂贵。由于工程上的需要，其工作水深和上部结构重量越来越大，这就造成了结构承受的压力荷载越来越大。因此，结构发生屈曲失稳的可能性将会增大。如何在结构设计初期了解压力载荷对结构固有频率及结构动响应的影响、预估其失稳荷载和在结构建成后采用无损实验方法确定结构的失稳荷载并进行安全监测，使结构系统安全运行正越来越引起工程界的广泛关注。

利用结构或构件的振动特性进行失稳监测和预估屈曲荷载的概念可以追溯到20世纪30年代，20世纪70年代起，以Singer为代表的西方学者，结合航空航天事业的发展，利用振动频率特性预估屈曲载荷方法对金属析条加筋圆柱壳进行了深人的研究，发现在临界屈曲前，高载荷处的频率急剧下降[1-2]。2004年Auciello等人[3]给出了轴向荷载作用下非等截面梁动力响应的一般解。2005年Öz等人[4]研究了不同边界下横向运动梁—质量系统的自然频率。

国内对结构的失稳荷载无损检测和荷载识别方法的研究，最早大至于80年代中期开始。1989年胡[5]提出了侧向柔度法来检测火箭壳体的失稳荷载，该方法是一种类似Southwell方法的近似静力方法。1997年徐等人[6]对潜艇耐压壳体稳定性的振动监测技术方法进行了讨论。2001年王等人[7]在进行潜射导弹安全发射深度的研究中，采用有限元法研究了潜水深度对结构自振特性的影响，得出了弹体的固有频率随发射深度的增加而减小的结论。2003年雷等人[8]对复合材料圆柱壳失稳载荷的振动监测进行了实验研究，文中采用多项式来逼近轴压和外压层合圆柱壳的一阶固有频率平方与外载荷之间的关系曲线，得到的层合圆柱壳屈曲载荷的预估值具有一定的实用价值。

如何通过非破坏方式对结构失稳载荷进行识别和确定是桥梁工程、海洋平台等许多工程领域迫切需要解决的问题。本文通过研究，最后给出了受压梁结构的无损检测分析方法并为进一步研究荷载识别提供了理论依据。

2 两端弹性固定纵向受压梁的横向固有频率与压力荷载之间的关系

两端弹性固定纵向受压梁，如图1所示，设振动时，x截面在t时刻的挠度为y（ x，t）；梁的单位体积质量为ρ，横截面积为A，抗弯刚度为EI，两端的弹性固定端的刚性系数分别为K1，K2，惯性力ρAdx与加速度反向。取微元dx，如图2所示，利用达朗伯原理有ΣY=0，ΣM=0，略去高阶小量整理可以得到，

图1 两端弹性固定轴压梁Fig.1 The compressed beam fixed at both ends with allowed angel

图2 微元dxFig.2 Infinitesimal element dx

3 两端弹性固定纵向受压梁的横向固有频率与压力荷载之间关系的近似表达式

由此可见，我们可以通过求解泛函δV的驻值，来求出轴压弹性固定端梁方程的近似解。

图3 K1=80，K2=100轴压两端弹性固定的精确数值解与近似解Fig.3 Analytical solution and approximate solution between square of natural frequency and axial pressure of compressed beam fixed at both ends with allowed angel of K1=80,K2=100

将（29）式代入（14）式中，整理得到 K1=80，K2=100 时的近似解。

K1=80，K2=100的精确数值解与近似解固有圆频率的平方与轴压载荷之间的关系曲线如图3所示。

由图3可以看出，该近似解的精度很差。于是，应用康托洛维奇—里兹杂交法对K1=80，K2=100时的近似解进行改进。于是令

4 精确数值解与近似解对比

当K1=50，K2=50时，纵向压力下的两端弹性固定梁的精确数值解（22）与改进后的近似解（34）的图形如图4所示。当K1=50，K2=80时，纵向压力下的两端弹性固定梁的精确数值解（23）与改进后的近似解（36）的图形如图5所示。当K1=80，K2=100时，纵向压力下的两端弹性固定梁的精确数值解（24）与改进后的近似解（33）的图形如图6所示。当K1=100，K2=100时，纵向压力下的两端弹性固定梁的精确数值解（25）与改进后的近似解（37）的图形如图7所示。其中，实线为精确数值解，点划线为近似解。

图4 K1=50，K2=50轴压两端弹性固定梁的 精确数值解与改进后的近似解 Fig.4 Analytical solution and improved approximate solution between square of natural frequency and axial pressure of compressed beam fixed at both ends with allowed angel of K1=50,K2=50

图5 K1=50，K2=80轴压两端弹性固定梁的 精确数值解与改进后的近似解Fig.5 Analytical solution and improved approximate solution between square of natural frequency and axial pressure of compressed beam fixed at both ends with allowed angel of K1=50,K2=80

图6 K1=80，K2=100轴压两端弹性固定梁的精确数值解与改进后的近似解Fig.6 Analytical solution and improved approximate solution between square of natural frequency and axial pressure of compressed beam fixed at both ends with allowed angel of K1=80,K2=100

图7 K1=100，K2=100轴压两端弹性固定梁的 精确数值解与改进后的近似解Fig.7 Analytical solution and improved approximate solution between square of natural frequency and axial pressure of compressed beam fixed at both ends with allowed angelof K1=100,K2=100

5 结 论

当K1与K2取不同值时，其最大预应力的误差如表1所示

表1 最大预应力的误差Tab.1 Deviation of the largest pre-stressed

从图4至图7可以看出，纵向压力下的两端弹性固定梁的精确数值解和改进后的近似解十分接近，两条曲线的走势基本吻合，在各点的变化趋势中也是一致的。所以，我们得出了在弹性范围内纵向压力下的两端弹性固定梁的横向固有频率的平方与轴向压力非常接近线性关系的结论。从表1可以看出，纵向压力下的两端弹性固定梁的精确数值解和改进后的近似解得到的最大预应力虽然存在一定误差，但可满足工程上对精度的要求，因而，我们可以选择小于临界值的实验荷载，通过记录两种状态随着荷载增加固有频率的变化，就可以确定该梁的临界荷载。

[1]Singer J.Recent studies on the correlation between vibration and buckling of stiffened cylindrical shells[J].Flight Science and Space Research,1979,3(6):333-343.

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Xu Shunqi,Chen Zhijian,et al.Vibration monitoring techniques of the submarine hull stability[J].Vibration and Shock,1997,16(4):60-64.

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WANG Zongli,JIN Zhanli,et al.Numerical analysis of the influences of water depth on the vibration characteristics of submatine structures[J].Journal of Mechanical Strength,2001,23(3):344-346.

[8]雷勇军,唐国金.卓曙君,周建平.复合材料圆柱壳失稳载荷的振动监测[J].实验力学,2003,18(3):383-38.

Lei Yongjun,Tang Guojin,et al.Determination of the buckling loads of composite cylindrical shell by vibration inspecting[J].Journal of Experimental Mechanics,2003,18(3):383-388.

Elastic buckling load approximate estimation method of uniform beam elastically fixed at both ends by longitudinal compression based on frequency measurement

DU Ling,LI Fan-chun
(Transportation Equipments and Ocean Engineering College,Dalian Maritime University,Dalian 116026,China)

Basing on the dynamics equation,the exact expression for horizontal natural frequency and pressure loads of the axis pressure beam fixed at both ends with allowed angel is obtained;the approximate expression is derived from the variational method.Take four kinds of typical rigidity coefficients for example at both elastic fixed,graphic method as an auxiliary to compare the exact solution and approximate solution,the conclusion of the relationship between the square of the natural frequency and the axial force of the axis pressure beam fixed at both ends with allowed angel can be obtained,which is approximately linear relationship.By calculating,it is shown that the difference between the approximate solution and the exact numerical solution is small,and the accuracy can meet the engineering requirements.As a basis,as long as the natural frequency in two different load can be measured,the elasticity instability load of the compression structure fixed at both ends with allowed angel can be identified by approximately linear conclusion,and therefore an identification method of instability load is presented.

compressed beam;natural frequency;variation;elastic buckling;load identification

李范春（1960-），男，教授，博士生导师，E-mail：Lee_fc@126.com。

U661.1

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2014.05.014

1007-7294（2014）05-0591-08

2013-09-05

国家自然科学基金项目（5100906）

杜 玲（1983-），女，大连海事大学博士研究生，E-mail：duyige0729@126.com；