小学数学解题中排列组合思想的应用价值

葛敏

排列和组合是组合学中最基本的概念，也是数学解题中的重要方法之一。在数学解题和实际生活中，排列和组合思想都有着广泛的应用，在小学数学中渗透排列组合的思想，对培养学生的数学思维和解决问题的实际能力，发展小学生抽象思维和逻辑思维能力有着重要的意义。

一、排列思想在小学数学中的运用

排列是就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。给定元素为n，取出元素为r，组合A■■=■，“！”为阶乘，n！=n·（n-1）·…·1。

【案例一】放暑假了，小朋友到动物园去玩，但动物园需要买门票，一张门票10元，现在有1元、5元和10元三种面值的人民币，一共可以有几种付钱的方法可以买到门票？

这是一道简单的排列组合题，解题时，学生很快给出“10个1元，5个1元、1个5元，2个5元，1个10元”四种方法。在学生大致了解排列组合的概念后，可结合生活实际将排列组合思想融入课本的题目。

【案例二】学校要举行运动会，某班有三个学生参加乒乓球比赛，但胸前的号码还没有编，要求用1、2、3三个数字编出不同的两位数，一共可编出几个个位数与十位数不重复的两位数？

用小学方法解题：先将“1”作为十位数上的固定数字，则有 “12”、“13”两种编法，以“2”作为十位数上的规定数字，有“21”、“23”两种编法，同理得出“31”、“32”两个号码，则用“1、2、3”三个数字共可以编出6个个位数与十位数不重复的两位数。

用排列组合思想解题：利用三个数字编两位数号码，即是从三个数字中抽出两个进行任意排列，A■■=■=6，即利用三个数编个位数与十位数不重复的数字共可编出6个。

在用小学方法进行解题的基础上，进一步引导学生利用排列公式解决此类问题，使学生更好地理解排列的概念和应用方法，提高学生对知识的实际应用能力。

二、组合思想在小学数学中的运用

组合是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不需要进行排列，给定元素为n，取出元素为r，则组合C■■=■。

将排列组合思想应用于小学数学时，学生往往难以理解排列和组合的差别，这一点也是教学的难点之一。通过对此题的分析，可以让学生更好地感受到二者的差别，明白排列是与顺序有关系的，而组合与顺序则没有关系。

【案例三】班里一共有30个学生，玩“握手游戏”，每两个学生间都要握一次手，一共握手多少次？

用小学方法解决这道问题时，有两种方法：

第一种方法是假设30个学生排成一排，从右边开始，第一学生分别与其余的29个学生各握手一次，共握手29次，然后离开队伍；剩下的29个学生中，第二个学生与其他人各握手一次，共握手28次，握完手后离开队伍；以此类推，直到第29个学生与队伍中剩下的第30个学生握手，握手次数为1次，则总的握手次数为29+28+…+1=435（次）。

第二种方法是将每个握手的次数都算作29次，则30个学生共握手870次，但每两个学生间握手次数都算作了两次，因此共握手次数为870÷2=435（次）。

用排列组合的思想解题：30个学生每两个学生握一次手即是从30个学生中任意抽出两个学生进行组合，则组合次数为C■■=■=435（次）。每一个组合是表示握手一次，则30个学生共握手435次。

【案例四】数一数下图中三角形的个数。

■

用小学方法解题：图中的三角形共六排，第一排中从左边算起，以第一条边固定不变，则有三角形6个，第二条边为三角形一边固定不变时有5个，以此类推，以第6条边为三角形固定一边时有三角形1个，则第一排中共有三角形6+5+…+1=21（个），每排中三角形的个数是相同的，则一共有三角形6×21=126（个）。

用排列组合思想解题：每一排三角形的个数与底边的条数是相等的，底边共有7个点，每两个点可组成一个三角形，即是从七个点中任意选取两个点组合，则六排三角形的个数为6C■■=6×■=126（个）。

排列组合不仅是学习概率统计的基础，对发展学生的抽象能力和逻辑思维能力也发挥着重要的作用。在小学数学教学中，通过将小学数学教学内容与排列组合方法相融合，将排列组合思想渗透到小学数学教学中，能很好地培养小学生的数学思维和实际解题能力，培养小学生的数学素养，促进小学生综合全面发展。

（责编 金 铃）endprint

排列和组合是组合学中最基本的概念，也是数学解题中的重要方法之一。在数学解题和实际生活中，排列和组合思想都有着广泛的应用，在小学数学中渗透排列组合的思想，对培养学生的数学思维和解决问题的实际能力，发展小学生抽象思维和逻辑思维能力有着重要的意义。

一、排列思想在小学数学中的运用

排列是就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。给定元素为n，取出元素为r，组合A■■=■，“！”为阶乘，n！=n·（n-1）·…·1。

【案例一】放暑假了，小朋友到动物园去玩，但动物园需要买门票，一张门票10元，现在有1元、5元和10元三种面值的人民币，一共可以有几种付钱的方法可以买到门票？

这是一道简单的排列组合题，解题时，学生很快给出“10个1元，5个1元、1个5元，2个5元，1个10元”四种方法。在学生大致了解排列组合的概念后，可结合生活实际将排列组合思想融入课本的题目。

【案例二】学校要举行运动会，某班有三个学生参加乒乓球比赛，但胸前的号码还没有编，要求用1、2、3三个数字编出不同的两位数，一共可编出几个个位数与十位数不重复的两位数？

用小学方法解题：先将“1”作为十位数上的固定数字，则有 “12”、“13”两种编法，以“2”作为十位数上的规定数字，有“21”、“23”两种编法，同理得出“31”、“32”两个号码，则用“1、2、3”三个数字共可以编出6个个位数与十位数不重复的两位数。

用排列组合思想解题：利用三个数字编两位数号码，即是从三个数字中抽出两个进行任意排列，A■■=■=6，即利用三个数编个位数与十位数不重复的数字共可编出6个。

在用小学方法进行解题的基础上，进一步引导学生利用排列公式解决此类问题，使学生更好地理解排列的概念和应用方法，提高学生对知识的实际应用能力。

二、组合思想在小学数学中的运用

组合是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不需要进行排列，给定元素为n，取出元素为r，则组合C■■=■。

将排列组合思想应用于小学数学时，学生往往难以理解排列和组合的差别，这一点也是教学的难点之一。通过对此题的分析，可以让学生更好地感受到二者的差别，明白排列是与顺序有关系的，而组合与顺序则没有关系。

【案例三】班里一共有30个学生，玩“握手游戏”，每两个学生间都要握一次手，一共握手多少次？

用小学方法解决这道问题时，有两种方法：

第一种方法是假设30个学生排成一排，从右边开始，第一学生分别与其余的29个学生各握手一次，共握手29次，然后离开队伍；剩下的29个学生中，第二个学生与其他人各握手一次，共握手28次，握完手后离开队伍；以此类推，直到第29个学生与队伍中剩下的第30个学生握手，握手次数为1次，则总的握手次数为29+28+…+1=435（次）。

第二种方法是将每个握手的次数都算作29次，则30个学生共握手870次，但每两个学生间握手次数都算作了两次，因此共握手次数为870÷2=435（次）。

用排列组合的思想解题：30个学生每两个学生握一次手即是从30个学生中任意抽出两个学生进行组合，则组合次数为C■■=■=435（次）。每一个组合是表示握手一次，则30个学生共握手435次。

【案例四】数一数下图中三角形的个数。

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用小学方法解题：图中的三角形共六排，第一排中从左边算起，以第一条边固定不变，则有三角形6个，第二条边为三角形一边固定不变时有5个，以此类推，以第6条边为三角形固定一边时有三角形1个，则第一排中共有三角形6+5+…+1=21（个），每排中三角形的个数是相同的，则一共有三角形6×21=126（个）。

用排列组合思想解题：每一排三角形的个数与底边的条数是相等的，底边共有7个点，每两个点可组成一个三角形，即是从七个点中任意选取两个点组合，则六排三角形的个数为6C■■=6×■=126（个）。

排列组合不仅是学习概率统计的基础，对发展学生的抽象能力和逻辑思维能力也发挥着重要的作用。在小学数学教学中，通过将小学数学教学内容与排列组合方法相融合，将排列组合思想渗透到小学数学教学中，能很好地培养小学生的数学思维和实际解题能力，培养小学生的数学素养，促进小学生综合全面发展。

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排列和组合是组合学中最基本的概念，也是数学解题中的重要方法之一。在数学解题和实际生活中，排列和组合思想都有着广泛的应用，在小学数学中渗透排列组合的思想，对培养学生的数学思维和解决问题的实际能力，发展小学生抽象思维和逻辑思维能力有着重要的意义。

一、排列思想在小学数学中的运用

排列是就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。给定元素为n，取出元素为r，组合A■■=■，“！”为阶乘，n！=n·（n-1）·…·1。

【案例一】放暑假了，小朋友到动物园去玩，但动物园需要买门票，一张门票10元，现在有1元、5元和10元三种面值的人民币，一共可以有几种付钱的方法可以买到门票？

这是一道简单的排列组合题，解题时，学生很快给出“10个1元，5个1元、1个5元，2个5元，1个10元”四种方法。在学生大致了解排列组合的概念后，可结合生活实际将排列组合思想融入课本的题目。

【案例二】学校要举行运动会，某班有三个学生参加乒乓球比赛，但胸前的号码还没有编，要求用1、2、3三个数字编出不同的两位数，一共可编出几个个位数与十位数不重复的两位数？

用小学方法解题：先将“1”作为十位数上的固定数字，则有 “12”、“13”两种编法，以“2”作为十位数上的规定数字，有“21”、“23”两种编法，同理得出“31”、“32”两个号码，则用“1、2、3”三个数字共可以编出6个个位数与十位数不重复的两位数。

用排列组合思想解题：利用三个数字编两位数号码，即是从三个数字中抽出两个进行任意排列，A■■=■=6，即利用三个数编个位数与十位数不重复的数字共可编出6个。

在用小学方法进行解题的基础上，进一步引导学生利用排列公式解决此类问题，使学生更好地理解排列的概念和应用方法，提高学生对知识的实际应用能力。

二、组合思想在小学数学中的运用

组合是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不需要进行排列，给定元素为n，取出元素为r，则组合C■■=■。

将排列组合思想应用于小学数学时，学生往往难以理解排列和组合的差别，这一点也是教学的难点之一。通过对此题的分析，可以让学生更好地感受到二者的差别，明白排列是与顺序有关系的，而组合与顺序则没有关系。

【案例三】班里一共有30个学生，玩“握手游戏”，每两个学生间都要握一次手，一共握手多少次？

用小学方法解决这道问题时，有两种方法：

第一种方法是假设30个学生排成一排，从右边开始，第一学生分别与其余的29个学生各握手一次，共握手29次，然后离开队伍；剩下的29个学生中，第二个学生与其他人各握手一次，共握手28次，握完手后离开队伍；以此类推，直到第29个学生与队伍中剩下的第30个学生握手，握手次数为1次，则总的握手次数为29+28+…+1=435（次）。

第二种方法是将每个握手的次数都算作29次，则30个学生共握手870次，但每两个学生间握手次数都算作了两次，因此共握手次数为870÷2=435（次）。

用排列组合的思想解题：30个学生每两个学生握一次手即是从30个学生中任意抽出两个学生进行组合，则组合次数为C■■=■=435（次）。每一个组合是表示握手一次，则30个学生共握手435次。

【案例四】数一数下图中三角形的个数。

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用小学方法解题：图中的三角形共六排，第一排中从左边算起，以第一条边固定不变，则有三角形6个，第二条边为三角形一边固定不变时有5个，以此类推，以第6条边为三角形固定一边时有三角形1个，则第一排中共有三角形6+5+…+1=21（个），每排中三角形的个数是相同的，则一共有三角形6×21=126（个）。

用排列组合思想解题：每一排三角形的个数与底边的条数是相等的，底边共有7个点，每两个点可组成一个三角形，即是从七个点中任意选取两个点组合，则六排三角形的个数为6C■■=6×■=126（个）。

排列组合不仅是学习概率统计的基础，对发展学生的抽象能力和逻辑思维能力也发挥着重要的作用。在小学数学教学中，通过将小学数学教学内容与排列组合方法相融合，将排列组合思想渗透到小学数学教学中，能很好地培养小学生的数学思维和实际解题能力，培养小学生的数学素养，促进小学生综合全面发展。

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