操作 感悟 建模

祝林

《义务教育数学课程标准》（2011年版）中总体目标明确提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”这里第一次把“双基”目标拓展为“四基”目标。而纵观整个小学阶段的数学教学，几乎所有的数学思想都能在这一阶段找到“原型”。尤其是各册教材中“数学广角”的教学，是渗透数学思想和帮助学生积累基本活动经验的最好时机。但是否进行了“数学广角”的教学，就能渗透数学思想和积累基本活动经验呢？答案是否定的。下面，就以人教版五年级下册教材中的“数学广角——找次品”为例，谈谈自己的做法和感想。

【第一次试教】

一、初步感知

出示例题：这里有5瓶钙片，其中1瓶少了3片，设法把它找出来。（说明：那个较轻一点的我们称之为“次品” 。讨论方法得出：可以用天平把它找出来。）

师：至少称几次，一定能找出来？请你先思考，再用图和文字把你的想法表示出来。（生思考，绘图）

生1：至少用2次一定能找出来。（师板书）

■

师：和他的想法一样的同学请举手。（全班45人，有11人举手）还有不同的想法吗？

生2：我也是2次，不过想法和他不一样。（师板书）

■

师：真不错！和他一样的有哪些同学？（有4人举手，多数学生比较茫然）

二、操作、拓展

出示例题：在9个零件里有1个是次品（次品轻一些），用天平称，至少称几次就一定能找出次品来？

师：请你根据刚才的学习先想一想，至少需要几次一定能找出次品来，再画图说明。

生1：我先分成4份，结果是3次。（师板书）

■

生2：我也是称3次，但分的方法不一样。（师板书）

■

生3（急急地）：我只要用2次就行了！

（其他学生都惊奇地看着他）

生3：我把9个零件也分成3份，每份是3个……

■

（有些学生还有其他方法，略）

三、归纳、总结

师：刚才我们从9个零件中，要找出1个次品，方法有很多。其中称的次数最少的方法是2次。请你仔细观察这些方法，想一想，怎样称可以使称的次数尽可能少？

生（由于时间关系，主要在教师的讲解下得到）：分成3份，能平均分的要平均分；如果不能平均分，尽可能使每份个数接近，其中2份相同，另1份与这2份差1个。这样分，可以使称的次数尽可能少。

四、作业

题目：有13个零件，其中有1个较轻，至少称几次，可以把这个零件找出来。

同样是3次，但学生采用的方法还是不一样，主要方法如下：

4个4个称：

■

5个5个称：

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6个6个称：

■

另外，有的学生用4次，甚至5次，还有较多的学生不会做。

反思：“找次品”是一堂典型的渗透优化思想的课，教学时教师不遗余力，想让学生更好地理解“优化”思想。可仔细想一想，发现只是一厢情愿。试想，当学生第一次接触到这一内容，他们的注意力都集中在了“至少用几次”上，讨论、操作、画图，忙得不亦乐乎，最后得出结论的却是少数学生，而能够说出方法的，少之又少了。由于时间消耗过多，在临近下课的比较环节，学生基本上都处于被动状态，教师不得不把找的方法告诉学生。在作业中，他们原来怎么想的，还是怎么做。如上述课例的作业中，在13个零件中找一个较轻的次品，都是用3次，却是不同的分法、找法，体现不出“优化”在哪里，学生认为教师告诉他们的方法也是没用的。显然，第一次试教是失败的。学生在课前与课后没有任何“质”的变化，在找次品的方法上都存在问题，这样还谈什么数学思想的渗透与基本经验的积累呢？为什么会产生这样的结果？

一、对教材的解读不到位

教师要准确解读教材，必须思考以下三个问题。

1.什么是“找次品”？

我曾调查过一些数学教师是否对本堂课的教学内容熟知，结果绝大多数教师并不清楚。在这样的前提下，只根据教材“照本宣科”，必将会导致教学的失败。“找次品”一课，主要让学生通过操作，使他们感悟到：把被测物品3等分，每次用天平测其中的2份；当不能3等分时，让其中的2份数量相同，另1份与这2份的数量相差1，用天平测数量相同的2份。这样测，才能使找到次品所用的次数最少。这里主要渗透的是“优化”的数学思想。

2.怎样用天平“找次品”？

在教学“找次品”时，教师往往追求结论而忽视了对天平特征的分析。为什么在找次品时，要把被测物品进行三等分？这是由测量工具——天平决定的。天平有两个托盘，都可以放物品，共可放两份，另外，旁边还可以有一份。这样测量时，如果平衡，则两个托盘中的两份都被排除；如果不平衡，则没有次品托盘中的一份和旁边的一份被排除。在上述案例中，由于教师从没想过这个问题，也就缺乏了引导学生对被测物品进行三等分的意识。如在第一个环节中，当被测物品是5个时，两个学生找的次数都是2次，但方法不一样。由于教师对这两种方法缺少了必要的比较、归纳，造成了学生认为两种都行，在接下去的学习中，仍然按自己的想法去解决问题。学生的测量方法仍然是漫无目的的。直到课的结束，学生的思维没有得到任何的提升，方法没有得到优化，更别说建模了。

3.怎样解读教材中的“找次品”？

不妨先看看教材中的两个例题：

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■

仔细分析教材，不难发现：教材中对这一内容的编排，采用的都是对小数据的研究，首先被测物品是5个，在学生运用多种方法找的基础上，概括出用天平找比较便捷；接着，重点研究被测物品是9个，通过合作、交流、讨论、归纳，得出最佳方法。在找到最佳方法的同时，建立起模型。《义务教育数学课程标准》强调：在“数与代数”的教学中，应帮助学生建立数感和符号意识，发展运算能力和推理能力，初步形成模型思想。因此，我们对教材中的“找次品”，可作如下解读：

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教师通过正确解读与处理教材，引导学生开展有效的学习活动：怎么找次品？让学生在活动中感悟找次品的方法（落实基础知识、基本技能目标）。同时，通过对教材中找次品方法的优化，引起学生的思考：为什么这样找（落实基本思想、基本经验目标）？在学生思考的过程中，促进学生自动建模。

二、对学生的学习起点把握不准

学生是数学学习的主体，一切教学活动的开展都是围绕学生进行的。因此，能否起到高效的教学效果，取决于能否准确把握学生的学习起点。对学生而言，找次品一课，是一节思维含量高、难度大的课，而教师对学生的学习起点把握不准主要体现在：

1.与学生抽象思维能力水平脱节

“找次品”表面上看是从生活中抽取出的学习内容，实际上与学生的生活现实相差甚远。学生从来没有接触过类似的内容，没有相应的感性认识，一下子要提高到抽象的思维高度，思维的跳跃性太大，学生难以企及，表现在课堂上，学生一直处于被动、茫然状态。

2.学生的数学素养跟不上

要找到次品，又要解释给别人听，除了要有较好的抽象思维能力外，还需要具备高超、简练的作图能力和准确、有条理的数学表达能力，这三者缺一不可。作为五年级的小学生，他们在这三方面还十分欠缺，而教师又要让他们能较好地去完成“找次品”的任务，似乎有点“强人所难”。

3.“以己代生”式的教学

由于找次品的内容教师以前没有接触过，只通过阅读《教师用书》得知找次品的方法。在进行教学时，教师很想把这个结论“告诉”学生，但又要让学生在操作中感悟。由此，造成了像上述案例中没有目的、没有归纳提升、没有层次的操作，在临近下课，教师不得不把结论告诉学生。这是一种典型的“以己代生”的思维方式，也是不了解学生的结果。教师在课前认为内容比较简单，学生能比较容易理解、掌握，在这种“想当然”的思想下进行的教学肯定是低效的，甚至是无效的。

由于上述原因，使学生在缺乏数学思维的操作、探究的基础上，无法积累明确的操作经验，无法获得切身的感悟，以致建模成为“空中楼阁”。

根据上面的反思，我重新设计了教学，在第二次试教中，效果明显好于第一次。

【片断一：孕伏分三份】

学习例1：这里有5瓶钙片，其中1瓶少了3片，设法把它找出来。（说明：那个较轻一点的我们称之为“次品”。讨论方法得出：可以用天平把它找出来。）

师：至少称几次，一定能找出来？请你先思考，再用图和文字把你的想法表示出来。（生思考，绘图）

生1：至少用2次一定能找出来。先给它们编号，从1号到5号。先在天平两边各放1号和2号，如果天平不平衡，就能找到；如果平衡，就在两边分别放3号和4号，如果天平不平衡，就能找到，如果平衡，那么5号就是了。

师：还有不同的想法吗？

生2：我也是2次，不过想法和他不一样。先分成3份，其中1、2号为一份，3、4号为一份，5号一个一份。在天平两边分别放1、2和3、4号，如果平衡，那么5号就是次品；如果不平衡，再称轻的那两个，在天平两边各放一个，肯定能找出。

师（引导）：同样是用2次，可是他们分的方法却不同。我们想一想，用天平要尽快、一定找到次品，每次淘汰的数量越多越好呢？还是越少越好？

生3（不以为然）：当然是越多越好了。

师：那么我们来比较这两种分法的第一次称（第一次都不能找到）。第一种是每个1份，共5份。第二种先是2个2个分，剩下的1个单独分，共3份。第一次称，哪种方法淘汰得快？

■

生3（短暂的思考后）：第一种淘汰2个，就是在天平上的2个；第二种是淘汰3个，就是天平上一边都是正品的2个，再加上旁边的一个。所以第二种淘汰得快。

师（追问）：是这样的吗？（板书：分5份第1次淘汰2个；分3份第1次淘汰3个）

师：都是用2次找到次品，可是由于分的方法不同，在找的过程中淘汰的个数却是不一样的。根据经验想一想：如果钙片数量越来越多，找出其中1瓶较轻的，你是一个一个分呢？还是分成3份？

生（大多数）：分成3份，这样淘汰得多。（少数学生表示怀疑。）

评析：在这一片断中，学生不但明确了“次品”的含义，而且根据知识和经验，明白了“至少、一定”的意思，把运气排除在外。而更为重要的是，当被测物品是5个时，尽管分成5份和分成3份找的次数都是2，教师并没有就此收手，而让学生结合图示比较得出：分成3份，第1次找淘汰的个数比分成5份淘汰的要多，即逐群检验比逐个检验速度快。这更符合学生的生活经验。同时，这里通过比较得出的结论用板书写下来，目的是让学生在无意识中形成一种定式：分成3份较好一些。尽管还有一些学生表示怀疑，但这种分法为接下去的学习提供了方法暗示。

【片断二：明晰分三份】

师：刚才在5瓶钙片中，用天平找1瓶较轻的，我们至少用2次，一定能够找到。如果在6瓶钙片中，有1瓶较轻的，用天平称至少几次，一定能找到？

生（脱口而出）：3次。

师：不要忙着回答，请用刚才的学习方法，来研究一下。（生思考、画图，师巡视）

生1：我是一个一个分的，先测①号和②号，平衡；再测③号和④号，平衡；最后测⑤号和⑥号，肯定找到。用了3次。

生2：我只用了2次。刚才在5瓶钙片中找时，我们说分成3份找，淘汰得多、快。现在有6瓶，分成3份的话，正好2瓶1份，先测①②和③④，如果不平衡，假设在①②中，就测①②，肯定找到；如果平衡，就测⑤和⑥，肯定找到。（图略）

（师心中暗暗高兴，正想小结）

生3（急急地）：我也是两次。我分成①②③和④⑤⑥两份，第一次测，肯定能确定在哪一边。接着就测那一边的3个，再用1次也一定能找到。这样共用2次。

师：大家对生3的回答有什么看法？

生4：如果分2份的话，第1次淘汰3个；如果分3份的话，第1次可以淘汰4个，还是分3份好。

生3：可我也是2次啊。

生5：这里是6瓶，要是7瓶的话，你怎么分2份啊？

（生3抓头，回答不上）

师：刚才生4说，分成3份的话，第1次可以淘汰4个，分成2份的话，第1次只能淘汰3个，分成6份的话，第1次淘汰几个？

生：2个。

师：你有没有想过，为什么分成3份淘汰得多？这里是巧合呢，还是有规律的？

生6（迫不及待地）：我知道了，我知道了，天平有两个托盘，各放1份，旁边再放1份，这样找，每次有2份被淘汰，就最快了。

师（抓住不放）：是这样的吗？

（给学生足够的时间思考，慢慢地，点头、若有所思的学生越来越多。）

评析：在5个被测物品的基础上，再加1个，找到次品，至少测几次一定能找到？学生的第一印象是3次。因为5个是2次，被测物品多了，找的次数当然也多了。是这样的吗？学生通过研究发现这是错觉。在6个被测物品中找1个次品，是对教材进行解读后补充进去的。用意有三：一是让学生进一步明确，把被测物品分成3份，淘汰得越快。至此，学生已经初步形成“分三份”的意识。二是，让学生初步感知，找的次数并不一定随着被测物品数量的增多而增加。三是当数量是6时，分3份刚好平均分，这是非常重要的，为接下去研究在9个物品中找1个次品埋下伏笔。

【片断三：明确三等分】

教学例2：在9个零件里有1个是次品（次品轻一些），用天平称，至少称几次就一定能找出次品来？

生1：我分成3份：1个、1个、7个，……共要3次。

生2：我也分成3份：2个、2个、5个，……共要3次。

生3：我也分成3份：3个、3个、3个，……只要2次。

生4：我也分成3份：4个、4个、1个，……共要3次。

生5（欲言又止，在教师的鼓励下）：我分成4份：2个、2个、2个、3个，……共用3次。

（先讨论，排除生5的回答。）

师：同样都是分成3份，可是找的次数却不一样，你发现什么？

生6（举手的越来越多）：我发现9是3的倍数，当是3的倍数时，平均分最好了，这样淘汰得快，所以用的次数就少了。刚才6个就是这样的。

师（追问）：要不是3的倍数呢？

生6：也要分3份，让其中的2份一样多，另一份要最接近，就是只能差1个，这样用天平测，淘汰得才快！（太好了！）

评析：至此，用天平找次品的方法学生已经明了！这是学生操作、画图、感悟的结果。这里的成功因素主要有两点：一是暗示起到了较好的作用。从课始的讨论“为什么分3份”，学生有了一个模糊的意识，随着课的推进，这个意识逐渐清晰、明了，并主导着学生分的方法。二是脑中有天平。天平的特征是能同时称2份，当学生理解这一特征时，他们就时时想天平：要想找得快，就要淘汰得快。当上面两个因素合二为一时，学生轻易得出了找的方法。这样的设计，目标明确，难点分化，层层推进，感悟充分，水到渠成！“三等分”（或分三份）的模型已在学生认知结构中清晰建立起来。

（责编 金 铃）

师：大家对生3的回答有什么看法？

生4：如果分2份的话，第1次淘汰3个；如果分3份的话，第1次可以淘汰4个，还是分3份好。

生3：可我也是2次啊。

生5：这里是6瓶，要是7瓶的话，你怎么分2份啊？

（生3抓头，回答不上）

师：刚才生4说，分成3份的话，第1次可以淘汰4个，分成2份的话，第1次只能淘汰3个，分成6份的话，第1次淘汰几个？

生：2个。

师：你有没有想过，为什么分成3份淘汰得多？这里是巧合呢，还是有规律的？

生6（迫不及待地）：我知道了，我知道了，天平有两个托盘，各放1份，旁边再放1份，这样找，每次有2份被淘汰，就最快了。

师（抓住不放）：是这样的吗？

（给学生足够的时间思考，慢慢地，点头、若有所思的学生越来越多。）

评析：在5个被测物品的基础上，再加1个，找到次品，至少测几次一定能找到？学生的第一印象是3次。因为5个是2次，被测物品多了，找的次数当然也多了。是这样的吗？学生通过研究发现这是错觉。在6个被测物品中找1个次品，是对教材进行解读后补充进去的。用意有三：一是让学生进一步明确，把被测物品分成3份，淘汰得越快。至此，学生已经初步形成“分三份”的意识。二是，让学生初步感知，找的次数并不一定随着被测物品数量的增多而增加。三是当数量是6时，分3份刚好平均分，这是非常重要的，为接下去研究在9个物品中找1个次品埋下伏笔。

【片断三：明确三等分】

教学例2：在9个零件里有1个是次品（次品轻一些），用天平称，至少称几次就一定能找出次品来？

生1：我分成3份：1个、1个、7个，……共要3次。

生2：我也分成3份：2个、2个、5个，……共要3次。

生3：我也分成3份：3个、3个、3个，……只要2次。

生4：我也分成3份：4个、4个、1个，……共要3次。

生5（欲言又止，在教师的鼓励下）：我分成4份：2个、2个、2个、3个，……共用3次。

（先讨论，排除生5的回答。）

师：同样都是分成3份，可是找的次数却不一样，你发现什么？

生6（举手的越来越多）：我发现9是3的倍数，当是3的倍数时，平均分最好了，这样淘汰得快，所以用的次数就少了。刚才6个就是这样的。

师（追问）：要不是3的倍数呢？

生6：也要分3份，让其中的2份一样多，另一份要最接近，就是只能差1个，这样用天平测，淘汰得才快！（太好了！）

评析：至此，用天平找次品的方法学生已经明了！这是学生操作、画图、感悟的结果。这里的成功因素主要有两点：一是暗示起到了较好的作用。从课始的讨论“为什么分3份”，学生有了一个模糊的意识，随着课的推进，这个意识逐渐清晰、明了，并主导着学生分的方法。二是脑中有天平。天平的特征是能同时称2份，当学生理解这一特征时，他们就时时想天平：要想找得快，就要淘汰得快。当上面两个因素合二为一时，学生轻易得出了找的方法。这样的设计，目标明确，难点分化，层层推进，感悟充分，水到渠成！“三等分”（或分三份）的模型已在学生认知结构中清晰建立起来。

（责编 金 铃）

师：大家对生3的回答有什么看法？

生4：如果分2份的话，第1次淘汰3个；如果分3份的话，第1次可以淘汰4个，还是分3份好。

生3：可我也是2次啊。

生5：这里是6瓶，要是7瓶的话，你怎么分2份啊？

（生3抓头，回答不上）

师：刚才生4说，分成3份的话，第1次可以淘汰4个，分成2份的话，第1次只能淘汰3个，分成6份的话，第1次淘汰几个？

生：2个。

师：你有没有想过，为什么分成3份淘汰得多？这里是巧合呢，还是有规律的？

生6（迫不及待地）：我知道了，我知道了，天平有两个托盘，各放1份，旁边再放1份，这样找，每次有2份被淘汰，就最快了。

师（抓住不放）：是这样的吗？

（给学生足够的时间思考，慢慢地，点头、若有所思的学生越来越多。）

评析：在5个被测物品的基础上，再加1个，找到次品，至少测几次一定能找到？学生的第一印象是3次。因为5个是2次，被测物品多了，找的次数当然也多了。是这样的吗？学生通过研究发现这是错觉。在6个被测物品中找1个次品，是对教材进行解读后补充进去的。用意有三：一是让学生进一步明确，把被测物品分成3份，淘汰得越快。至此，学生已经初步形成“分三份”的意识。二是，让学生初步感知，找的次数并不一定随着被测物品数量的增多而增加。三是当数量是6时，分3份刚好平均分，这是非常重要的，为接下去研究在9个物品中找1个次品埋下伏笔。

【片断三：明确三等分】

教学例2：在9个零件里有1个是次品（次品轻一些），用天平称，至少称几次就一定能找出次品来？

生1：我分成3份：1个、1个、7个，……共要3次。

生2：我也分成3份：2个、2个、5个，……共要3次。

生3：我也分成3份：3个、3个、3个，……只要2次。

生4：我也分成3份：4个、4个、1个，……共要3次。

生5（欲言又止，在教师的鼓励下）：我分成4份：2个、2个、2个、3个，……共用3次。

（先讨论，排除生5的回答。）

师：同样都是分成3份，可是找的次数却不一样，你发现什么？

生6（举手的越来越多）：我发现9是3的倍数，当是3的倍数时，平均分最好了，这样淘汰得快，所以用的次数就少了。刚才6个就是这样的。

师（追问）：要不是3的倍数呢？

生6：也要分3份，让其中的2份一样多，另一份要最接近，就是只能差1个，这样用天平测，淘汰得才快！（太好了！）

评析：至此，用天平找次品的方法学生已经明了！这是学生操作、画图、感悟的结果。这里的成功因素主要有两点：一是暗示起到了较好的作用。从课始的讨论“为什么分3份”，学生有了一个模糊的意识，随着课的推进，这个意识逐渐清晰、明了，并主导着学生分的方法。二是脑中有天平。天平的特征是能同时称2份，当学生理解这一特征时，他们就时时想天平：要想找得快，就要淘汰得快。当上面两个因素合二为一时，学生轻易得出了找的方法。这样的设计，目标明确，难点分化，层层推进，感悟充分，水到渠成！“三等分”（或分三份）的模型已在学生认知结构中清晰建立起来。

（责编 金 铃）