求数列通项公式的常用方法和技巧

周玉梅

数列是高中代数的重要内容，也是学习高等数学的基础.因此在每年的高考中考试中常考不殆.而各种数列问题解答，在很多情形下，首先是对数列通项公式的求解.本文就求数列通项公式的常用方法和技巧作例析.

一、公式法

利用等差数列或等比数列的定义求通项；若已知数列的前n项和S■与a■的关系，求数列{a■}的通项a■可用公式a■=S■…………n=1S■-S■…n≥2求解.

例1：已知数列{a■}的前n项和S■满足S■=2a■+（-1）■，n≥1，求数列{a■}的通项公式.

解：由a■=S■=2a■-1，得a■=1.

当n≥2时，有a■=S■-S■=2（a■-a■）+2×（-1）■

∴a■=2a■+2×（-1）■

a■=2a■+2×（-1）■

…

a■=2a■-2

a■=2■a■+2■×（-1）■+2■×（-1）■+…+2×（-1）■

=2■+（-1）■[（-2）■+（-2）■+…+（-2）]

=2■-（-1）■■

=■[2■+（-1）■]

经验证a■=1也满足上式，所以a■=■[2■+（-1）■].

二、累加法（逐差相加法）

求形如a■-a■=f（n）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n-1得到n-1个式子累加求得通项.a■=（a■-a■）+（a■-a■）+…+（a■-a■）+a■（n≥2）.

例2：已知数列{a■}满足a■=a■+2n+1，a■=1，求数列{a■}的通项公式.

解：由a■=a■+2n+1得a■-a■=2n+1，

则a■=（a■-a■）+（a■-a■）+…+（a■-a■）+（a■-a■）+a■

=[2（n-1+1）]+[2（n-2）+1]+…+（2×2+1）+（2×1+1）+1

2[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+（n-1）+1

=2■+（n-1）+1

=（n-1）（n+1）+1

=n■

所以数列{a■}的通项公式为a■=n■.

三、累乘法（逐商相乘法）

对形如■=f（n）的数列的通项，可用累乘法，即令n=2，3，…n-1得到n-1个式子累乘求得通项a■=■·■……■·a■（n≥2）.

例3：已知数列{a■}满足a■=■，a■=■a■，求a■.

解：由条件知■=■，分别令n=1，2，3，…，（n-1），代入上式得（n-1）个等式累乘之，即

■·■·■·…·■=■×■×■×…×■？圯■=■

又∵a■=■，∴a■=■.

四、待定系数法

形如a■=pa■+q（其中p，q均为常数，（pq（p-1）≠0）的数列.可把原递推公式转化为：a■-t=p（a■-t），其中t=■，再利用换元法转化为等比数列求解.

例4：数列{a■}满足a■=1，3a■+a■-7=0，求数列{a■}的通项公式.

解：由3a■+a■-7=0得a■=-■a■+■.

设a■+k=-■（a■+k），比较系数得-k-■=■，解得k=-■.

∴{a■-■}是以-■为公比，以a■-■=1-■=-■为首项的等比数列.

∴a■-■=-■×（-■）■？圯a■=■-■×（-■）■.

五、取倒（对）数法

1.a■=pa■■这种类型，一般是等式两边取对数后转化为a■=pa■+q，再利用待定系数法求解

2.数列有形如f（a■，a■，a■a■）=0的关系，可在等式两边同乘以■先求出■，再求得a■

例5：设正项数列{a■}满足a■=1，a■=2a■■（n≥2）.求数列{a■}的通项公式.

解：两边取对数得：log■■=1+2log■■，log■■+1=2（log■■+1），设b■=log■■+1，则b■=2b■

{b■}是以2为公比的等比数列，b■=log■■+1=1.

b■=1×2■=2■，log■■+1=2■，log■■=2■-1，

∴a■=2■.

例6：设数列{a■}满足a■=2，a■=■（n∈N）求a■

解：原条件变形为a■·a■+3·a■=a■.两边同乘以■，

得1+3·■=■.

∵3（■+■）=■+■，∴■+■=3■，

∴a■=■.

除以上几种求数列通项公式的常用方法和技巧外，如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们就可以先根据前几项的规律，观察、归纳、猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法证明.