近几年高考坐标系与参数方程试题分类及解法

张丹丹，林若兰

（遵义师范学院数学与计算科学学院，贵州遵义563002）

近几年高考坐标系与参数方程试题分类及解法

张丹丹，林若兰

（遵义师范学院数学与计算科学学院，贵州遵义563002）

坐标系与参数方程是近年高考的选做题之一。以研究高考试题来认识教学内容、把握重点和教学要求是提高教学水平的重要途径。通过对2010-2013年全国各省（市、区）高考理科所有试题的统计分析，得出坐标系与参数方程试题的主要题型分类，并对各类试题的解法进行了总结，为高中数学教学提供参考。

高考；坐标系；参数方程；试题；方法

高中坐标系与参数方程的内容分布在《普通高中数学课程标准（实验）》[1]（以下简称《课标》）教科书数学选修4-4[2]，在高考中所占的分值通常在5-10分。因此，坐标系与参数方程是高中数学教学重要内容之一。以研究高考试题来认识坐标系与参数方程的教学内容、把握重点和教学要求是提高教学水平的重要途径。

近年来有不少研究高考坐标系与参数方程的文献。如文[3]通过对2010年考试大纲和实例分析，得到高考考察的知识点，并提出了本专题的重点和难点；文[4]对《坐标系与参数方程》编写时考虑的几个主要问题，对教学提出了建议；文[5]对2011年新课标高考试题进行分类评析，得到高考考题的主要形式及难度；文[6]以考情分析为主，探究出规律和考点以及需要掌握的知识。这些文献只是从一年的试题、或考试大纲、或教材编写来分析教学要求，通过连续四年全国所有高考试题的统计分析来认识教材的文献未见报道。

本文以2010-2013年高考理科坐标系与参数方程试题为基本材料，在分析试题的知识点和解题能力要求的基础上，提出对高中坐标系与参数方程教学要求的认识，供中学数学教学参考。

1 试题分析

通过对近四年48套高考试题的分析，坐标系与参数方程的试题总是代数与几何相结合；主要以填空题（5-8分）、解答题（7-10分）的形式出现；有时也会以选择题的形式出现（分值一般在5-6分）。试题类型与解题要求分析如下。

2.1 参数方程与直角坐标方程的转化

由曲线的参数方程判断曲线的类型是高考的考点之一，往往要求根据曲线的参数方程判断曲线的类型或两曲线的位置关系，如：2010年全国课标卷第23题、湖南卷第4题；2011年福建卷第21题；2012年福建卷第21题；2013年全国课标卷第23题。也有独立的参数方程转化为直角坐标方程的试题，如：2010年天津卷第15题和2011年江苏卷第21题。

参数方程与直角坐标方程相互转化时，应当掌握以下几类方程之间的关系，并注意变量的变化范围。

经过点P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程为

参数方程转化为直角坐标方程时，消去参数方程中的参数即可，但要注意直角坐标方程中变量x、y的取值范围应与参数方程中参数的取值对应，消去参数的具体方法要根据参数方程的特点来考虑。消去参数的方法有：代入消去法，由其中一式解出t，代人另一式；加减消去法，由两式加减（平方加或减）或乘除消去参数t；换元法，通过代数或三角换元消去参数t。

直角坐标方程化为参数方程，要恰当地选择参数t和函数x=ƒ(t)，并且使x=ƒ(t)的值域与直角坐标方程中变量x的范围一致，然后将x=ƒ(t)代人直角坐标方程中解出y=g(t)，即得参数方程

2.2 极坐标方程与直角坐标方程的相互转化

极坐标方程转化为直角坐标方程在高考试题中很常见，如：2010年全国课标Ⅰ卷第23题、陕西卷第15题、重庆卷第8题、广东卷第15题、江苏卷第21题、安徽卷第7题、福建卷第21题；2011年陕西卷第15题、湖南卷第9题、辽宁卷第23题、广东卷第14题、安徽卷第5题、北京卷第3题、上海卷第5题、江西卷第15题；2012年湖南卷第9题、广东卷第14题、福建卷第21题、安徽卷第13题、北京卷第9题、2013年重庆卷第15题、江苏卷第21题、辽宁卷第23题、天津卷第11题。

极坐标方程与直角坐标方程的互化，首先应当掌握互化的前提条件：极点与直角坐标系的原点重合；极轴与轴正方向重合；两种坐标系取相同的单位长度。

其次是掌握互化公式：设点M的直角坐标为（x，y），它的极坐标为则

2.3 动点轨迹的参数方程

动点轨迹的参数方程和极坐标方程问题在近年的高考中是很常见的，如：2010年全国课标卷Ⅰ第23题、辽宁卷第23题；2012年辽宁卷第23题；2013年全国课标Ⅰ卷第23题、陕西卷第17题，2012年全国课标卷Ⅰ第23题、江西卷第15题、辽宁卷第23题、上海卷第10题、江苏卷第21题；2013年江西卷第15题、广东卷第14题、安徽卷第7题。

这类问题可用以下方法解题。方法一，按求动点轨迹的一般步骤求建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理；方法二，若动点M(x,y)依赖已知曲线上的动点N而运动，则可将转化后的动点N的坐标代入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M的轨迹方程；方法三，若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；方法四，若动点P(x,y)的坐标x与y之间的关系不容易找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程；方法五，求两条动曲线交点的轨迹方程，其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消参数，即得所求动点轨迹的方程。

求动点轨迹的极坐标方程的一般方法为：选择适当的极坐标系，将已知条件用动点的关系式表示出来，得到轨迹的极坐标方程。但是，求关系是较为困难的，一般考虑两种方法。方法一，直接法：当动点直接与已知条件发生联系时，先设出曲线上任一点的极坐标为再根据题设条件运用基本公式，如三角函数定义，勾股定理，正（余）弦定理等列出的关系式，化简后即得轨迹方程；方法二，利用关键三角形：因为点的极坐标是用长度与角度表示的，所以建立极坐标方程常常可以在一个三角形中实现。建立起这个三角形边与角的关系，也就建立起了极坐标中的关系，化简后即得轨迹方程。

2.4 根据轨迹的参数方程求坐标

根据轨迹的参数方程求点的坐标越来越受关注，尤其是在近四年高考中所占的比重越来越大，如：2010年全国课标Ⅰ卷第23题、陕西卷第15题、广东卷第15题、辽宁卷第23题；2011年北京卷第5题、广东卷第14题；2012年辽宁卷第23题、广东卷第14题；2013年辽宁卷第23题、江苏卷第21题。

根据轨迹的参数方程求点的坐标问题，可分为两种方法。方法一，将参数方程化为直角坐标方程，在直角坐标系下描绘图形，最终得到点的坐标；方法二，将轨迹的参数方程在极坐标系上表示出来，就能得到点的坐标。

2.5 根据曲线的参数方程求两曲线的交点个数

由曲线参数方程求两曲线的交点个数的问题在三个地区的试题中出现：2010年安徽卷第7题；2011年湖南卷第9题；2012年北京卷第9题。

事实上，求曲线C1：ƒ1(x，y)=0与曲线C2：ƒ2(x，y)=0的交点，就是求方程组的实数解。

2.6 求未知参数

求未知参数的问题仍是高考常见的问题，如：2010年江苏卷第21题；2011年辽宁卷第23题、天津卷第11题；2012年湖南卷第9题、天津卷第12题；2013年辽宁卷第23题、湖南卷第9题。

求未知参数的基本方法是先将原有的参数方程或者极坐标方程转化为直角坐标方程，判断其类型，根据类型找出它们特有的性质，最后应用几何或代数关系列出相应的等式求解。

2.7 由极坐标方程或参数方程求两点的距离

由极坐标方程或参数方程求两点的距离近四年在多数地区的试题中出现，如：2010年福建卷第21题；2011年全国课标卷第23题、陕西卷第15题、安徽卷第5题、福建卷第21题；2012年全国课标卷第23题、陕西卷第15题、安徽卷第13题；2013年重庆卷第15题、北京卷第9题、天津卷第11题、上海卷第7题。

在极坐标方程中求两点间距离的方法，通常采用余弦定理，相当于知道三角形两边长度和其所夹的夹角，求第三边。当然，也可将极坐标方程或参数方程转化为直角坐标方程，确定点的直角坐标后即可求两点间的距离。

3 结束语

本文仅仅在分析近四年高考理科坐标系与参数方程试题的基础上得出试题分类及其相应的解答方法，为高中坐标系与参数方程专题的教学提供参考。要提高该专题的教学质量，还需要对文科试题进行分析，认真研读《课标》要求，领会教科书的编写意图，结合学生实际，才能制定出科学的教学方案。

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社,2003.2-35.

[2]人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书选修4-4[M].北京：人民教育出版社,2007.1-45.

[3]龚丽君.从新课程高考看《坐标系与参数方程》的教学与复习[J].新课程学习（学术教育）,2010,(8)：101-102.

[4]章建跃,郭慧清.人教A版高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》简析[J].福建教育,2009,(3)：58-59.

[5]郑新春.2011年新课标高考试题分类评析[J].高中数理化, 2012,(5)：8-9.

[6]高慧明.新课程高考“几何证明选讲，坐标系与参数方程、不等式选讲”命题规律与教学策略[J].中学数学研究,2012,(5)：18-25.

（责任编辑：朱彬）

On the Classification of Test Questions of Coordinate System and Parameter Equation and Their Solutions in the Rencent Entrance Exams for Higher Schools

ZHANG Dan-dan,LIN Ruo-lan
(School of Mathematics and Computational Science,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,China)

Coordinate system and parameter equation are one of the options in the entrance exam,and it is an important way to improve teaching ability to know teaching content,key points of teaching and teaching requirement by means of looking at test questions in entrance exams.Through the statistic analysis of all the test questions from entrance exam papers for science students from 2010 to 2013, we classify all the major test questions and their solutions,providing certain suggestions or advice for the teaching of mathematics of senior high schools.

entrance exam;coordinate system;parameter equation;test questions;solution

G632.0

：A

1009-3583（2014）-0122-03

2014-06-12

贵州省基础教育科研基金项目（2012B275）；遵义师范学院基础教育研究课题（13ZYJ031）

张丹丹，女，贵州桐梓县人，遵义师范学院数学与计算科学学院2011级学生。